1、初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 公式，通过公式运用，培养学生运用公式的计算能力.2.过程与方法：经历探索平方差公式、完全平方公式和公式(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab 的过程，培养学生研究问题和探索规律的方法.3.情感态度与价值观：(1)通过从多项式的乘法到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养学生从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；(2)通过乘法公式的几何背景，培养学生运用数形结合的思想方法和整体的数学思想方法的能力.4.重点与难点：重点是掌握公式(a+b)(a-b)=a 2-b2,(ab)2=a22ab+b2.难点是公式中字母的广泛含义.教材解读
2、 精华要义数学与生活如图 1516 所示，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形，(1)请表示图 1516(1)中阴影部分的面积；(2)某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图 1516(2)所示，这个长方形的长和宽分别是多少？请你表示出它的面积？(3)比较(1)(2)的结果，你能发现什么？初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 由图 1516(1)可知，阴影部分的面积为(a 2-b2)，由图 1516(2)可知，拼成长方形的长为(a+b),宽为(a-b),其面积为(a+b)(a-b)，由于图(2)是由图(1)拼成的，故两图面积相等，所以有(a+b)(a-b)=a 2-
3、b2 那么如何证明呢？知识详解知识点 1 平方差公式及其导出平方差公式是指(a+b)(a-b)=a 2-b2.这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.课本中本节的开始是先让同学们做几个多项式相乘的小题.经过计算，同学们首先发现，四个小题所得到的结果有惊人的相同之处：每个小题的结果都只含有两项，而且都可以写成两个数的平方差形式.为什么会有这些相同之处呢？同学们会想到，这是由于每个小题中的两个多项式都有非常特殊的关联：它们的第一项都相同，第二项的绝对值相同，但是符号相反.归纳类似的多项式相乘的式子，就得到了平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-a2.直接计算也可以得到这个公式
4、：(a+b)(a-b)=a 2-ab+ab-b2=a2-b2.【注意】 a,b 仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子（单项式、多项式等），只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差.认识公式的特征至关重要.平方差公式的特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ （1）在应用公式(a+b)(a-b)=a 2-b2 时，需仔细识别公式中的 a 与b，例如：(2x+3)(2x-3)中，把 2x 看成 a，3 看成 b；(-m+2n)(-m-2n)中，把-m 看成a，2n 看成 b；(3a-2b)(-3
5、a-2b)中,把-2b 看成 a,3a 看成 b，因此有：(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9；(-m+2n)(-m-2n)=(-m)2-(2n)2=m2-4n2；(3a-2b)(-3a-2b)=(-2b)2-(3a)2=4b2-9a2.(2)在 5149 中，a= 4951=50，b= 4951=1，5149=(50+1)(50-1)=50 2-12=2499.知识点 2 完全平方公式及其推导探究交流计算下列各式，你能发现什么规律？(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ； (2)(m+2) 2= ；(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)= ； (4)(m-2) 2=
6、 .点拨 两个数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的 2 倍.一般地，我们有：(a+b)2= a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.例如：(2x+3) 2=(2x)2+22x3+32=4x2+12x+9，(3m-4)2=(3m)2-23m4+42=9m2-24m+16.在记忆公式(ab) 2=a22ab+b2 时，要在理解和比较的基础上记忆，两个公式相同之处在于两个数的平方和，不同之处在于中间项的符号不同，计算时要注意.如：(x-2y)2=x
7、2-2x2y+(2y)2=x2-4xy+4y2.说明完全平方公式，既可以用多项式乘法进行推导：初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ a2+2ab+b2.同时，也可以用观察情境来推导，如图 1517 所示.由图(1)可知，(a+b) 2=a2+2ab+b2，由图(2)可知，(a-b) 2=a2-2ab+b2.知识点 3 添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.【说明】 添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可用去括号进行检验.知识点 4 公式(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab公式(
8、x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab 的推导可以用多项式乘法公式椎导.(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab.例如：(x+2)(x+3)=x 2+(2+3)x+23=x2+5x+6，(x+2)(x-3)=x2+(2-3)x+2(-3)=x2-x-6.【注意】 注意 a 与 b 的值，该公式在多项式乘法中广泛应用.典例剖析 师生互动初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 2+(a+b)x+ab.例 1 运用平方差公式计算.(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(b+2a)(2a-b)；(3)(-x+2y)(-x-2y).(分析) (1)中，把
9、 3x 看作 a，2 看作 b；(2)中，2 a 看作 a，b 看作 b；(3)中，-x看作 a，2y 看作 b.解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x) 2-22=9x2-4.(2)(b+2a)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2例 2 运用完全平方公式计算.(1)(4m+n)2； (2)(y- 1)2.(分析) 主要是正确地应用公式.解：(1)(4m+n) 2=(4m)2+24mn+n2=16m2+8mn+n2.(2)(y- 1)2=y2-2y +( 1)2=y2-y+ 4.【说明】 在应用公式 (a+b
10、)(a-b)=a2-b2 和(ab) 2=a22ab+b2 时，关键是看清题目中哪一个是公式中的 a，哪一个是公式中的 b.例 3 运用乘法公式计算.(1)10298； (2)102 2； (3)99 2.(分析)灵活应用乘法公式计算.(1)中，10298=(100+2)(100-2)；(2)中，1022=(100+2)2；(3)中，99 2=(100-1)2，然后利用公式计算即可.解：(1)10298=(100+2)(100-2)=100 2-22=10000-4=9996.(2)1022=(100+2)2=1002+21002+22=10000+400+4=10404.(3)992=(10
11、0-1)2=1002-21001+12=10000-200+1=9801.初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 4 计算.(1)(m-5)(m+3)； (2)(2x-3)(2x-4).(分析)本题主要考查公式(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab 的应用.解：(1)(m-5)(m+3)=m2+(-5)+3m+(-5)3=m2-2m-15.(2)(2x-3)(2x-4)=(2x)2+(-3)+(-4)2x+(-3)(-4)=4x2-14x+12.综合应用题本节知识的综合应用主要包括：(1)公式之间的综合应用；(2)与方程的综合应用；(3)与不等式的综合应用.例 5 计算.
12、(1)(x+2y-3)(x-2y+3)； (2)(a+b+c) 2；(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).(分析) 本题主要考查灵活应用整式乘法公式进行计算.(1)题把 x 看作公式中的a，(2y-3)看成公式中的 b；(2)题把(a+b)看成公式中的 a，c 看成公式中的 b；(3)题运用公式(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab.解：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=x+(2y-3)x-(2y-3)=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9.(2)(a+b+c)2=(a+b)+c2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2
13、ab+b2+2ac+2bc+c2.(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=(y2-4)-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 6 计算.(1)(b-2)(b2+4)(b+2)； (2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b).(分析) (1)题用乘法的交换律和结合律；(2)题用平方差公式和整式减法.解：(1)(b-2)(b 2+4)(b+2)=(b-2)(b+2)(b2+4)=(b2-4)(b2+4)=b4-16.(2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b)=(4a2-b2)-(9a
14、2-4b2)=4a2-b2-9a2+4b2=-5a2+3b2.学生做一做 计算.(1)( 1-x)( 4+x2)(x+ 1)； (2)(x+3) 2-(x+2)(x-2).老师评一评 (1)原式= 6-x4； (2)原式=6x+13.例 7 解方程 2(x-2)+x 2=(x+1)(x-1)+x(分析) 熟练应用整式的乘法公式.解：2x-4+x 2=x2-1+x，2x+x2-x2-x=-1+4，x=3.例 8 解不等式 x(x-3)(x+7)(x-7).(分析)考查应用整式乘法及平方差公式去括号.解：x 2-3xx 2-49，x2-3x-x2-49，-3x-49，x 349.探索与创新题主要考
15、查灵活应用所学公式解决现实问题.例 9 计算 19982-19971999.初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 2-19971999=19982-(1998-1)(1998+1)=19982-(19982-1)=19982-19982+1=1.学生做一做 计算 204032.老师评一评 原式= )13)(2= )0(322= 122= 1=2003.例 10 计算(2+1)(2 2+1)(24+1)(22n+1).(分析)要计算本题，一般先计算每一个括号内的，然后再求它们的积，这样做是复杂的，也是不必要的，我们不妨考虑用平方差公式来解决，即在原式上乘以(2-1),再同时除以(2
16、-1)即可.解：原式= 12)12()()(124n=(22-1)(22+1)(24+1)(22n+1)=(24-1)(24+1)(22n+1)=(22n)2-1初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 计算.(1)3(22+1)(24+1)(232+1)+1；(2)1002-992+982-972+962-952+22-12；(3)(1- 1)(1- 3)(1- 1)(1- 9)(1-10).老师评一评 (1)由例 10 可以得到提示.(22+1)(24+1)(232+1)= 1)()()(2324=(232)2-1 3= 1(264-1).原式=3 (264-1)+1=264-1
17、+1=264.(2)由平方差公式和等差数列公式 Sn= )1(可知，原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(96+95)(96-95)+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)=100+99+98+97+96+95+4+3+2+1= 2)10(=5050.(3)由平方差公式和分数乘法公式可知，原式=(1+ 21)(1- )(1+ 31)(1- )(1+ 41)(1- )(1+ 91)(1- )(1+10)(1- )= 3 4 5 90 8 0= 21 0初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 201.例 11 已知(a+b) 2=7，(a-b) 2
18、=4，求 a2+b2，ab 的值.(分析)由已知(a+b) 2=7，(a-b) 2=4，就目前的知识水平，具体求出 a 和 b 的值是比较困难的，但由整式的乘法公式可以将已知化成：a2+2ab+b2=7，a2-2ab+b2=4，由+可以求出 a2+b2，由-可以求出 ab.解：由题意可知，a2+2ab+b2=7，a2-2ab+b2=4，+得 2(a2+b2)=11，a 2+b2= 1.-得 4ab=3.ab= 43.小结 (1)由两数和的平方和两数差的平方，可以通过两式的加减求出两数的平方和与两数的积，同理，已知两数和的平方或两数差的平方，以及两数的平方和，可以求出两数的积.(2)由平方差公式
19、，也可以进行变形.例如：已知 a2-b2=14，a+b=7，那么 a-b=2.例 12 观察下列各式：(x-1)(x+1)=x2-1(x-1)(x2+x+1)=x3-1(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1根据前面各式的规律可得：(x-1)(xn+xn-1+xn-2+x+1)= .(其中 n 为正整数)(分析)由已知各式可以发现：(x-1)(xn+xn-1+xn-2+x+1)=xn+1-1.初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 与上例类似地有：由(a-b)(a+b)=a 2-b2(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4可以
20、得出(a-b)(a n+an-1b+an-2b2+bn)=an+1-bn+1学生做一做 观察下列各式：1234+1=522345+1=1123456+1=192(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)计算 2000200120022003+1.(用一个最简式子表示)老师评一评 (1)n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n 2+3n+1)2，推导如下：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)(n+2)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2，n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n 2
21、+3n+1)2.(2)当 n=2000 时，(n2+3n+1)2=(20002+32000+1)2=40060012，2000200120022003+1=4006001 2.易错与疑难题例 13 计算.初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 第(1)小题的两个括号中，2x 与 10 是相同的部分，y 与-y 及-z 与 z 都互为相反数，分组结合后可利用平方差公式.第(2)小题中，(a+b) 2(a-b)2在逆用积的乘方性质后可利用平方差公式，(a 2+b2)(a-b)，则需利用多项式的运算法则计算.正解：(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)=(2x+10)+(y-
22、z)(2x+10)-(y-z)=(2x+10)2-(y-z)2=4x2-y2-z2+10x+2yz+100.(2)(a+b)2(a-b)2-( a2+b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2-(a3+ab2-a2b-b3)=(a2-b2)2-a3-ab2+a2b+b3=a4-a3-2a2b2+a2b-ab2+b3+b4.小结 错解第(1)小题是在添括号时发生符号错误.错解第(2)小题的错误有二：一是只凭想象而无根据地用 a4-b4 代替(a 2-b2)2，其实这二者并不相等；二是计算 (a2+b2)(a-b)时，在不具备使用平方差公式的条件下，错误地使用了这个公式.初中数学辅导网 http:/
23、京翰教育 http:/ 点击中考中考命题总结与展望本节知识在中考中多以填空、选择题的形式出现，也有少部分的化简求值题及与解方程、解不等式和函数知识结合在一起的综合题.中考试题预测例 1 若 a 的值使得 x2+4x+a=(x+2)2-1 成立，则 a 的值为( )A.5 B.4 C.3 D.2(分析)因为 x2+4x+a=(x+2)2-1，所以 x2+4x+a=x2+4x+3，因此，a=3，故正确答案为 C 项.例 2 已知 x+y=1，那么 1x2+xy+ y2 的值为 .(分析) 由 x2+xy+ y2 得 x2+xy+ y2= 1(x2+2xy+y2)= 1(x+y)2.又由于 x+y=
24、1，所以 x2+xy+ y2= (x+y)2= 12= .答案： 21例 3 若 5yx+(xy-6)2=0，则 x2+y2 的值为( )A.13 B.26 C.28 D.37(分析) 本题主要考查灵活应用完全平方公式及其变式.由绝对值和平方的非负性可得 ,065xy .6,5xyx 2+y2=(x+y)2-2xy=52-26=13.因此，正确答案为 A 项.初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 4 如图 1518 所示的是用 4 个相同的小矩形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为 49，小正方形的面积为 4，若用 x，y 表示小矩形的两边长(xy)，请观察
25、图案，指出以下关系式中，不正确的是( )A.x+y=7 B.x-y=2 C.4xy+4=49 D.x2+y2=25(分析)由图示可以发现：(x+y)2=4xy+(x-y)2，并且(x+y) 2=49，(x-y) 2=4.所以 x+y=7，x-y=2，4xy+4=49，而 x2+y2= 1(x+y)2+(x-y)2= 1(49+4)= 5325.故关系式不正确的是 D.答案：D例 5 方程组 5,12yx的解为 .(分析)本题主要考查平方差公式的灵活应用.因为 x2-y2=(x+y)(x-y)，且 x+y=5，所以 x-y=3.所以原方程组可以化为 ,35yx所以 .1,4yx原方程组的解为 .
26、1,4初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 本节归纳1.本节主要学习了：(1)整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b2；(2)整式乘法的完全平方公式(ab) 2=a22ab+b2.2.一定要掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，通过学习达到能够熟练、灵活地运用乘法公式的程度.习题选解 课本习题人教版课本第 184185 页习题 15.31.(1)原式= 94x2-y2； (2)原式=x 2y2-1； (3)原式=4a 2-9b2；(4)原式=25-4b 2； (5)原式=3999999； (6)原式=999996.2.(1)原式=4a 2+20ab+25b2；
27、(2)原式=16x 2-24xy+9y2；(3)原式=4m 2+4m+1； (4)原式= 49a2-2ab+ b2；(5)原式=3969； (6)原式=9604.3.(1)原式=5x 2-58x-24； (2)原式=x 2+2xy+y2-1；(3)原式=4x 2+y2+9-4xy-12x+6y； (4)原式=x 4-8x2+16.4.原式=12xy+10y 2，当 x= 31，y=- 时，原式= 1.5.解：设原正方形的边长为 xcm，由题意可知，(x+3)2=x2+39，x=5.答：原正方形的边长为 5cm.6.解：剩下钢板的面积为 21(a+b)2-( 1a)2-( b)2= 1ab.初中
28、数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 21ab.7.解：将公式(a+b) 2=a2+2ab+b2 变形为 a2+b2=(a+b)2-2ab，a+b=5，ab=3，a 2+b2=(a+b)2-2ab=52-23=19.8.x 789.61,23yx自我评价 知识巩固1.下列各式中，相等关系一定成立的是( )A.(x-y)2=(y-x)2 B.(x+6)(x-6)=x2-6C.(x+y)2=x2+y2 D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)2.下列运算正确的是( )A.x2+x2=2x4 B.a2a3= a5C.(-2x2)4=16x6 D.(x+3y)(x-3y)=x2-
29、3y23.下列计算正确的是( )A.(-4x)(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x B.(x+y)(x2+y2)=x3+y3C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a2 D.(x-2y)2=x2-2xy+4y24.(x+2)(x-2)(x2+4)的计算结果是( )A.x4+16 B.-x4-16 C.x4-16 D.16-x45.19922-19911993 的计算结果是( )A.1 B.-1 C.2 D.-26.对于任意的整数 n，能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是( )初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ B.3 C.5 D.27.( )
30、(5a+1)=1-25a2，(2x-3) =4x 2-9，(-2a 2-5b)( )=4a4-25b28.99101=( )( )= .9.(x-y+z)(-x+y+z)=z+( ) =z2-( )2.10.多项式 x2+kx+25 是另一个多项式的平方，则 k= .11.(a+b)2=(a-b)2+ ，a 2+b2=(a+b)2+(a-b)2( )，a2+b2=(a+b)2+ ，a 2+b2=(a-b)2+ .12.计算.(1)(a+b)2-(a-b)2； (2)(3x-4y)2-(3x+y)2；(3)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)2； (4)1.2345 2
31、+0.76552+2.4690.7655；(5)(x+2y)(x-y)-(x+y)2.13.已知 m2+n2-6m+10n+34=0，求 m+n 的值.14.已知 a+ a1=4，求 a2+ 和 a4+ 1的值.初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 2=654481，求(t+84)(t+68) 的值.16.解不等式(1-3x) 2+(2x-1)213(x-1)(x+1).17.已知 a=1990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，求 a2+b2+c2-ab-ac-bc 的值.18.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求 a+b 的值.19
32、.已知(a+b) 2=60，(a-b) 2=80，求 a2+b2 及 ab 的值.20.化简(x+y)+(2x+ 21y)+(3x+ 3y)+(9x+ 98y)，并求当 x=2，y=9 时的值.初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ f(x)=2x-1(如 f(-2)=2(-2)-1，f(3)=23-1)，求203)()(1ff的值.22.观察下面各式：12+(12)2+22=(12+1)222+(22)2+32=(23+1)232+(34)2+42=(34+1)2(1)写出第 2005 个式子；(2)写出第 n 个式子，并说明你的结论.参考答案1.A 2.B 3.C 4.C 5.
33、A 6.C 7.1-5a 2x+3 -2a2+5b 8.100-1 100+1 9999 9.x-y z-(x-y) x-y 10.10 11.4ab 21 - 2ab 2ab12.(1)原式=4ab；(2)原式=-30xy+15y；(3)原式=-8x 2+99y2；初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 2+21.23450.7655+0.76552=(1.2345+0.7655)2=22=4. (5)原式=-xy-3y 2.13.提示：逆向应用整式乘法的完全平方公式和平方的非负性.m 2+n2-6m+10n+34=0，(m 2-6m+9)+(n2+10n+25)=0，即(m-3
34、) 2+(n+5)2=0，由平方的非负性可知，,053n .5,3n m+n=3+(-5)=-2.14.提示：应用倒数的乘积为 1 和整式乘法的完全平方公式.a+ a1=4,(a+ )2=42.a 2+2a + 2=16，即 a2+ +2=16.a 2+ =14.同理 a4+ 1=194.15.提示：应用整体的数学思想方法，把(t 2+116t)看作一个整体.(t+58) 2=654481，t 2+116t+582=654481.t 2+116t=654481-582.(t+48)(t+68)=(t2+116t)+4868=654481-582+4868=654481-582+(58-10)(
35、58+10)=654481-582+582-102=654481-100=654381.16.x 23初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 2+b2+c2-ab-ac-be= 1(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)= (a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)= (a-b2)+(b-c)2+(c-a)2= 1(-1)2+(-1)2+22= (1+1+4)=3.18.解：(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，(2a+2b)+1(2a+2b)-1=63，(2a+2b) 2-1=63，(2a+2b) 2=64，2a+2b=8 或 2a+2
36、b=-8，a+b=4 或 a+b=-4，a+b 的值为 4 或一 4.19.a2+b2=70，ab=-5.20.提示：去括号后合并同类项，然后应用 Sn= 2)1(与 1)(nn解决问题.原式=x+y+2x+ 21y+3x+ 3+9x+ 98y=(x+2x+3x+9x)+(y+ + + )=(1+2+3+9)x+(1+ y+ + y)y= 2)19(x+(1+1- 2+ 1- 3+ 7- 81+ - 9)y=45x+(1- )y初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 917y.当 x=2，y=9 时，原式=452+ 9179=107.21.f(x)=2x-1，f(1)+f(2)+f
37、(3)+f(2003)=(21-1)+(22-1)+(23-1)+(22003-1)=(21+22+23+22003)-12003=2(1+2+3+2003)-2003=2 2)103(-2003=20032+2003-2003=20032原式= 03=2003.22.解：(1)当 n=1 时，1 2+(12)2+22=(12+1)2；当 n=2 时，2 2+(23)2+32=(23+1)2；当 n=3 时，3 2+(34)2+42=(34+1)2；第 2005 个式子即当 n=2005 时，有20052+(20052006)2+20062=(20052006+1)2.(2)第 n 个式子为 n2+n(n+1)2+(n+1)2=n(n+1)+12.证明如下：n 2+n(n+1)2+(n+1)2=n2+n2(n+1)2+(n2+2n+1)=n2+n2(n2+2n+1)+(n2+2n+1)=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1，初中数学辅导网 http:/京翰教育 http:/ 2=n(n+1)2+2n(n+1)1+12=n2(n+1)2+2n(n+1)+1=n2(n2+2n+1)+2n2+2n+1=n4+2n3+n2+2n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1，n 2+n(n+1)2+(n+1)2=n(n+1)+12.
