1、运筹学( 第 3 版) 习题答案 1运筹学（第 3 版）习题答案第 1 章 线 性规划 P36第 2 章 线性规划的 对偶理论 P74第 3 章 整数规划 P88第 4 章 目标 规划 P105第 5 章 运输与指 派问题 P142第 6 章 网络 模型 P173第 7 章 网络 计划 P195第 8 章 动态 规划 P218第 9 章 排 队论 P248第 10 章 存储论 P277第 11 章 决策论 P304第 12 章 多 属性 决策品 P343第 13 章 博 弈论 P371全书 420 页第1章 线性规划1.1 工厂每月生产 A、 B、 C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备
2、台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表 123 所示表123产品资源 A B C 资源限量材料(kg) 1.5 1.2 4 2500设备( 台时) 3 1.6 1.2 1400利润( 元/件) 10 14 12 根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是 150、260 和 120,最高月需求是 250、310和 130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大【解】设 x1、x 2、x 3 分别为产品 A、B 、C 的产量，则数学模型为 123123312max04.5.5060,Zxx1.2 建筑公司需要用 5m 长的塑钢材料制作 A、B 两种型号的窗架两种窗架所需材料规格及数量如表 1
3、24 所示：表124 窗架所需材料规格及数量型号 A 型号 B长度（m）数量(根) 长度(m) 数量(根)A1：2 2 B1：2.5 2每套窗架需要材料A2：1.5 3 B2：2 3运筹学( 第 3 版) 习题答案 2需要量（套） 300 400问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少【解】 第一步：求下料方案，见下表。方案 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 需要量B1 2.5 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 800B2 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1200A1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 600A2 1.5 0 0 0 1 0 0 2 0 2
4、 3 900余料(m) 0 0.5 0.5 1 1 1 0 1 0 0.5 第二步：建立线性规划数学模型设 xj（j=1,2,，10）为第 j 种方案使用原材料的根数，则（1）用料最少数学模型为 1012345673894710min020,jjjZxxx（2）余料最少数学模型为 2345681013425673894710min .500,jZxxxxx1.3 某企业需要制定 16 月份产品 A 的生产与销售计划。已知产品 A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品 A1000 件，1 月初仓库库存 200 件。16 月份产品 A 的单件成本与售价如表 125 所示
5、。表 125月份 1 2 3 4 5 6产品成本(元/件)销售价格(元/件)300 330 320 360 360 300350 340 350 420 410 340（1）16 月份产品 A 各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型；（2）当 1 月初库存量为零并且要求 6 月底需要库存 200 件时，模型如何变化。【解】设 xj、y j（j1，2，6）分别为 16 月份的生产量和销售量，则数学模型为运筹学( 第 3 版) 习题答案 3（1）1122334455661231 42 53 6max3004050688080Zyxyxyxxyxyxxyy1231 42 53 602020,0;,
6、6j xyxyxyj（2）目标函数不变，前 6 个约束右端常数 800 改为 1000，第 711 个约束右端常数 200改为 0，第 12 个约束“200”改为“200” 。1.4 某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有 3 万元（不计利息）可供投资：方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是 20，下一年可继续将本息投入获利；方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是 50，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过 2 万元；方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是 60，这种投资最多不超过 1.5 万元
7、；方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是 30，这种投资最多不超过 1 万元投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.【解】是设 xij 为第 i 年投入第 j 项目的资金数，变量表如下项目一 项目二 项目三 项目四第 1 年第 2 年第 3 年x11x21x31x12x23x34数学模型为运筹学( 第 3 版) 习题答案 41213123412123141234max0050.65.0,;1,4ijZxxxxxxj 最优解 X=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z847201.5 炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品
8、油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于 94，每桶利润 5 元，见表 126。表 126成品油 高级汽油 一般汽油 航空煤油 一般煤油半成品油中石脑油重整汽油裂化汽油中石脑油重整汽油裂化汽油轻油、裂化油、重油、残油轻油、裂化油、重油、残油按10:4:3:1 调合而成辛烷值 94 84蒸汽压：公斤平方厘米 1利润(元/桶) 5 4.2 3 1.5半成品油的辛烷值、气压、及每天可供应数量见表 127。表 127问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。解 设 xij 为第 i（i1,2,3,4）种成品油配第 j(j=1,2,7)种半成品油的数量（桶）
9、 。总利润： 12132123435637454675()4.()1.()Zxxxx高级汽油和一般汽油的辛烷值约束 21221213 380508009, 9航空煤油蒸气压约束 4353637.5xx一般煤油比例约束半成品油 1 中石脑油 2 重整汽油 3 裂化汽油 4 轻油 5 裂化油 6 重油 7 残油辛烷值 80 115 105蒸汽压：公斤平方厘米 1.0 1.5 0.6 0.05每天供应数量(桶) 2000 1000 1500 1200 1000 1000 800运筹学( 第 3 版) 习题答案 545467:10:3xx即 4645467,半成品油供应量约束 123453674010
10、8xx整理后得到 1213212233456744546471213235363746max.1.00.9510Zxxxxxx71234536740108;,2;,7ijxxj1.6 图解下列线性规划并指出解的形式：(1) 1212ma583,0Zx【解】最优解 X（3，2） ； 最优值 Z=19运筹学( 第 3 版) 习题答案 6(2) 1212max453,0Zx【解】有多重解。最优解 X（ 1） （0，5/4） ；X （2） （3，1/2）最优值 Z=5运筹学( 第 3 版) 习题答案 7(3) 121212min34073,Zxx【解】最优解 X（4，1） ； 最优值 Z=10，有唯一
11、最优解(4) 121212min46830,Zxx【解】最优解 X（2，3） ； 最优值 Z=26，有唯一最优解运筹学( 第 3 版) 习题答案 8(5) 0,632max2111xxZ【解】无界解。运筹学( 第 3 版) 习题答案 9(6)1212min56,0Zx【解】无可行解。运筹学( 第 3 版) 习题答案 101.7 将下列线性规划化为标准形式(1) 123123min65740,Zxx无 限 制【解】（1）令 为松驰变量 ，则标准形式为654 ,xx12312343561234ma1570,0Zxxx(2) 123123in9|67|580,0Zx【解】 （2）将绝对值化为两个不等
12、式，则标准形式为运筹学( 第 3 版) 习题答案 11123123456123456max9708,0Zxxx(3) 1212max350,Zx【解】方法1： 12134213max5,0Zxx方法2：令 11,xx有 212ma()34,0Zx则标准型为 12132max40,Zx(4) 1213123123maxin(4,)04596,Zxxxx无 约 束 、【解】令 ，线性规划模型变为1123114,yyx运筹学( 第 3 版) 习题答案 12123123max()404()1596,Zyxxx、标准型为 124356127383456max3019,0Zyxxx 1.8 设线性规划 1
13、23124ma06,jZxx取基 分别指出 对应的基变量和非基变量，求出基本12040B、 ， B12和解，并说明 是不是可行基、【解】B 1：x 1、 x3 为基变量， x2、x 4 为非基变量,基本解为 X=（15，0，10，0） T，B 1 是可行基。B 2：x 2、 x4 是基变量， x1、x 3 为非基变量，基本解 X=（0，20，0，100） T，B 2 是可行基。1.9 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点(1)1212max3,0Z【解】图解法运筹学( 第 3 版) 习题答案 13单纯形法：C(j) 1 3 0 0C
14、(i) Basis X1 X2 X3 X4 b Ratio0 X3 -2 1 1 0 2 20 X4 2 3 0 1 12 4C(j)-Z(j) 1 3 0 0 0 3 X2 -2 1 1 0 2 M0 X4 8 0 -3 1 6 0.75C(j)-Z(j) 7 0 -3 0 6 3 X2 0 1 0.25 0.25 7/2 1 X1 1 0 -0.375 0.125 3/4 C(j)-Z(j) 0 0 -0.375 -0.875 45/4 对应的顶点：基可行解 可行域的顶点X(1)=（0，0，2， 12） 、X(2)=（0，2，0， 6， ） 、X(3)=（ 、),743（0，0）（0，2）
15、 )7,43(最优解 5),2(Z运筹学( 第 3 版) 习题答案 14(2) 121212min35640,Zxx【解】图解法单纯形法：C(j) -3 -5 0 0 0Basis C(i) X1 X2 X3 X4 X5b RatioX3 0 1 2 1 0 0 6 3X4 0 1 4 0 1 0 10 2.5X5 0 1 1 0 0 1 4 4C(j)-Z(j) -3 -5 0 0 0 0 X3 0 0.5 0 1 -0.5 0 1 2X2 -5 0.25 1 0 0.25 0 2.5 10X5 0 0.75 0 0 -0.25 1 1.5 2C(j)-Z(j) -1.75 0 0 1.25
16、 0 -12.5 X1 -3 1 0 2 -1 0 2 MX2 -5 0 1 -0.5 0.5 0 2 4X5 0 0 0 -1.5 0.5 1 0 0C(j)-Z(j) 0 0 3.5 -0.5 0 -16 X1 -3 1 0 -1 0 2 2 X2 -5 0 1 1 0 -1 2 X4 0 0 0 -3 1 2 0 C(j)-Z(j) 0 0 2 0 1 -16 运筹学( 第 3 版) 习题答案 15对应的顶点：基可行解 可行域的顶点X(1)=（0，0，6，10 ，4） 、X(2)=（0，2.5，1，0， 1.5， ） 、X(3)=（2，2，0，0 ，0）X(4)=（2，2，0，0 ，0）
17、（0，0）（0，2.5）(2，2)（2，2）最优解：X= （2，2，0，0，0） ；最优值 Z16该题是退化基本可行解，5 个基本可行解对应 4 个极点。1.10 用单纯形法求解下列线性规划(1)123123max40,jZxx【解】单纯形表：C(j) 3 4 1 0 0Basis C(i) X1 X2 X3 X4 X5 R. H. S. Ratio X4 0 2 3 1 1 0 4 4/3X5 0 1 2 2 0 1 3 3/2C(j)-Z(j) 3 4 1 0 0 0 X2 4 2/3 1 1/3 1/3 0 4/3 2X5 0 -1/3 0 4/3 -2/3 1 1/3 MC(j)-Z(
18、j) 1/3 0 -1/3 -4/3 0 16/3 X1 3 1 3/2 1/2 1/2 0 2 X5 0 0 1/2 3/2 -1/2 1 1 C(j)-Z(j) 0 -1/2 -1/2 -3/2 0 -6 最优解：X= （2，0，0，0，1） ；最优值 Z6(2) 2341234max5571060,jZxx【解】单纯形表：C(j) 2 1 -3 5 0 0 0Basis C(i) X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 R. H. S. RatioX5 0 1 5 3 -7 1 0 0 30 MX6 0 3 -1 1 1 0 1 0 10 10X7 0 2 -6 -1 4 0 0 1
19、20 5运筹学( 第 3 版) 习题答案 16C(j)-Z(j) 2 1 -3 5 0 0 0 X5 0 9/2 -11/2 5/4 0 1 0 7/4 65 MX6 0 5/2 1/2 5/4 0 0 1 -1/4 5 10X4 5 1/2 -3/2 -1/4 1 0 0 1/4 5 MC(j)-Z(j) -1/2 17/2 -7/4 0 0 0 -5/4 X5 0 32 0 15 0 1 11 -1 120 MX2 1 5 1 5/2 0 0 2 -1/2 10 10X4 5 8 0 7/2 1 0 3 -1/2 20 MC(j)-Z(j) -43 0 -23 0 0 -17 3 因为 7
20、30 并且 ai70,原问题无可行解。两阶段法第一阶段：数学模型为 6123456min910,jZxxC(j) 0 0 0 0 0 1 R. H. S. RatioBasis C(i) X1 X2 X3 X4 X5 X6 X3 0 5 3 1 0 0 0 9 1.8X4 0 -5 6 0 1 0 0 15 MX6 1 2 1 0 0 -1 1 5 2.5C(j)-Z(j) -2 -1 0 0 1 0 5 14X1 0 1 3/5 1/5 0 0 0 9/5 X4 0 0 9 1 1 0 0 24 运筹学( 第 3 版) 习题答案 21X6 1 0 -1/5 -2/5 0 -1 1 7/5 C
21、(j)-Z(j) 0 1/5 2/5 0 1 0 因为 X60,原问题无可行解。图解法如下：(4) 123231max45608,jZxx【解】大 M 法。X7 是人工变量，数学模型为 12323415776maxM6080,jZxxxCj 4 2 5 0 0 0 M R.H.S. RatioCB XB X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 0 X4 6 -1 4 1 100 X5 3 -3 -5 1 8M X7 1 2 1 1 1 20 10C(j)-Z(j) 4 2 5* Big M M 2M M 1运筹学( 第 3 版) 习题答案 220 X4 13/2 9/2 1 -1/2 1/2
22、 200 X5 9/2 -7/2 1 -3/2 3/2 382 X2 1/2 1 1/2 -1/2 1/2 10C(j)-Z(j) 3 4 1 -1* Big M -15 X3 13/9 1 2/9 -1/9 1/9 40/90 X5 86/9 7/9 1 -17/9 17/9 482/92 X2 -2/9 1 -1/9 -4/9 4/9 70/9C(j)-Z(j) -25/9 -8/9 13/9 -13/9* Big M -1无界解。两阶段法。第一阶段： 12345677min610820,jZxxCj 0 0 0 1 R.H.S. RatioCB XB X1 X2 X3 X4 X5 X6
23、X7 0 X4 6 -1 4 1 100 X5 3 -3 -5 1 81 X7 1 2 1 1 1 20 10C(j)-Z(j) 1 2 1 10 X4 13/2 9/2 1 -1/2 1/2 200 X5 9/2 -7/2 1 -3/2 3/2 382 X2 1/2 1 1/2 -1/2 1/2 10C(j)-Z(j) 1第二阶段：Cj 4 2 5 0 0 0 R.H.S. RatioCB XB X1 X2 X3 X4 X5 X6 0 X4 13/2 9/2 1 -1/2 200 X5 9/2 -7/2 1 -3/2 381 X2 1/2 1 1/2 -1/2 10C(j)-Z(j) 7/2
24、 9/2 1/20 X3 13/9 1 2/9 -1/9 40/90 X5 86/9 7/9 1 -17/9 482/92 X2 -2/9 1 -1/9 -4/9 70/9C(j)-Z(j) -3 -1 1原问题无界解。运筹学( 第 3 版) 习题答案 231.12 在第 1.9 题中，对于基 求所有变量的检验数 ,并判断 B 是B2140, j()14不是最优基【解】 ,104,2B102104(5,)(,1595(,20)(,0)(,)424BCAB 不是最优基，可以证明 B 是可行基。95(0,),241.13 已知线性规划 12341234max870350,jzxx的最优基为 ，试用
25、矩阵公式求（1）最优解；(2) 单纯形乘子；(3) (4)B N13及 ；13和 。【解】则14254,(,)(,82BBCc(1) 1455(,)(,)(0,),02TTTBXxbXZ最 优 解(2) 1C(3)运筹学( 第 3 版) 习题答案 241133512443544122NBP(4) 1133 45(,8)502347(,8)7012BBcCNc注：该题有多重解：X(1)=(0，5，0，5/2)X(2)=(0，10/3，10/3，0)X(3)=(10，0，0，0) ，x 2 是基变量，X (3)是退化基本可行解Z501.14 已知某线性规划的单纯形表 128, 求价值系数向量 C
26、及目标函数值 Z表 128Cj c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 b3 x4 0 1 2 1 3 0 2 44 x1 1 0 1 0 2 0 1 00 x6 0 1 4 0 4 1 2 3/2j 0 1 1 0 1 0 2【解】由 有jjijcajjijccac21（31400（1） ）2c31（324（1）04）1c51（3（3）420（4） ）0c7-2（ 324(1)02）0则 C(4,2,1,3,0,0,0,)，Z=C BXB=12 1.15 已知线性规划 321maxxccZ运筹学( 第 3 版) 习题答案 250,3212
27、31xbxaa的最优单纯形表如表 129 所示，求原线性规划矩阵 C、A、及 b，最优基 B 及 1表129Cj c1 c2 c3 c4 c5CB XB x1 x2 x3 x4 x5 bc1 x1 1 0 4 1/6 1/15 6c2 x2 0 1 3 0 1/5 2j 0 0 1 2 3【解】由 c4c 50，1 1665(),0BB ， 得 到由公式 得jjijca412116(,)/020cc5 253,341(2,)13c由 1AB得 62046055由 1b得 302101.16 思考与简答（1）在例 1.2 中，如果设 xj(j=1，2，7)为工作了 5 天后星期一到星期日开始休息
28、的营业员，该模型如何变化。（2）在例 1.3 中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路。（3）在例 1.4 中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过 1，模型如何变化。（4）在例 1.6 中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间 1 小时，模型如何变化。(5)在单纯形法中，为什么说当 时线性规划具有无界解。0(,2)kikam并 且(6)选择出基变量为什么要遵循最小比值规则，如果不遵循最小比值规则会是什么结果。（7） 简 述 大 M 法 计 算 的 基 本 思 路 ， 说 明 在 什
29、么 情 形 下 线 性 规 划 无 可 行 解 。（ 8） 设 X(1)、 X(2)、 X(3)是 线 性 规 划 的 3 个 最 优 解 ， 试 说 明1(2)()123123,0)其 中 并 且也 是 线 性 规 划 的 最 优 解 。运筹学( 第 3 版) 习题答案 26（ 9） 什么是基本解、可行解、基本可行解、基本最优解，这四个解之间有何关系。（10）简述线性规划问题检验数的定义及其经济含义。返回顶部运筹学( 第 3 版) 习题答案 27第2章 线性规划的对偶理论2.1 某人根据医嘱，每天需补充 A、 B、 C 三种营养，A 不少于 80 单位，B 不少于 150 单位，C 不少于
30、180 单位此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表 2-22 所示 （1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有 A，B，C 三种营养成分试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型表2-22含量 食物营养成分一 二 三 四 五 六 需要量A 13 25 14 40 8 11 80B 24 9 30 25 12 15 150C 18 7 21 34 10 0 180食物单价（元/100g） 0.5 0.4 0.8 0.9 0.
31、3 0.2【解】 （1）设 xj 为每天第 j 种食物的用量，数学模型为0183421718 50259453 2.3.900min653566432xxxxZ、（2）设 yi 为第 i 种单位营养的价格，则数学模型为123123123123ma048.597.0098.5,wyyyy2.2 写出下列线性规划的对偶问题运筹学( 第 3 版) 习题答案 28（1） 【解】123123min504,x 121212max0435,0wyy（2） 【解】123123ax450,Zx无 约 束 21212in340wyy无 约 束 ；（3） 【解】12341234max0765048,Zxxx 9无
32、约 束 ， 123231231min49768450,wyyy无 约 束（4） 【解】12341342134ma676580,Zxxxx， 无 约 束 23413421234max6716580,Zxxx， 无 约 束对偶问题为： 123451234512345min6+85670,0wyyyyy,， ， ，2.3 考虑线性规划 0,73254min12121xxZ运筹学( 第 3 版) 习题答案 29(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解；(3)利用公式 CBB1 求原问题的最优解；(4)利用互补松弛条件求原问题的最优解【解】(1)原问题的对
33、偶问题为 123123max47500,jwyy容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如 X(2 ，1)、Y(1，0，1) ，由定理 2.4 知都有最优解。(2)对偶问题最优单纯形表为C(j) 4 2 7 0 0Basis C(i) y1 y2 y3 y4 y5 R. H. S.y3 7 0 -1/5 1 4/5 -1/5 28/5y1 4 1 7/5 0 -3/5 2/5 4/5C(j)-Z(j) 0 -11/5 0 -16/5 -1/5 w=42.4对偶问题的最优解 Y(4/5,0,28/5)，由定理 2.6，原问题的最优解为 X=(16/5，1/5)，Z42.4（3）C B=(7,4),
34、, 14532415(7,)(6/5,)32X(4)由 y1、y 3 不等于零知原问题第一、三个约束是紧的，解等式 12437x得到原问题的最优解为 X=(16/5，1/5)。2.4 证明下列线性规划问题无最优解 无 约 束321321,0,minxZ证明：首先看到该问题存在可行解，例如 x=(2,1,1)，而上述问题的对偶问题为122121a30,wyy无 约 束运筹学( 第 3 版) 习题答案 30由约束条件知 y10，由约束条件当 y20 知 y11 ，对偶问题无可行解，因此原问题也无最优解(无界解)。2.5 已知线性规划 123123123max5607,Zxxx无 约 束的最优解 ，求对偶问题的最优解19(,0)4TX【解】其对偶问题是： 123123123min5670,wyy由原问题的最优解知，原问题约束的松弛变量不等于零( )，x 1、x 3 不等于零，30s则对偶问题的约束、约束为等式，又由于 知 y30；解方程3sx125y得到对偶问题的最优解 Y=(5/2,5/2,0)；w 55/227.52.6 用对偶单纯形法求解下列线性规划123123min460,Zx（ ）【解】将模型化为 12341235in6100,jZxx对偶单纯形表：cj 3 4 6 0 0CB XB X1 X2 X3 X4 X5 b00X4X512223110011012
