1、导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用.题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论（1）单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论(2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的
2、讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值已知函数 f(x)x ，g(x)alnx(aR)1x(1)当 a2 时，求 F(x)f(x )g(x) 的单调区间；(2)设 h(x)f( x)g( x)，且 h(x)有两个极值点为 x1，x 2，其中 x1 ，求 h(x1)h(x 2)的最(0，12小值审题程序 第一步：在定义域内，依据 F(x )0 根的情况对 F(x )的符号讨论；第二步：整合讨论结果，确定单调区间；第三步
3、：建立 x1、x 2 及 a 间的关系及取值范围；第四步：通过代换转化为关于 x1(或 x2)的函数，求出最小值规范解答 (1)由题意得 F(x)x aln x，1x其定义域为(0，) ，则 F( x) ，x2 ax 1x2令 m(x)x 2ax1，则 a 24.当2a2 时，0，从而 F(x) 0，F(x)的单调递增区间为(0，)；当 a2 时， 0，设 F(x)0 的两根为 x1 ，x 2 ，a a2 42 a a2 42F(x)的单调递增区间为和 ，(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， )F(x)的单调递减区间为 .(a a2 42 ，a a2 42 )综上，当2a2 时，F(
4、x )的单调递增区间为(0， )；当 a2 时，F(x)的单调递增区间为和 ，(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， )F(x)的单调递减区间为 .(a a2 42 ，a a2 42 )(2)对 h(x)x alnx ， x(0，)1x求导得，h(x )1 ，1x2 ax x2 ax 1x2设 h(x) 0 的两根分别为 x1，x 2，则有 x1x21， x1x 2a，x 2 ，从而有 ax 1 .1x1 1x1令 H(x)h( x)h (1x)x lnx1x ( x 1x) 1x x ( x 1x)ln1x2 ，( x 1x)lnx x 1xH(x)2 lnx .(1x2 1) 21
5、 x1 xlnxx2当 x 时，H(x )0时需根据方程 x2 ax10 的根的情况求出不等式的解集，故以判别式 “”的取值作为分类讨论的依据在(2)中求出 h(x1)h(x 2)的最小值，需先求出其解析式由题可知 x1，x 2 是 h(x )0的两根，可得到 x1x21，x 1x 2a ，从而将 h(x1)h(x 2)只用一个变量 x1 导出从而得到 H(x1)h( x1)h ，这样将所求问题转化为研究新函数 H(x)h(x)h 在 上的最值问题，体(1x1) (1x) (0，12)现转为与化归数学思想答题模板 解决这类问题的答题模板如下：题型专练1设函数 f(x)(1 x) 22ln(1x
6、 )(1)求 f(x)的单调区间；(2)当 00，得 x0；由 f( x)1)，则 g(x) 2a .21 x 2 ax a1 x00，令 g(x) 0，得 x ，a2 a函数 g(x)在 上为减函数，在 上为增函数(0，a2 a) ( a2 a， )当 00，所以对于任意 xR，F(x)0 ，因此方程 exa x 无实数解所以当 x0 时，函数 g(x)不存在零点综上，函数 g(x)有且仅有一个零点典例 321.（12 分）已知函数 且 .3()ln,fxax()0f（1）求 a；（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .()f 0230()efx21.解：（1） 的定义域为fx0， +设
7、，则 等价于g=a-lnxf=xg,f00gx因为 110， ,故 ,而 1,得aax若 a=1，则 .当 0x1 时， 单调递减；当 x1 时， 0， 单调递增.所以 x=1 是 的极小值点，故gx 0,g gxgxgx1=0x综上，a=1（2）由（1）知 2ln,()2lnfxxfx设 1ln,则 ()hxh当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增0,2 0x,+2 0hxhx10,21,+2又 ，所以 在 有唯一零点 x0，在 有唯一零点 1，且当 时， ；当 时，1 , ,hehx1, ,+ 0,x 0hx0,1x，当 时， . 0x,+ 0因为 ，所以 x=x0是 f
8、(x)的唯一极大值点fhx由 0000得 ln2(1),故 =()f fx由 得,1x 4fx因为 x=x0是 f(x)在（0,1）的最大值点，由 得11,0efe12fxfe所以 2-0 f解题反思 在本例 (1)中求 f(x)的单调区间的关键是准确求出 f( x)，注意到 ex0 即可(2) 中由 g(x)0 得 xexa x 2，解此方程易将 x约去，从而产生丢解情况研究 exa x 的解转化为研究函数 F(x)e xa x 的最值，从而确定 F(x)零点，这种通过构造函数、研究函数的最值从而确定函数零点的题型是高考中热点题型，要熟练掌握答题模板 解决这类问题的答题模板如下：题型专练2(
9、2017浙江金华期中 )已知函数 f(x)ax 3bx 2(c3a2b)xd 的图象如图所示(1)求 c，d 的值；(2)若函数 f(x)在 x2 处的切线方程为 3xy 110，求函数 f(x)的解析式；(3)在(2)的条件下，函数 yf( x)与 y f( x)5xm 的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围13解 函数 f(x)的导函数为 f( x)3ax 22bxc3a2b.(1)由图可知函数 f(x)的图象过点(0,3)，且 f(1)0，得Error!解得Error!(2)由(1)得，f(x )ax 3bx 2(3 a2b)x3，所以 f(x)3ax 22bx(3a2b) 由函数
10、f(x)在 x2 处的切线方程为 3xy110，得Error!所以Error!解得Error!所以 f(x)x 3 6x29x3.(3)由(2)知 f(x)x 36x 29x3，所以 f( x)3x 212x9.函数 yf( x)与 y f(x) 5xm 的图象有三个不同的交点，13等价于 x36x 29x 3( x24x3)5xm 有三个不等实根，等价于 g(x)x 37x 28x m 的图象与 x 轴有三个交点因为 g( x)3x 214x8(3x2)(x4)，x ( ，23) 23 (23，4) 4 (4，)g(x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 g m， g(4)16 m，(23)
11、 6827当且仅当Error!时，g(x)图象与 x 轴有三个交点，解得162(xlnx) 审题程序 第一步：求 f(x)，写出在点 P 处的切线方程；第二步：直接构造 g(x)f(x)2(x lnx)，利用导数证明 g(x)min0.规范解答 (1) 因为 f(x) ，所以 f(x) ，f(2) ，又切点为 ，所以切线exx exx exx2 exx 1x2 e24 (2，e22)方程为 y (x 2)，即 e2x4y0.e22 e24(2)证明：设函数 g(x)f(x) 2(xlnx) 2x 2lnx ，x(0，) ，exx则 g(x) 2 ，x(0 ，)exx 1x2 2x ex 2xx
12、 1x2设 h(x)e x2x，x (0，) ，则 h(x) ex2，令 h(x)0，则 xln2.当 x(0，ln2)时，h (x)0.所以 h(x)minh(ln2) 22ln20 ，故 h(x)e x2x0.令 g(x) 0，则 x1.ex 2xx 1x2当 x(0,1)时，g( x)0.所以 g(x)ming(1)e 20 ，故 g(x)f(x )2( xln x)0，从而有 f(x)2(xln x)解题反思 本例中(2)的证明方法是最常见的不等式证明方法之一，通过合理地构造新函数 g(x)求 g(x)的最值来完成在求 g(x)的最值过程中，需要探讨 g( x)的正负，而此时 g( x
13、)的式子中有一项 ex2x 的符号不易确定，这时可以单独拿出 ex2x 这一项，再重新构造新函数 h(x)e x2x(x 0)，考虑 h(x)的正负问题，此题看似简单，且不含任何参数，但需要两次构造函数求最值，同时在(2)中定义域也是易忽视的一个方向答题模板 解决这类问题的答题模板如下：题型专练3(2017福建漳州质检) 已知函数 f(x)ae xblnx，曲线 yf (x)在点(1 ，f (1)处的切线方程为y x1.(1e 1)(1)求 a，b；(2)证明： f(x)0.解 (1)函数 f(x)的定义域为 (0，) f(x)ae x ，由题意得 f(1) ，f(1) 1，bx 1e 1e所
14、以Error!解得Error!(2)由(1)知 f(x) ex lnx.1e2因为 f(x)e x2 在(0，)上单调递增，又 f(1)0，1x所以 f(x)0 在(0 ，)上有唯一实根 x0，且 x0(1,2)当 x(0，x 0)时，f(x)0，从而当 x x0 时，f(x)取极小值，也是最小值由 f(x 0)0，得 ex02 ，则 x02ln x0.1x0故 f(x)f(x 0)e x02 lnx 0 x 022 20，所以 f(x)0.1x0 1x0x04、【2017 高考三卷】21（12 分）已知函数 =x1 alnx()f（1）若 ，求 a 的值；()fx（2）设 m 为整数，且对于
15、任意正整数 n， m，求 m 的最小值211+)n()(21.解：（1） 的定义域为 .fx0， +若 ，因为 ，所以不满足题意；0a1=-2faln若 ，由 知，当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递 xfx0x,a 0fx， +xa 0fxfx0,a减，在 单调递增，故 x=a 是 在 的唯一最小值点.， +af， +由于 ，所以当且仅当 a=1 时， .10f x故 a=1（2）由（1）知当 时，1， +x1 0xln令 得 ，从而=+nx2nl21+1 +=1-2nnlll 故 211+ne而 ，所以 m 的最小值为 3.321 （12 分）已知函数 ()fx=lnx+ax2+(2a
16、+1)x（1）讨论 的单调性；（2）当 a0 时，证明3()24fxa【答案】 （1）当 0时， )(f在 ),0单调递增；当 0a时，则 )(xf在)21,0a单调递增，在),21(a单调递减；（2）详见解析题型四 利用导数研究恒成立问题题型概览：已知不等式恒成立求参数取值范围，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；若参数不便于分离，或分离以后不便于求解，则考虑直接构造函数法，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围已知函数 f(x) lnxmx ，g(x) x (a0)12 ax(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若 m ，对x 1，x
17、22,2e 2都有 g(x1)f (x2)成立，求实数 a 的取值范围12e2审题程序 第一步：利用导数判断 f(x)的单调性，对 m 分类讨论；第二步：对不等式进行等价转化，将 g(x1)f(x 2)转化为 g(x)minf (x)max；第三步：求函数的导数并判断其单调性进而求极值(最值) ；第四步：确定结果规范解答 (1) f(x) lnxmx，x0，所以 f(x ) m，12 12x当 m0 时，f(x)0，f( x)在(0，)上单调递增当 m0 时，由 f(0)0 得 x ；由Error!得 0 .12m 12m 12m综上所述，当 m0 时，f(x) 的单调递增区间为(0 ，)；当
18、 m0 时，f (x)的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .(0，12m) (12m， )(2)若 m ，则 f(x) lnx x.12e2 12 12e2对x 1，x 22,2e 2都有 g(x1)f(x 2)成立，等价于对x2,2e 2都有 g(x)minf(x) max，由(1)知在 2,2e2上 f(x)的最大值为 f(e2) ，12g(x )1 0(a0)，x2,2e 2，函数 g(x)在2,2e 2上是增函数，g(x) ming(2)2 ，由 2 ，得ax2 a2 a2 12a3，又 a0，所以 a(0,3，所以实数 a 的取值范围为(0,3解题反思 本例(1) 的解答中要注意 f
19、(x)的定义域，(2)中问题的关键在于准确转化为两个函数 f(x)、g(x) 的最值问题本题中，x 1，x 2 有 g(x1)f(x 2)g(x) minf (x)max.若改为：x 1，x 2 都有 g(x1)f (x2)，则有 g(x)max f(x)max.若改为：x 1，x 2 都有 g(x1)g( x2)，则有 g(x)minf(x) min 要仔细体会，转化准确答题模板 解决这类问题的答题模板如下：题型专练4已知 f(x)xlnx ，g(x )x 2ax3.(1)对一切 x(0 ，)，2f(x) g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)证明：对一切 x(0，)，lnx 恒成立
20、1ex 2ex解 (1)由题意知 2xlnxx 2ax3 对一切 x(0，) 恒成立，则 a2lnx x ，3x设 h(x)2ln xx (x0)，3x则 h(x) ，x 3x 1x2当 x(0,1)时，h(x)0 ，h( x)单调递增，所以 h(x)minh(1)4，对一切 x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以 ah(x) min4.即实数 a 的取值范围是(，4(2)证明：问题等价于证明 xlnx (x(0，)xex 2e又 f(x)xlnx，f(x )lnx1，当 x 时，f( x)0，f(x)单调递增，所以 f(x)minf .(1e， ) (1e) 1e设 m(x) (x(0
21、，)，xex 2e则 m(x) ，1 xex易知 m(x)maxm(1) ，1e从而对一切 x(0，) ，lnx 恒成立1ex 2ex当 x(1，)时，h(x)0，h(x) 单调递增，所以 h(x)minh(1)4，对一切 x(0，)，2f (x)g(x) 恒成立，所以 ah(x) min4.即实数 a 的取值范围是(，4题型五：二阶导主要用于求函数的取值范围23(12 分)已知函数 f（x）=（x+1）lnxa（x1） （I）当 a=4 时，求曲线 y=f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程；（II）若当 x（1，+）时，f（x）0，求 a 的取值范围【解答】解：（I）当 a=4 时，f（
22、x）=（x+1）lnx4（x1） f（1）=0，即点为（1，0） ，函数的导数 f（x）=lnx+（x+1） 4，则 f（1）=ln1+24=24=2，即函数的切线斜率 k=f（1）=2，则曲线 y=f（x）在（1，0）处的切线方程为 y=2（x1）=2x+2；（II）f（x）=（x+1）lnxa（x1） ，f（x）=1+ +lnxa，f（x）= ，x1，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增，f（x）f（1）=2aa2，f（x）f（1）0，f（x）在（1，+）上单调递增，f（x）f（1）=0，满足题意；a2，存在 x0（1，+） ，f（x 0）=0，函数 f（x）在（1，x 0）上单调递
23、减，在（x 0，+）上单调递增，由 f（1）=0，可得存在 x0（1，+） ，f（x 0）0，不合题意综上所述，a223(12 分) 已知函数 f（x）= （x+1）lnxa（x 1） （I）当 a=4 时，求曲线 y=f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程；（II）若当 x（1，+ ）时，f（x）0，求 a 的取值范围【解答】解：（I）当 a=4 时， f（x）=（x+1）lnx4（x1） f（1）=0，即点为（1，0） ，函数的导数 f（x）=lnx+（x+1） 4，则 f（1 ）=ln1+2 4=24=2，即函数的切线斜率 k=f（1）=2，则曲线 y=f（x）在（1，0）处的切线方程
24、为 y=2（x1）=2x+2；（II）f （x） =（x+1）lnx a（x1） ，f（x） =1+ +lnxa，f（x）= ，x1，f（ x）0，f（x）在（ 1，+ ）上单调递增，f（x） f（ 1）=2a a2， f（x）f（1）0，f（x）在（1，+）上单调递增，f（x）f（1）=0，满足题意；a2，存在 x0（1，+） ，f（x 0）=0，函数 f（x）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+）上单调递增，由 f（1）=0，可得存在 x0（1，+） ，f（x 0）0，不合题意综上所述，a2题型六：求含参数求知范围此类问题一般分为两类：一、也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数
25、的最值问题.此法适用于方便分离参数并可求出函数最大值与最小值的情况，若题中涉及多个未知参量需分离出具有明确定义域的参量函数求出取值范围并进行消参，由多参数降为单参在求出参数取值范围。二、未能将参数完全分离一类，需要根据题意对参数进行分类讨论，以求出参数取值范围已知函数 ()fx=ex(ex a) a2x（1）讨论 的单调性；（2）若 ()0fx，求 a 的取值范围【解析】 （1）函数 的定义域为 (,)， 22()xxxfeaea，若 0a，则 2()xfe，在 单调递增.若 ，则由 0得 lna.当 (,ln)x时， ()fx；当 (,)时， ()0fx，所以 ()fx在 ,ln)a单调递减
26、，在 (ln,)a单调递增.若 0a，则由 得 l2.当 (,l)2x时， ()0fx；当 (ln),a时， ()fx，故 ()fx在 ,l()2单调递减，在 (l),2单调递增.（2）若 ，则 2e，所以 fx.若 0a，则由（1）得，当 la时， ()取得最小值，最小值为 2(ln)lfa.从而当且仅当 2ln0a，即 1a时， ()0fx.若 ，则由（1）得，当 n2x时， fx取得最小值，最小值为 3l()4.从而当且仅当 23ln4，即342ea时 ()0fx.综上， 的取值范围为342e,1.21.（12 分）设函数2()1)xfx.（1）讨论 的单调性；（2）当 0x时， ()1
27、fxa，求 的取值范围.【答案】 （）在 ,2 和 (2,)单调递减，在 (12,)单调递增（） 1,) 【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间（2）对 a分类讨论，当 a1 时，()1)(1xfxeax，满足条件；当 0a时，取 2000051,()(112xfxxa，当 0 a1 时，取05412ax， (2) ()()xfe当 a1 时，设函数 h(x)=（1- x） ex， h(x)= -xex0（ x0） ，因此 h(x)在0，+)单调递减，而 h(0)=1，故 h(x)1，所以f(x)=（ x+1） h(x) x+1 ax+1当 0 a1 时，设函数 g（ x）= ex-x-1， g（ x）= ex-10（ x0），所以 g（ x）在在0，+)单调递增，而 g(0)=0，故 ex x+1当 0 x1，2()1)(f，2 2(1)1()a，取 05412a则 000, ,xafx故当 a时，取200005,()1)(12f ax综上， a 的取值范围1，+）
