1、全国 2010 年度 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1已知 2 阶行列式 ， ，则 （ B ）mba21 ncb21 21cabA B C Dnmnm)(nmncacab 2121212设 A , B , C 均为 n 阶方阵， ， ，则 （ D ）BAABA ACB B CAB C CBA D BCA)()()()(3设 A 为 3 阶方阵， B 为 4 阶方阵，且 ， ，则行列式 之值为（ A ）1|A2|B|BA B C2 D8828|)(|2| 3AB4 ， ， ， ，则 （ B 32311a3231
2、1a103P10Q）A PA B AP C QA D AQ32311aP0Ba323115已知 A 是一个 矩阵，下列命题中正确的是（ C ）4A若矩阵 A 中所有 3 阶子式都为 0，则秩( A)=2B若 A 中存在 2 阶子式不为 0，则秩( A)=2C若秩( A)=2，则 A 中所有 3 阶子式都为 0D若秩( A)=2，则 A 中所有 2 阶子式都不为 06下列命题中错误的是（ C ）A只含有 1 个零向量的向量组线性相关 B由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关C由 1 个非零向量组成的向量组线性相关 D2 个成比例的向量组成的向量组线性相关7已知向量组 线性无关， 线性相关，则
3、（ D ）321,31A 必能由 线性表出 B 必能由 线性表出12,31C 必能由 线性表出 D 必能由 线性表出3,21 2注： 是 的一个极大无关组321,38设 A 为 矩阵， ，则方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是 A 的秩（ D ）nmnA小于 m B等于 m C小于 n D等于 n 注：方程组 Ax=0 有 n 个未知量9设 A 为可逆矩阵，则与 A 必有相同特征值的矩阵为（ A ）A B C DT21AA，所以 A 与 有相同的特征值|)(| EET T10二次型 的正惯性指数为（ C ）21321321, xxxf A0 B1 C2 D3，正惯性指数为 2212332
4、1)(),( yxf 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11行列式 的值为_20198721098720 12设矩阵 ， ，则 _0231ABBAT13BT 16213设 ， ，若向量 满足 ，则 _T)2,0(T)4,3(32TTT)8,35()4,026()1,39(23 14设 A 为 n 阶可逆矩阵，且 ，则| _nA1| |1|1|15设 A 为 n 阶矩阵， B 为 n 阶非零矩阵，若 B 的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则 _|个方程、 个未知量的 Ax=0 有非零解，则 0|A16齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数为_32
5、01xx，基础解系所含解向量的个数为 0312A 123rn17设 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值是 ，则矩阵 必有一个特征值为_312AA 有特征值 ，则 有特征值 ， 有特征值 321)(1212318设矩阵 的特征值为 ，则数 _02x,4x由 ，得 21401x19已知 是正交矩阵，则 _10/baAba由第 1、2 列正交，即它们的内积 ，得 00)(220二次型 的矩阵是_3231321 64),( xxxf 0312三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21计算行列式 的值3322cbaD解： 22332233221cbaccba 2222011cbac
6、c )()(1)( baababa22已知矩阵 ， ，求（1） ；（2） )3,12(B)3,2(CCBAT2A解：（1） ；964),(AT（2）注意到 ，所以132),(TCB13)()(2 ACBATTT 962423设向量组 ，求向量组的秩T4T3T2T1 (1,),)0,1(,(1,0),(,3) 及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量解： 1032),(4321A123010230，向量组的秩为 3， 是10200421,一个极大无关组， 2324已知矩阵 ， （1）求 ；（2）解矩阵方程 10A354B1ABAX解：（1） 023),(E103， ；10
7、101A02（2） BAX231943525问 a 为何值时，线性方程组 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求6231xxa出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解） 解： 632041),(abA2304a030241a时， ，有惟一解，此时3a3)(,(Arb),(bA01243a0124， ；01201213x时， ，有无穷多解，此时3anArb2)(,( ),(bA02341， ，通解为 ，其中 为任0231012/31332x12/30kk意常数26设矩阵 的三个特征值分别为 ，求正的常数 a 的值及可逆矩阵 P，使302aA5,21521P解：由 ，得 ，
8、521)9(2303| aaA 42aE320对于 ，解 ：10)(xAE， ，取 ；AE200132x1p0对于 ，解 ：2)(xAE， ，取 ；AE12001321x2p01对于 ，解 ：53)(xAE， ，取 AE200132x3p1令 ，则 P 是可逆矩阵，使 1),(321pP 502AP四、证明题（本题 6 分）27设 A， B， 均为 n 阶正交矩阵，证明 11)(BA证： A， B， 均为 n 阶正交阵，则 ， ， ，所以TT 1)()(AT11)()( BA全国 2010 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分
9、，共 20 分）1设 3 阶方阵 ，其中 （ ）为 A 的列向量，若),(321Ai3,1|B，则 （ C ）6|),2(| 3|6|),(| 3211A B C6 D122计算行列式 （ A ）3200513A B C120 D180181803)2(1023)(2051323051 3若 A 为 3 阶方阵且 ，则 （ C ）|1A|A B2 C4 D821， |418|3A4设 都是 3 维向量，则必有（ B ）4321,A 线性无关 B 线性相关4321,C 可由 线性表示 D 不可由 线性表示1432,5若 A 为 6 阶方阵，齐次方程组 Ax=0 基础解系中解向量的个数为 2，则
10、（ C ）)(ArA2 B3 C4 D5由 ，得 4)(r)(r6设 A、 B 为同阶方阵，且 ，则（ C ）)(rAA A 与 B 相似 B C A 与 B 等价 D A 与 B 合同|注： A 与 B 有相同的等价标准形7设 A 为 3 阶方阵，其特征值分别为 ，则 （ D ）0,12|2|EA0 B2 C3 D24的特征值分别为 ，所以 E2,344|A8若 A、 B 相似，则下列说法错误的是（ B ）A A 与 B 等价 B A 与 B 合同 C D A 与 B 有相同特征值|B注：只有正交相似才是合同的9若向量 与 正交，则 （ D ）)1,2(),3(ttA B0 C2 D42由内
11、积 ，得 46tt10设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 ，则（ B ）0,1A A 正定 B A 半正定 C A 负定 D A 半负定对应的规范型 ，是半正定的02231zz二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11设 ， ，则 _42103A01BABB 24356012设 A 为 3 阶方阵，且 ， 则 _3|A|19|1|11 13三元方程 的通解是_321x，通解是 3321xx 10021k14设 ，则与 反方向的单位向量是_),(2,13|115设 A 为 5 阶方阵，且 ，则线性空间 的维数是_3)(Ar 0|AxW的维数等于 基础解系所含向量的
12、个数： 0|xW0x 235rn16125)/(25|15| 331 A17若 A、 B 为 5 阶方阵，且 只有零解，且 ，则 _0Ax3)(Br)(Ar只有零解，所以 可逆，从而 0x )(r18实对称矩阵 所对应的二次型 _102 ),(321xf32231321),( xxxf 19设 3 元非齐次线性方程组 有解 ， ，且 ，则 的通bA13 212)(Arbx解是_是 的基础解系， 的通解是 01)(212AxbAx0132k20设 ，则 的非零特征值是_3T由 ，可得 ，设 的非零特征值是 ，142),(T AATT14)(2则 ， 142三、计算题（本大题共 6 小题，每小题
13、9 分，共 54 分）21计算 5 阶行列式 201102D解：连续 3 次按第 2 行展开， 2438120124012 D22设矩阵 X 满足方程 ，求 X02320X解：记 ， ， ，则 ，012A1B14CCAB， ，2/1 01CBAX10213402143423求非齐次线性方程组 的通解089531421xx解： ),(bA089514317630017643，0764205/2/35，通解为 ， 都是任意常数44334231745xxxx 104/732/04/151k21,k24求向量组 ， ， 的秩和一个极大无关组),12(1)4,1,9(2)8,24(3解： 840),(3
14、21T21050819，向量组的秩为 2， 是一个极大无关组01901221,25已知 的一个特征向量 ，求 及 所对应的特征值，并写2135baAT)1,(ba,出对应于这个特征值的全部特征向量解：设 是 所对应的特征值，则 ，即 ，从而A12135ba，可得 ， ， ；12ba3a0b对于 ，解齐次方程组 ：)(xAEAE2013521035221350120， ，基础解系为 ，属于 的全部特征向量为 ， 为任0132xk意非零实数26设 ，试确定 使 212aAa2)(Ar解： a122301a， 时 a02310)(Ar四、证明题（本大题共 1 小题，6 分）27若 是 （ ）的线性无
15、关解，证明 是对应齐次线性方321,bAx0,1213程组 的线性无关解0x证：因为 是 的解，所以 ， 是 的解；321, 12130Ax设 ，即 ，由 线性0)()(1kk )(32kk 321,无关，得 ，只有零解 ，所以 线性无关021k21k,1213全国 2011 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中， A-1表示方阵 A 的逆矩阵， r(A)表示矩阵 A 的秩， （ ）表示向量 与 的内,积， E 表示单位矩阵，| A|表示方阵 A 的行列式.一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1.设行列式 =4，则行列
16、式 =（ ）32311a32311aaA.12 B.24C.36 D.482.设矩阵 A， B， C， X 为同阶方阵，且 A， B 可逆， AXB=C，则矩阵 X=（ ）A.A-1CB-1 B.CA-1B-1C.B-1A-1C D.CB-1A-13.已知 A2+A-E=0，则矩阵 A-1=（ ）A.A-E B.-A-EC.A+E D.-A+E4.设 是四维向量，则（ ）54321,A. 一定线性无关 B. 一定线性相关, 54321,C. 一定可以由 线性表示 D. 一定可以由 线性表出54321, 5432,5.设 A 是 n 阶方阵，若对任意的 n 维向量 x 均满足 Ax=0,则（ ）
17、A.A=0 B.A=EC.r(A)=n D.0r(A)(n)6.设 A 为 n 阶方阵， r(A)n，下列关于齐次线性方程组 Ax=0 的叙述正确的是（ ）A.Ax=0 只有零解 B.Ax=0 的基础解系含 r(A)个解向量C.Ax=0 的基础解系含 n-r(A)个解向量 D.Ax=0 没有解7.设 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，则（ ）21,A. 是 Ax=b 的解 B. 是 Ax=b 的解21C. 是 Ax=b 的解 D. 是 Ax=b 的解2132138.设 ， ， 为矩阵 A= 的三个特征值，则 =（ ）123205493321A.20 B.24C.28 D.309.设
18、 P 为正交矩阵，向量 的内积为（ ）=2，则（ ）=（ ）, P,A. B.121C. D.2310.二次型 f(x1,x2,x3)= 的秩为（ ）3212321 xxA.1 B.2C.3 D.4二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.行列式 =0，则 k=_.12k12.设 A= ， k 为正整数，则 Ak=_.013.设 2 阶可逆矩阵 A 的逆矩阵 A-1= ，则矩阵 A=_.432114.设向量 =（6，-2，0，4） ， =（-3，1，5，7） ，向量 满足 ，则32=_.15.设 A 是 mn 矩阵，
19、 Ax=0,只有零解，则 r(A)=_.16.设 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个解，则 A（3 ）=_.21, 21717.实数向量空间 V=（ x1,x2,x3）| x1-x2+x3=0的维数是_.18.设方阵 A 有一个特征值为 0，则| A3|=_.19.设向量 （-1，1，-3） ， （2，-1， ）正交，则 =_.20.设 f(x1,x2,x3)= 是正定二次型，则 t 满足_.3123214xtx三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21.计算行列式 baccba222.设矩阵 A= ，对参数 讨论矩阵 A 的秩.16015223.求解矩阵方程 X=10
20、523352424.求向量组： ， ， ， 的一个极大线性无关组，并21561337214将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.25.求齐次线性方程组 的一个基础解系及其通解.03241xx26.求矩阵 的特征值和特征向量.31428四、证明题（本大题共 1 小题，6 分）27.设向量 ， ，., 线性无关，1 j k. 证明： + ， ，, 线性无关.2k1j2k全国 2011 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管）试题参考答案课程代码：04184三、计算题解：原行 列式全国 2011 年 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明： AT表示矩阵 A 的转置
21、矩阵， A*表示矩阵 A 的伴随矩阵， E 是单位矩阵，| A|表示方阵 A的行列式.一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1下列等式中，正确的是（ ）A B3 =C5 D2下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）A BC D3设 A、B 均为 n 阶可逆矩阵，且 C= ，则 C-1是（ ）A BC D4设 A 为 3 阶矩阵， A 的秩 r (A)=3，则矩阵 A*的秩 r (A*)=（ ）A0 B1C2 D35设 向 量 ， 若 有 常 数 a,b 使 ， 则（
22、）A a=-1, b=-2 B a=-1, b=2C a=1, b=-2 D a=1, b=26向量组 的极大线性无关组为（ ）A BC D7设矩阵 A= ，那么矩阵 A 的列向量组的秩为（ ）A3 B2C1 D08设 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有一个特征值等于（ ）A BC D9设矩阵 A= ，则 A 的对应于特征值 的特征向量为（ ）A （0，0，0） T B （0，2，-1） TC （1，0，-1） T D （0，1，1） T10二次型 的矩阵为（ ）212321),(xxf A BC D二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11行列式 _.12行列
23、式 中第 4 行各元素的代数余子式之和为_.23501013设矩阵 A= ， B=（1，2，3） ，则 BA=_.14设 3 阶方阵 A 的行列式| A|= ，则| A3|=_.15设 A， B 为 n 阶方阵，且 AB=E， A-1B=B-1A=E，则 A2+B2=_.16已知 3 维向量 =（1，-3，3） ， （1，0，-1）则 +3 =_.17设向量 =（1，2，3，4） ，则 的单位化向量为_.18设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0，且 A 的秩为 n-1，则齐次线性方程组 Ax=0 的通解为_.19设 3 阶矩阵 A 与 B 相似，若 A 的特征值为 ，则行列式| B-1|
24、=_.41,3220设 A= 是正定矩阵，则 a 的取值范围为_.三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21已知矩阵 A= ， B= ，求：（1） ATB；（2）| ATB|.22设 A= ， B= ， C= ，且满足 AXB=C，求矩阵 X.23求向量组 =（1, 2, 1, 0） T， =（1, 1, 1, 2） T， =（3, 4, 3, 4） T， =（4, 5, 6, 4） T的秩与一个极大线性无关组. 24判断线性方程组 是否有解，有解时求出它的解.15422343141x25已知 2 阶矩阵 A 的特征值为 =1， =9，对应的特征向量依次为 =（-1，1
25、） T，=（7，1） T，求矩阵 A.26已知矩阵 A 相似于对角矩阵 = ，求行列式| A-E|的值.四、证明题（本大题共 6 分）27设 A 为 n 阶对称矩阵， B 为 n 阶反对称矩阵.证明：（1） AB-BA 为对称矩阵；（2） AB+BA 为反对称矩阵.全国 2011 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中， AT表示方阵 A 的转置钜阵， A*表示矩阵 A 的伴随矩阵， E 表示单位矩阵，| A|表示方阵 A 的行列式.一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1设 ，则 =（ ）01354TA-49 B-7C7
26、 D492设 A 为 3 阶方阵，且 ，则 （ ）4A2A-32 B-8C8 D323设 A， B 为 n 阶方阵，且 AT=-A， BT=B，则下列命题正确的是（ ）A （ A+B） T=A+B B （ AB） T=-ABC A2是对称矩阵 D B2+A 是对称阵4设 A， B， X， Y 都是 n 阶方阵，则下面等式正确的是（ ）A若 A2=0，则 A=0 B （ AB） 2=A2B2C若 AX=AY，则 X=Y D若 A+X=B，则 X=B-A5设矩阵 A= ，则秩（ A）=（ ）13045A1 B2C3 D46若方程组 仅有零解，则 k=（ ）02kxzyA-2 B-1C0 D27实数
27、向量空间 V=（ x1， x2， x3）| x1 +x3=0的维数是（ ）A0 B1C2 D38若方程组 有无穷多解，则 =（ ）123()4(2)x A1 B2C3 D49设 A= ，则下列矩阵中与 A 相似的是（ ）02A B10 102C D102 0110设实二次型 ，则 f（ ）21233(,)fxxA正定 B不定C负定 D半正定二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设 A=(-1,1,2)T， B=(0,2,3)T,则| ABT|=_.12设三阶矩阵 ，其中 为 A 的列向量，且| A|=2，则123,(1,23)i_.12,13设 ，且秩( A)=3，则 a,b,c 应满足_.012Aacb14矩阵 的逆矩阵是_.312Q15三元方程 x1+x3=1 的通解是_.16已知 A 相似于 ，则| A-E|=_.017矩阵 的特征值是_.0118与矩阵 相似的对角矩阵是_.2A19设 A 相似于 ，则 A4_.1020二次型 f(x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩阵是_.三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21计算 4 阶行列式 D= .431222设 A= ，而 X 满足 AX+E=A2+X，求 X.1026
