1、2015 年高考理科数学试卷全国卷一、选择题：本大题共 12 道小题，每小题 5 分1已知集合 ， ,则 （ ）21,0A ， ， (1)20BxABA B C D, ,02若 为实数且 ，则 （ ）a()4aiiaA B C D10123根据下面给出的 2004年至 2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是（ ）A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007 年我国治理二氧化硫排放显现C2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4已知等比数列 满足 a1=3， =21，则 （ ）n35a357
2、aA21 B42 C63 D845设函数 , （ ）21log()(),xxf2()log1)ffA3 B6 C9 D126一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A B C D817161517过三点 ， ， 的圆交 y轴于 M，N 两点，则 （ ）(1,3)A(4,2)B(1,7)C|A2 B8 C4 D10668右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入 分别为 14,18，则输出的 （ ）,abaA0 B2 C4 D149已知 是球 的球面上两点， , 为该球面上的动点，若三棱锥
3、,O90AOBC体积的最大值为 36，则球 的表面积为（ ）A B. C. D.36125610如图，长方形 的边 ，AB， 是 的中点，点 沿着边 ，1BCP与 运动，记 将动 到 、DxA两点距离之和表示为 的函数 ，则()f的图像大致为（ ）()yfx(D)(C)(B)(A)xy4 2 34 223424yxxy4 2 34 223424yx11已知 A，B 为双曲线 E的左，右顶点，点 M在 E上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E的离心率为（ ）A B C D523212设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时，()fx()fxR(1)0fx，则使得 成立的 的取值范围是（
4、 ）()0xff()0fxxA B,1(,)1,)(,)C D(二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 _abab214若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为_10,xy， zxy15 的展开式中 x的奇数次幂项的系数之和为 32，则 _4()1a a16设 是数列 的前 n项和，且 ， ，则 _nS1a11nnSn三、解答题17 （本题满分 12分） 中， 是 上的点， 平分 ， 面积ABCDADBCAD是 面积的 2倍ADC（） 求 ；sin（）若 ， ，求 和 的长12BA18 （本题满分 12分）某公司为了解用户对
5、其产品的满意度，从 ， 两地区分别随AB机调查了 20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可） ；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于 70分 70分到 89分 不低于 90分
6、满意度等级 不满意 满意 非常满意记时间 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B地区用户的满意度等级” 假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C的概率19 （本题满分 12分）如图，长方体 中, ， ，1ACD=16AB0C，点 ， 分别在 ， 上， 过点 ， 的平面18AEF1B14EFEF与此长方体的面相交，交线围成一个正方形DD1 C1A1 EFA BCB1（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） ；（）求直线 与平面 所成角的正弦值F20 （本题满分 12分）已知椭圆 ,直线 不过原点 且不平22:9(0)CxymlO行于坐标轴
7、， 与 有两个交点 ， ，线段 的中点为 lABM（）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；OMl（）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四l(,)3mPAB边形？若能，求此时 的斜率，若不能，说明理由l21 （本题满分 12分）设函数 2()emxf（）证明： 在 单调递减，在 单调递增；()fx,0)(0,)（）若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围1212e1fxfm22 （本小题满分 10分）选修 41：几何证明选讲如图， 为等腰三角形 内一点，圆 与 的底边 交于 、 两点与OABCOABCMN底边上的高 交于点 ，与 、 分别相切于 、 两点DGEFGAE FO
8、NDB CM（）证明： ；/B（） 若 等于 的半径，且 ，求四边形 的面积AG23AEMNEBCF23 （本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数， ） ，其中 ，xoy1cos,:inxtCyt0t在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ，曲线O2:sinC3:2cosC（） 求 与 交点的直角坐标；1（） 若 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，求 的最大值2A3C1BA24 （本小题满分 10分）选修 4-5不等式选讲设 均为正数，且 ，证明：,abcdabcd（）若 ，则 ；（） 是 的充要条件ccCBADD1 C1B1A1参考答案
9、1A【解析】由已知得 ，故 ，故选 A21Bx1,0AB考点：集合的运算2B【解析】由已知得 ，所以 ，解得 ，故选 B24()4ai2,4a0a考点：复数的运算3D【解析】由柱形图得，从 2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选 D考点：正、负相关4B【解析】设等比数列公比为 ，则 ，又因为 ，所以q2411aq13a，解得 ，所以 ，故选 B4260q2 235735()4q考点：等比数列通项公式和性质5C【解析】由已知得 ，又 ，所以2()1log4f2log1，故 ，故选 C22log1l62(l)f()9ff考点：分段函数6D【解析】由三视图得，在正
10、方体中，截去四面体 ，如1ABC1ABD图所示， ，设正方体棱长为 ，则a，故剩余几何体体积为1326ABDV，所以截去部分体积与剩余部分体356a积的比值为 ，故选 D考点：三视图7C【解析】由已知得 ， ，所以 ，所以3214ABk27341CBk1ABCk，即 为直角三角形，其外接圆圆心为 ，半径为 ，所以外接圆方ABC(,)5程为 ，令 ，得 ，所以 ，故选 C22(1)()5xy0x26y46MN考点：圆的方程8B【解析】程序在执行过程中， ， 的值依次为 ，ab14a； ； ； ； ； ，此时 程序结束，输出 的值1b410622ba为 2，故选 B考点：程序框图9C【解析】如图所
11、示，当点 C位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最AOBOABC大，设球 的半径为 ，此时 ，故 ，则OR231163BCVRR球 的表面积为 ，故选 C241S考点：外接球表面积和椎体的体积 BOAC10B【解析】由已知得，当点 在 边上运动时，即 时，PC04x；当点 在 边上运动时，即 时，2tan4tPAxD3,42x，当 时， ；当点2211()()ttanBx2xPAB在 边上运动时，即 时， ，从点 的运动PAD34tan4tPABx过程可以看出，轨迹关于直线 对称，且 ，且轨迹非线型，故选 B2x()42ff考点：函数的图象和性质11D【解析】设双曲线方程为 ，21(0,
12、)xyab如图所示， ， ，过点ABM作 轴，垂足为 ，在 中，NxNRtB， ，故点 的坐标为a3a，代入双曲线方程得 ，即 ，所以 ，故选(2,3)Ma22abc2a2eD考点：双曲线的标准方程和简单几何性质12A【解析】记函数 ，则 ，因为当 时，()fxg 2()xffg0x，故当 时， ，所以 在 单调递减；又因为函()0xff()0()g,)数 是奇函数，故函数 是偶函数，所以 在 单调递减，且Rgxx0当 时， ，则 ；当 时， ，则(1)g1()()f1()0gx，综上所述，使得 成立的 的取值范围是 ，故选 A0fx0fxx,),考点：导数的应用、函数的图象与性质13 12【
13、解析】因为向量 与 平行，所以 ，则 所以ab22abk（ ） 1,k，12考点：向量共线14 3【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为 ，当 取到最大时，直线yxz的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到 ，则 的最大值为1(,)2Dxy32考点：线性规划15 3【解析】试题分析：由已知得 ，故 的展开式中 x的4234(1)6xx4()1axxy1234 12342341234DCBO奇数次幂项分别为 ， ， ， ， ，其系数之和为 ，解4ax336x541+6=32a得 3a考点：二项式定理16 1n【解析】由已知得 ，两边同时除以 ，得 ，11nnnaSS 1nS1nS故数列
14、是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ，所以nS ()n1n考点：等差数列和递推关系17 【解析】 （） ， ，因为1sin2ABDSBAD1sin2CSADC， ，所以 由正弦定理可得2ABDCSsin（）因为 ，所以 在 和 中，由余弦定:ABDCS2BDABDC理得，22cosA22cosCA由（）知 ，所以 222236ABCBAB1C18 【解析】 （）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散（）记 表示事件： “A地区用户满意度等级为满意或非常
15、满意” ；1AC表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意” ；2表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意” ；1B表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意” 2C则 与 独立， 与 独立， 与 互斥， 1AB2ACB1B2C12BAC1()AP1()()P12(BAB由所给数据得 ， ， ， 发生的概C1C率分别为 ， ， ， 故62048201()AP，1=， ，2()APC1()=B2()BC8=0，故 0684+.2019 【解析】 （）交线围成的正方形 如EHGF图：（）作 ，垂足为 ，则 ， ，因为 为EMAB14AM18EAEHGF正方形，所以 于是 ，所以 以0HFC261
16、0为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，Dx Dxyz则 ，(10,)A， ， ， ， 设,(,48)E(0,)F(10,)E(0,68)HE是平面 的法向量，则 即 所以可取(,)nxyzHG,n,xyz又 ，故 所以直线(0,43)(10,48)AF 45cos, 1nAFA1A B1BD1DC1CFEHGM与平面 所成角的正弦值为 AF45120 【解析】 （）设直线 ， ， ，:lykxb(0,)1(,)Axy2(,)B(,)Mxy将 代入 得 ，故kb229xym22(9)0kxkbm，12Mkx于是直线 的斜率 ，即 所以29ykbOM9MOykxk9
17、OMk直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值Ol（）四边形 能为平行四边形APB因为直线 过点 ，所以 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 ， l(,)3mlC0k3由（）得 的方程为 设点 的横坐标为 由 得M9yxkPPx229,yxm，即 将点 的坐标代入直线 的方程得2981Pkmx239Pmxk(,)3l，因此 四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线(3)b2()MOAPBAB段 互相平分，即 于是OPPx239km解得 ， 因为 ， ， ，所以当2(3)9mk147k2470,3iik12的斜率为 或 时，四边形 为平行四边形l47OAPB21 【解析】 （） ()e1)2mxf若
18、，则当 时， ， ；当 时， ，0m,0x0()fx(0,)e10mx()f若 ，则当 时， ， ；当 时， ，(,)xe1mx()fx(,)emx()0fx所以， 在 单调递减，在 单调递增(,)(0,)（）由（）知，对任意的 ， 在 单调递减，在 单调递增，故mfx1,0,1在 处取得最小值所以对于任意 ， 的充要()fx02,2()e1fxf条件是： 即 ，设函数 ，则(1)e1,ffe1,mtg当 时， ；当 时， 故 在 单调递()etg0t()0gtt()0t()t,0)减，在 单调递增又 ， ，故当 时，,)11()e21当 时， ， ，即式成立当 时，由()0t,m()mm的单
19、调性， ，即 ；当 时， ，即g()0gem1()0g综上， 的取值范围是 e1m,22 【解析】 （）由于 是等腰三角形， ，所以 是 的平分ABCADBCAB线又因为 分别与 、 相切于 、 两点，所以 ，OEFEF故 从而 ADEF/（）由（）知， , ，故 是 的垂直平分线，又 是F的弦，所以 在 上连接 ， ，则 由 等于 的半径得OMGOA，所以 所以 和 都是等边三角形因为203AABCEF，所以 ， 3AE42E因为 ， ，所以 于是 ，OM1DN1D5A所以四边形 的面积 103BBCF2203316()()23 【解析】 （）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为
20、2C20xy3C联立 解得 或 所以 与 交230xyx20,3xyx0,xy3,2,2C1点的直角坐标为 和 (0,)3,)2（）曲线 的极坐标方程为 ，其中 因此 得到极坐标1C(,0)RA为 ， 的极坐标为 所以(2sin,)B3cos2sin3cosAB，当 时， 取得最大值，最大值为 4i356AB424 【解析】 （）因为 ， ，由题2()abab2()cdcd设 ， ，得 因此 abcdc2ab（） （）若 ，则 即 因为 ，所以22()()c22()4()4abcdcd，由（ ）得 abd（）若 ，则 ，即cd22()()cab因为 ，所以 ，于是2cababd2()4因此 ，综上， 是()4dc2()ccd的充要条件ab
