1、1小升初数学必考应用题应用题类型：1 归一问题【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】 总量份数1 份数量 1 份数量所占份数所求几份的数量另一总量（总量 份数）所求份数【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？解（1）买 1 支铅笔多少钱？ 0.650.12（元）（2）买 16 支铅笔需要多少钱？0.12161.92（元）列成综合算式 0.65160.12161.92（元）答：需要 1.92 元。例 2 3
2、台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？解（1） 1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？ 903310（公顷）（2） 5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 1056300（公顷）列成综合算式 9033561030300 （公顷）答：5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。例 3 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的 7 辆汽车运送 105 吨钢材，需要运几次？解 （1）1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？ 100545 （吨）（2）7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？ 5735（吨）（3）105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？ 105353 （
3、次）列成综合算式 105（100547）3（次）答：需要运 3 次。2 归总问题【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】 1 份数量 份数总量 总量1 份数量份数总量另一份数另一每份数量【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少套？解 （1）这批布总共有多少米？ 3.27912531.2（米）（2
4、）现在可以做多少套？ 2531.22.8904（套）列成综合算式 3.27912.8904（套）答：现在可以做 904 套。例 2 小华每天读 24 页书，12 天读完了红岩一书。小明每天读 36 页书，几天可以读完红岩 ？解 （1）红岩这本书总共多少页？ 2412288（页）（2）小明几天可以读完红岩？ 288368 （天）列成综合算式 2412368（天）答：小明 8 天可以读完红岩。例 3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？解 （1）这批蔬菜共有多少千克？ 50301500（千克
5、）（2）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500（5010）25（天）列成综合算式 5030（50 10）15006025（天）答：这批蔬菜可以吃 25 天。3 和差问题【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。2【数量关系】 大数（和差） 2 小数（和差） 2【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例 1 甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？解 甲班人数（986）252（人）乙班人数（986）246（人）答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘
6、米，求长方形的面积。解 长（182）2 10（厘米） 宽（182）2 8（厘米）长方形的面积 10880（平方厘米）答：长方形的面积为 80 平方厘米。例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（3230）2 千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知甲袋化肥重量（222）212（千克）丙袋化肥重量（222）210（千克）乙袋化肥重量3212 20（千克）答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。例 4 甲乙两车原来共装苹果 97
7、 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，两车原来各装苹果多少筐？解 “从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（1423 ），甲与乙的和是 97，因此甲车筐数（971423）264 （筐）乙车筐数9764 33（筐）答：甲车原来装苹果 64 筐，乙车原来装苹果 33 筐。4 和倍问题【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】 总和 （几倍1）较小的数 总和 较小的数 较大的数较小的数 几倍 较大的数【解题思路和方法】 简
8、单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏树、桃树各多少棵？解 （1）杏树有多少棵？ 248（31）62（棵）（2）桃树有多少棵？ 623186（棵）答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。例 2 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍，求两库各存粮多少吨？解 （1）西库存粮数480（1.41）200（吨）（2）东库存粮数480 200280（吨）答：东库存粮 280 吨，西库存粮 200 吨。例 3 甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站
9、开往甲站 24 辆，几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍？解 每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，相当于每天从甲站开往乙站（28 24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆总数（5232 ）就相当于（2 1 ）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为 （52 32） （21） 28（辆）所求天数为 （5228 ） （28 24）6（天）答：6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。例 4 甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三数各是多少？解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1 倍量。3因
10、为乙比甲的 2 倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数的 2 倍；又因为丙比甲的 3 倍多 6，所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍；这时（17046 ）就相当于（123）倍。那么，甲数（17046 ） （1 23）28乙数282452丙数283690答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。5 差倍问题【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】 两个数的差（几倍1）较小的数较小的数几倍较大的数【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3
11、 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵？解 （1）杏树有多少棵？ 124（31）62（棵）（2）桃树有多少棵？ 623186（棵）答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。例 2 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子二人今年各是多少岁？解 （1）儿子年龄27 （41）9（岁）（2）爸爸年龄94 36（岁）答：父子二人今年的年龄分别是 36 岁和 9 岁。例 3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元，又知本月盈利比上月盈利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？解 如果把上月盈利作为 1 倍量，则（30
12、12）万元就相当于上月盈利的（21 ）倍，因此 上月盈利（3012 ）（21 ）18（万元）本月盈利1830 48（万元）答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是 48 万元。例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨，问几天后剩下的玉米是小麦的 3 倍？解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（13894）。把几天后剩下的小麦看作 1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（13894）就相当于（3 1）倍，因此剩下的小麦数量（13894） （3 1）22（吨）运出的小麦数量942272（吨）运粮的天数7298（天
13、）答：8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。6 倍比问题【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】 总量一个数量倍数 另一个数量倍数另一总量【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，现在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？解 （1）3700 千克是 100 千克的多少倍？ 370010037（倍）（2）可以榨油多少千克？ 40371480（千克）列成综合算式 40（3700100）1480 （千克）答：可以榨油 1480 千
14、克。例 2 今年植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400 棵，照这样计算，全县 48000 名师生共植树多少棵？解 （1）48000 名是 300 名的多少倍？ 48000300160（倍）（2）共植树多少棵？ 40016064000 （棵）列成综合算式 400（48000300）64000（棵）答：全县 48000 名师生共植树 64000 棵。4例 3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元，照这样计算，全乡 800 亩果园共收入多少元？全县 16000 亩果园共收入多少元？解 （1）800 亩是 4 亩的几倍？ 8004200（倍）（2）800 亩收
15、入多少元？ 111112002222200（元）（3）16000 亩是 800 亩的几倍？ 1600080020（倍）（4）16000 亩收入多少元？ 22222002044444000（元）答：全乡 800 亩果园共收入 2222200 元，全县 16000 亩果园共收入 44444000 元。7 相遇问题【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】 相遇时间总路程（甲速乙速）总路程（甲速乙速）相遇时间【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1 南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船
16、相对而行，从南京开出的船每小时行 28 千米，从上海开出的船每小时行 21 千米，经过几小时两船相遇？解 392（2821 ）8（小时）答：经过 8 小时两船相遇。例 2 小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑 5 米，小刘每秒钟跑 3 米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为 4002相遇时间（4002 ）（5 3）100（秒）答：二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在距中点 3
17、 千米处相遇，求两地的距离。解 “两人在距中点 3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点 3 千米，乙距中点 3 千米，就是说甲比乙多走的路程是（32）千米，因此，相遇时间（32）（1513 ）3（小时）两地距离（1513 ）384（千米）答：两地距离是 84 千米。8 追及问题【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】 追及时间追及路程（快速慢速）追及路
18、程（快速慢速）追及时间【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马？解 （1）劣马先走 12 天能走多少千米？ 7512900（千米）（2）好马几天追上劣马？ 900（12075 ）20（天）列成综合算式 7512（12075）9004520（天）答：好马 20 天能追上劣马。例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮时比小亮
19、多跑一圈，即 200 米，此时小亮跑了（500200 ）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑 200 米用 40 秒，则跑 500 米用40 （500200）秒 ，所以小亮的速度是 （500200）40（500200）300100 3 （米）答：小亮的速度是每秒 3 米。例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑，解放军在晚上 22 点接到命令，以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人？5解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（2216
20、）小时，这段时间敌人逃跑的路程是10 （22 16）千米，甲乙两地相距 60 千米。由此推知追及时间10（22 16）60（3010）120206 （小时）答：解放军在 6 小时后可以追上敌人。例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（162）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为 162（48 40）4（小时）所以两站间的距离为 （4840 ）4352 （千米）列成综合算式 （4840）
21、 162（48 40）884352（千米）答：甲乙两站的距离是 352 千米。例 5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校 180 米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（1802）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90 60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为1802（9060）12（分钟）家离学校的距离为 9012180900（米）答：家离学校有 900 米远。例 6 孙亮打算上课前 5 分钟到
22、学校，他以每小时 4 千米的速度从家步行去学校，当他走了 1 千米时，发现手表慢了 10 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。求孙亮跑步的速度。解 手表慢了 10 分钟，就等于晚出发 10 分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10 5 ）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（105）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少 9 分钟，由此可知，行 1 千米，跑步比步行少用9（105）分钟。所以 步行 1 千米所用时间为 19 （105）0.25（小时）15（分钟）跑步 1 千米所用时间为 159（1
23、05）11（分钟）跑步速度为每小时 111605.5（千米）答：孙亮跑步速度为每小时 5.5 千米。9 植树问题【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。【数量关系】 线形植树 棵数距离棵距1环形植树 棵数距离棵距方形植树 棵数距离棵距4三角形植树 棵数距离棵距3面积植树 棵数面积（棵距 行距）【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。例 1 一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解 1362 168 1 69（棵）答：一共要栽 69 棵垂柳。例 2 一个圆形池塘
24、周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？解 4004 100（棵） 答：一共能栽 100 棵白杨树。例 3 一个正方形的运动场，每边长 220 米，每隔 8 米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？解 2204841104106 （个）答：一共可以安装 106 个照明灯。例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘米，问至少需要多少块地板砖？解 96（0.60.4 ）960.24400（块）答：至少需要 400 块地板砖。6例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50 米有一
25、个电杆，每个电杆上安装2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？解 （1）桥的一边有多少个电杆？ 50050111（个）（2）桥的两边有多少个电杆？ 11222（个）（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22244（盏）答：大桥两边一共可以安装 44 盏路灯。10 年龄问题【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。两个数的差（几倍1）较小
26、的数例 1 爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？解 3557（倍） （35+1） （5+1）6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。例 2 母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁，几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？解 （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37730 （岁）（2）几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？30 （41）7 3（年）列成综合算式 （377） （41）7 3（年）答：3 年后母亲的年龄是女儿的 4 倍。例 3 3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，父子今年各多少岁？解 今年父
27、子的年龄和应该比 3 年前增加（32 ）岁，今年二人的年龄和为 4932 55（岁）把今年儿子年龄作为 1 倍量，则今年父子年龄和相当于（4 1）倍，因此，今年儿子年龄为 55（ 41） 11（岁）今年父亲年龄为 11444（岁）答：今年父亲年龄是 44 岁，儿子年龄是 11 岁。例 4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？（可用方程解）解这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：过去某一年 今 年 将来某一年甲 岁 岁 61 岁乙 4 岁 岁 岁表中两个“”表示同
28、一个数，两个“”表示同一个数。因为两个人的年龄差总相等：4 61 ，也就是 4，61 成等差数列，所以，61应该比 4 大 3 个年龄差，因此二人年龄差为 （614 ）319（岁）甲今年的岁数为 61 1942（岁）乙今年的岁数为 42 1923（岁）答：甲今年的岁数是 42 岁，乙今年的岁数是 23 岁。11 列车问题【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】 火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速火车追及：追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公
29、式。例 1 一座大桥长 2400 米，一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要 3 分钟。这列火车长多少米？解 火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。7（1）火车 3 分钟行多少米？ 90032700（米）（2）这列火车长多少米？ 27002400300（米）列成综合算式 90032400300 （米）答：这列火车长 300 米。例 2 一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥，用了 2 分 5 秒钟时间，求大桥的长度是多少米？解 火车过桥所用的时间是 2 分 5 秒125 秒，所走的路程是（8125）米，这段路程就是（200
30、米桥长），所以，桥长为8125200800（米）答：大桥的长度是 800 米。例 3 一列长 225 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶，一列长 140 米的快车以每秒 22 米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225140）米，而快车比慢车每秒多行（2217）米，因此，所求的时间为（225140）（2217）73 （秒）答：需要 73 秒。例 4 一列长 150 米的列车以每秒 22 米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒 3 米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问
31、题。150（22 3）6（秒）答：火车从工人身旁驶过需要 6 秒钟。例 5 一列火车穿越一条长 2000 米的隧道用了 88 秒，以同样的速度通过一条长 1250 米的大桥用了58 秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（88 58）秒的时间内行驶了（2000 1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒（2000 1250）（88 58）25（米）进而可知，车长和桥长的和为（2558）米，因此，车长为 25581250200 （米）答：这列火车的车速是每秒 25 米，车身长 200 米。13 盈亏问题【含义
32、】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数（大盈小盈）分配差参加分配总人数（大亏小亏）分配差【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11 个；若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解 按照“参加分配的总人数（盈亏）分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？ （11 1
33、） （43 ）12（人）（2）有多少个苹果？ 3121147（个）答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。例 2 修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长 8 天；如果每天修 300 米，修完全长仍得延长 4 天。这条路全长多少米？解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数（大亏小亏）分配差”的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为 （26083004）（300 260）22（天）这条路全长为 300（224）7800（米）答：这条路全长 7800 米。8例 3 学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30 人；如果每辆车坐 45 人，
34、就刚好坐完。问有多少车？多少人？解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有（1）有多少车？ （300） （45 40）6（辆）（2）有多少人？ 406 30270 （人）答：有 6 辆车，有 270 人。14 工程问题【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据
35、工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率工作时间 工作时间工作量工作效率工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率）【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。例 1 一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完成，现在两队合作，需要几天完成？解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1” 。由于甲队独做需 10 天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独做需 15 天完成，每天完成这项工程的 1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/101/15 ）。由此可以列出算式： 1（1
36、/10 1/15）11/66（天）答：两队合做需要 6 天完成。例 2 一批零件，甲独做 6 小时完成，乙独做 8 小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做 24个，求这批零件共有多少个？解 设总工作量为 1，则甲每小时完成 1/6，乙每小时完成 1/8，甲比乙每小时多完成（1/6 1/8），二人合做时每小时完成（1/61/8 ）。因为二人合做需要 1（1/61/8 ）小时，这个时间内，甲比乙多做 24 个零件 ，所以（1）每小时甲比乙多做多少零件？241（1/61/8）7（个）（2）这批零件共有多少个？ 7（1/61/8）168（个）答：这批零件共有 168 个。解二 上面这道题还可以用
37、另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/61/843由此可知，甲比乙多完成总工作量的 43 / 43 1/7所以，这批零件共有 241/7168 （个）例 3 一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时完成，丙独做 15 小时完成。现在甲先做 2 小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为 12、10 、和 15 的某一公倍数，例如最小公倍数 60，则甲乙丙三人的工作效率分别是60125 60106 60154 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 （60 52
38、） （64） 5（小时）答：还需要 5 小时才能完成。 也可以用（1-1/12*2 ）/ （1/10+1/15 ）例 4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开 4 个进水管时，需要 5 小时才能注满水池；当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池；现在要用 2 小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。要 2 小时内将水池注满，即要使 2 小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工
39、作量（一池水）。只要设某一个量为单位 1，其余两个量便可由条件推出。9我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1，则 4 个进水管 5 小时注水量为（145 ），2 个进水管 15 小时注水量为（ 1215），从而可知每小时的排水量为 （1215145 ） （155 ）1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知一池水的总工作量为 14515 15 又因为在 2 小时内，每个进水管的注水量为 12， 所以，2 小时内注满一池水 至少需要多少个进水管？ （1512 ） （12）8.59（个） 答：至少需要 9 个进水管。15 正反比例问题【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变
40、化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过
41、的倍比问题基本类似。例 1 修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的变成未修的 1/2，求这条公路总长是多少米？解 由条件知，公路总长不变。原已修长度 总长度1（13）14312现已修长度 总长度1（12）13412比较以上两式可知，把总长度当作 12 份，则 300 米相当于（43 ）份，从而知公路总长为 300（43）123600（米）答： 这条公路总长 3600 米。例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算，91 分钟可以做几道应用题？解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设 91 分钟可以做 X 应用题 则有 28491X28X914 X
42、91428 X13答：91 分钟可以做 13 道应用题。例 3 孙亮看十万个为什么这本书，每天看 24 页，15 天看完，如果每天看 36 页，几天就可以看完？解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系设 X 天可以看完，就有 2436X15 36X2415 X10答：10 天就可以看完。例 4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。A 25 2036 B 16解 由面积宽长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此，A362016 25B
43、2016 解这两个比例，得 A45 B20所以，大矩形面积为 4536 252020 16162答：大矩形的面积是 162.16 按比例分配问题10【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总份数比的前后项之和【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多
44、少的计算方法，分别求出各部分量的值。例 1 学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二班有 48 人，三班有 45 人，三个班各植树多少棵？解 总份数为 4748 45140一班植树 56047/140188（棵）二班植树 56048/140192（棵）三班植树 56045/140180（棵） 答：一、二、三班分别植树 188 棵、192 棵、180 棵。例 2 用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是 345。三条边的长各是多少厘米？解 3 4512 603/1215 （厘米） 604/1220（厘米）605/1225（厘米）答：三角形三条
45、边的长分别是 15 厘米、20 厘米、25 厘米。例 3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把 17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数的 1/2，二儿子分总数的 1/3，三儿子分总数的 1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊 。解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到 1/21/31/996296 217 179/179 176/176 172/172答：大儿子分得 9 只羊，二儿子分得 6 只羊，三儿子分得 2 只羊。例 4 某工厂第一、二、三车间人数之比为 81221，第一车间比第二车间少 80 人，三个车间共多少人？人
46、 数 80 人 一共多少人？对应的份数 12 8 81221解 80（12 8 ）（8 1221）820 （人）答：三个车间一共 820 人。17 百分数问题【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是 1%，两个百分点就是 2%。【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数比较量标准量 标准
47、量比较量百分数【解题思路和方法】 一般有三种基本类型：（1） 求一个数是另一个数的百分之几；（2） 已知一个数，求它的百分之几是多少；（3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例 1 仓库里有一批化肥，用去 720 千克，剩下 6480 千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？解 （1）用去的占 720（7206480）10%（2）剩下的占 6480（720 6480）90%答：用去了 10%，剩下 90%。例 2 红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，男职工人数比女职工少百分之几？ 解 本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量 所以 （525420）525 0.2 20% 11或者 14205250.220%答：男职工人数比女职工少 20%。例 3 红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，女职工比男职工人数多百分之几？ 解 本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数
