1、晶体的宏观对称性物理科学学院 季淑英 2014020231摘 要 : 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的 8 种基本宏观对称操作。关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴一 什么是晶体人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在 1914 年，人类首次测定了 Nacl 的晶体结构。此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。而晶
2、体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。二 晶体的宏观对称对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。1 对称操作对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。一个物体的对称操作越多，其对称性越高。例如密度 作为位矢 的函数
3、，即r。我们可以定义一个引起坐标变换的操作 满足）r（ g，r如果这导致 ）（）（）r（ 那么 是 的一个对称操作。g）r（2 对称元素对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（ ）；对称线，i旋转轴（ 或者 ）和旋转反演轴（ ）；对称面，反映面（ ）等。nnCnm以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换保持两点距离不变的变换：zyxazyx32311，其中， 为正交矩阵，M3231M2.1 对称中心和反演（ ）i取晶体中心为原点，将晶体中任一点 变成z，y，xz-，y，x1-0M2.2 对称面和反映（ ）m以 作为镜面，将晶体中的任何一点
4、变成0zz，y，xz-yx，1-0M2.3 次旋转对称轴（ 或者 ）和 次旋转反演轴（ ）nnnCn2.3.1 次旋转对称轴（ 或者 ）若晶体绕某一固定轴旋转角度 以后能自身重合，则称该轴为 次/2n旋转对称轴。定理 1：晶体结构中允许的转动对称轴只能是 1、2、3、4 和 6 重轴证明：如图所示 ， 为一列点阵上相邻的两格点，其周期为 。现晶体允许有 次1A2 an旋转轴通过格点，因为每个阵格的性质相同。以 作半径转动角为 将可2得到另一个格点。绕 顺时针将 转 到格点 ，而绕 逆时针将 转 到格12A1B2A1点 。 和 连线平行于 ， 直线点阵，且 和 间的距离必须为 的整2B12 a数
5、倍，设为 ， 为整数。ma则有： ma-180cos 2a）（ 21|m-mcos/n2 n-1 1 03610 1/2 61 0 0942 -1/2 1233 -1 082由上表可知，晶体的旋转对称轴只能是 1、2、3、4 和 6 重轴。晶体中只有 1，2，3，4，6 次旋转轴，没有 5 次轴和大于 6 次以上的轴，可以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面，而 5 边形和(n6)边形不能布满平面空间 来直观理解。2.3.2 次旋转反演轴（ ）nn绕某一对称轴旋转 以后，再经过中心反演晶体能自身重合，则/2称该轴为 次旋转反演轴，称 次旋转反演轴，又称像转轴。显然晶体
6、的旋转反演轴也只有 1,2,3,4,6 次，而不可能有 5 次或 6 次以上的旋转反演轴，用表示。6，4，3，2，1注意：只有黑色点具有旋转反演轴对称关系对于晶体的宏观对称性，有反演，反映，旋转轴三类对称操作，对应和 ， 等 12 种操作，但这 12 种对称操作并不完全是线性无关64321,， im的（相互独立的），在研究晶体的对称性时，需要用三类操作的线性无关操作来简化问题。定理 2：在晶体的宏观对称性中，有以下 8 种基本对称操作元素，即1，2,3,4,6， ， ，im4证明：表示中心反演，称为对称中心，即 ，2 次旋转反演轴 代表垂直于该轴1 2的对称面（镜像）即 。 的效果和 3 次旋
7、转轴加上对称中心 的总效果是m2 i一样的。 的效果和 3 次旋转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果是一样的。6即 ， ， ， ，在有 1,2,3,4,6， 和 的情i1im6m况下，它们都不是独立的，唯有 是一个独立的对称元素和对称操作。综上所4得，在晶体的宏观对称性中，只有 1，2,3,4,6， ， ， 这 8 种基本对称操作i4元素。三 总结晶体的理想外形及其宏观观察中所表现出来的对称性称为宏观对称性，它与有限分子的对称性一样，也具有点对称的性质。对称元素所对应的对称操作构成点群。每个晶体的对称性是上述 8 种基本对称元素的可能组合，可以证明总共只能有 32 种不同的组合方式，称为 32 种晶体学点群。点群反映的是晶体理想外形的对称性，根据晶体对称性的差异对晶体进行科学的分类，为晶体的研究提供理论基础。
