1、初中数学教师基本功比赛专业技能比赛试题1.试求证：圆的切线垂直于经过切点的半径. (书本定理的证明)2.如图，已知 AB=1，点 C 是线段 AB 的黄金分割点，试用一元二次方程求根公式验证黄金比 .（书本习题）215AB3.三座城市 A、B、C 分别位于一个等腰三角形 ABC 的三个顶点处，且AB=AC=50km， BC=80km，要在这三个城市之间铺设通讯电缆，现设计了三种连接方案.方案一：沿 AB、BC 铺设；方案二：沿 BC，和 BC 边上的中线 AD 铺设；方案三：在 内找一点 O，使 OA=OB=OC，沿 OA=OB=OC 铺设.(1)请你用尺规画出三种方案的示意图；（2）请你在这
2、三种方案中选择最短的方案，并加以说明.4.如图，在 中， ，点 在边 上， ，且 将ABC45DBC60AD12BCD 以直线 为轴做轴对称变换，得到 ，连接 ，D（1）求证 ；（2）求 的大小AB CDC/5.已知抛物线经过点 A（-1,0） 、B（4,5） 、C （0,-3） ，其对称轴与直线 BC 交于点P。（1）求抛物线的表达式及点 P 的坐标；（2）将抛物线向右平移 1 个单位后再作上下平移，得到的抛物线恰好过点 P，求上下平移的方向和距离；（3）设抛物线的顶点为 D，与 y 轴的交点为 E，试求EDP 的正弦值.参考答案：4.（1） 是 沿 做轴对称变换得到的，ACDA .有 ，
3、3 分C ， ，12B60 ， 5 分DC1860BADC 取 中点 P，连接 ，则 为等边三角形， 为等腰三角形，8 分 PBP有 ，即 10 分1302C9C（2）如图，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 A,BD ,EFG ，DC即点 在 的平分线上， 13 分EF ， ，90B45A ，GCB AB CDCB DCFG ACxyO 11即点 在 的平分线上， 16 分AGBCAGE于是， ，则点 在 的平分线上 18 分FCD又 ,有 30D150 20 分12775解：（1）据题意设抛物线的表达式为 ，23yaxb则 ，解得 ，抛物线的表达式为03564ab1b23yx对称轴为直线 x
4、据题意设直线 BC 的解析式为 ，则 ， 3ykx543,k直线 BC 的解析式为 ，P（1，-1）2（2）设抛物线向右平移 1 个单位后再向上平移 m 个单位得抛物线，则抛物线的表达式为 2()4yx抛物线过点 P， ， 2再将它向上移动 2 个单位可得到抛物线（3）抛物线向右移动 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到抛物线，抛物线的表达式是 即2()4yx，D（2,-2） ，E（0,2） 2()yxP(1,-1)，直线 DP 过点 O，且与 x 轴夹角为 45，过点 E 作 EHDP 于点 H，EOH= 45E（0,2）,EH= ，而 ED= 22()5sinEDP= 1025D O 1
5、1 P DE xyH备用：某一学生把一座正确的时钟的时针装在分针的轴上，把分针装在时针的轴上，问这座时钟一天中有 次显示正确的时刻.221、设 a为质数，并且 278a和 27也都是质数，若记 78,7xay，则在以下情况中，必定成立的是（ ） A、 ,xy都是质数； B、 ,xy都是合数； C、 一个是质数，一个是合数； D、对不同的 a，以上各情况皆可能出现答案： 解：当 3a时， 2781与 279a皆为质数，而 78239x，81y都是质数； 当质数 异于 时，则 2被 3除余 ，设 231n，于是 215an，287415an，它们都不是质数，与条件矛盾！绕圆周填写了十二个正整数，其
6、中每个数取自 1,2345,6789之中（每一个数都可以多次出现在圆周上） ，若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是 的倍数，用 S表示圆周上所有十二个数的和，那么数 S所有可能的取值情况有 种答案： 9种解：对于圆周上相邻的三个数 12,kka， 12kka可以是 7，或 14，或21，例如，当三数和为 7时， 可以取 ,4或 ,5或 ,3；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为 123,kk，由于 12kka和123kka都是 的倍数，那么必有 7a，于是 与 3或者相等，或者相差 7；又在圆周上， 与 8可互换， 2与 9可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是 ，或 14，或 ，
7、因此四段的总和可以取到 28,354,96,370,84中的任一个值，总共九种情况 （其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数： 1,2,1，其和为 28，然后每次将一个 1改成 8，或者将一个 2改成 9，每一次操作都使得总和增加 7，而这样的操作可以进行八次） 变式：求 的概率是多少？35S众所周知，菠萝味道鲜美，很受大家喜爱.某超市为方便顾客，把菠萝去皮后出售，但由于定价不合理而无人问津.现根据如下统计数据重新定价，你认为如何划定去皮菠萝的价格，人们才会觉得合理？菠萝 A B C D E去皮前 1.14kg 0.85kg 1.78kg 1.3kg 2.05kg去皮后 0.75kg 0
8、.55kg 1.15kg 0.84kg 1.34kg为庆祝“神州五号” 载人飞行成功返航，某学校科技小组要举行科技小作品展，小东在制作一件参展作品过程中，遇到这样一个问题：如图1，一块金属板上有三个圆洞，现要作一个与这三个圆洞都相切的圆板（大小不限） ，请你帮助他提供6种不同方案.20在某省举行的中学教师课件及观摩课比赛中，其中一个参赛课件是这样的：在平面上有 n 个过同一点 P 且半径相等的圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除 P 点外无其它交点，演示探索这样的 n 个圆把平面划分成几个平面区域的问题.大屏幕上首先依次显现了如下几个场景：试问：当有 n 个圆按此规律相交时，可把平面划分成多少个平面区域？这 n 个圆共有几个交点？答案：平面区域： ，交点个数：2)1(12)(nP场景一 P场景二 P场景三 P场景四 P场景五图 1
