1、运筹学基础及应用 习题解答习题一 P46 1.1 (a)02x 1x1 2 34132 6421x41x该问题有无穷多最优解，即满足 的所有 ，此时目标函数值0且 21,x。3z(b) 0 1 4232x 1x用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。1.2 (a) 约束方程组的系数矩阵 103241862A基解基 654321 xx是否基可行解 目标函数值 321p 067-0否 4 是 10521 23是 3621p 421 0 4 7否 43 8 250 否 51p 0 3 是 3 63 3 210 否 541p 05是 06 41 45否最优解 。Tx0,71,(b
2、) 约束方程组的系数矩阵 243A基解基 4321xx是否基可行解 目标函数值 21p04否 3 5 0是 543 41p61 31否 32 0 2 0是 5 4p 1 否 3 0是 5最优解 。Tx,5121.3 (a)(1) 图解法02x 1x1 2 34132最优解即为 的解 ，最大值8259431x2,1x235z(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 825943 . 010max34xtsz则 组成一个基。令43,P021x得基可行解 ，由此列出初始单纯形表8,90xjc 0 51基 Bb432xx903x 4 38 4 105jzc 1。215839,
3、minjc 0 01基 Bb432xx52 03x 5 154 058 10x51 0 521jzc2 0，02238,14min新的单纯形表为 jc 0 50基 Bb4321xx23 5x 1 010 72 1jzc145 0，表明已找到问题最优解 。最大值 0,21 0 , ,23 , 41 xx 235*z(b) (1) 图解法02x 1x3 6 912396521x最优解即为 的解 ，最大值52461x23,7x27z(2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式461x123451245max 0. 6zxxst则 ， ， 组成一个基。令3P4 021x得基可行
4、解 ，由此列出初始单纯形表0,4,xjc2 1 0 0 0基 Bb x34x50 153x0 2440 5x0 5 1 0 06 2 0 1 01 1 0 0 1jzc2 1 0 0 0。2145min,61jc2 1 0 0 0基 Bb x34x50 153x2 40 15x0 5 1 0 01 0 0360 0 12jzc0 0 03，0215min,24新的单纯形表为 jc2 1 0 0 0基 Bcb 1x234x50 3x522 470 5x0 0 1 21 0 0 40 1 0 3jzc0 0 0 12，表明已找到问题最优解 ， ， ， ， 。最0,211x73152x405x大值
5、*7z1.6(a) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令 ，0, 222xxzx ,3该问题转化为 0,633824142x . 0 ma541 1 543 xts xxz其约束系数矩阵为 03131242A在 中人为地添加两列单位向量 87,P103132442令 765432 max Mxxxz 得初始单纯形表 jc 0 2 1 3 基 Bcb 7654321 xxxx2 04x 0138M6 - 0- 4 7 131jzc 0 M 52 7M3(b) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令 ，333 0,xxz该问题转化为 1234512354max 5061. ,0xxstxx其
6、约束系数矩阵为 121350A在 中人为地添加两列单位向量 87,P121305令 1234567max 0zxxMx得初始单纯形表 jc -5 1 - 0 - 基 Bb1234567xxxx6 Mx - 1 1 050 07 10x 5 - jzc32 5 1+6 - 0 MM1.7(a)解 1：大 M 法在上述线性规划问题中分别减去剩余变量 再加上人工变量 得468,x579,x1234579max00zxM1367289452,0stxx其中 M 是一个任意大的正数。据此可列出单纯形表jc21200MMb基 123456789xxxxxi579620xM 10010 0160jjcz31
7、2MM572610x0/1/2/20101/201/ 42jjcz53 30 2M 5321Mx413/20101 /1/ /4jjcz 353345022MM132/7/4x11/4/8/18/14400/3/jjcz 53900/4/88MM由单纯形表计算结果可以看出， 且 ，所以该线性规划问题有无界4(1,23)ia解解 2：两阶段法。现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量 再加上人工变量468,x得第一阶段的数学模型579,x据此可列出单纯形表jc0010101b基 123456789xxxxxi5791620x10010 0160jjcz131572160x0/21/2/2
8、0101/ 0/1/42jjcz 30521253210x4 3/20101 /1/ /4jjcz0 0132/47/x101/43/8/18/21440/3/jjcz0001第一阶段求得的最优解 ,目标函数的最优值 。* T37X(,)42 *因人工变量 ，所以 是原线性规划问题的基可579x* T7(,)4行解。于是可以进行第二阶段运算。将第一阶段的最终表中的人工变量取消，并填入原问题的目标函数的系数，进行第二阶段的运算，见下表。 jjcz21200b基 123468xxxi132/47/x01/3/1/24/jjcz0054389由表中计算结果可以看出， 且 ，所以原线性规划问题有无界解
9、。44(1,2)ia(b)解 1：大 M 法在上述线性规划问题中分别减去剩余变量 再加上人工变量 得468,x579,x123457min0zxxM61257234689,0stxxx其中 M 是一个任意大的正数。据此可列出单纯形表jc 1200MMb基 1234567xxxxi678x41130023jjcz24612MM273xM1/401/4050284/5jjcz1334222139/54x013/5/10/3/10/22525jjcz001/1/M由单纯形表计算结果可以看出，最优解 ，目标函数的最优解值*T49(,0)5XX 存在非基变量检验数 ，故该线性规划问题有无穷多最优解。*4
10、92375z。 3解 2：两阶段法。现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量 再加上人工变量 得第45,x67,x一阶段的数学模型 67minx1234571234689,0xstx据此可列出单纯形表jc 01b基 1234567xxxxi6718x41030123jjcz462102701x1/41/4520 284/5jjcz/1/213/02109/54x03/50/1/12/5/25jjcz0第一阶段求得的最优解 ,目标函数的最优值 。*T49(,0,)5X *0因人工变量 ，所以 是原线性规划问题的基可行解。于是可67x以进行第二阶段运算。将第一阶段的最终表中的人工变量取消，
11、并填入原问题的目标函数的系数，进行第二阶段的运算，见下表。 jjcz2310b基 12345xxxi2139/54x0/5/1/02jjcz0/由单纯形表计算结果可以看出，最优解 ，目标函数的最优解值*T49(,0)5X由于存在非基变量检验数 ，故该线性规划问题有无穷多最*492375z。 3优解。1.8 表 1-23 54321 xxx6 4x 0 1 - 4 5jzc 2 1 3表 1-24 54321 xxx3 1x 021 5 5 0jzc 3 7 1.10 0 0 4 5 3 654321 xxx8 52x 1 314 05x0 1 32 5 0 296 45jzc 654321 x
12、xx38 52x 01054 2 19 06 154jzc 0 17 0 654321 xxx450 2x 410810 643 6 189 524 jzc 41 15 0 0 最后一个表为所求。习题二 P762.1 写出对偶问题(a)对偶问题为：无 约 束3214321,0,5 . minxytsxz 无 约 束321321,0,44 .5max yytsyyw(b)对偶问题为： 0,83745 .6max 2121xxtsz无 约 束 0,326754 .8 min11yytsw无 约 束2.2(a)错误。原问题存在可行解，对偶问题可能存在可行解，也可能无可行解。(b)错误。线性规划的对偶
13、问题无可行解，则原问题可能无可行解，也可能为无界解。(c)错误。(d)正确。2.6 对偶单纯形法(a) 0,52 3 .184 min11xtsz解：先将问题改写为求目标函数极大化，并化为标准形式 5,105 2 3 3 . 084ma 41ixxtszi列单纯形表，用对偶单纯形法求解，步骤如下jc 0 18 2 4基 Bb 5431 xxx304x 05 102 jzc 18 43 04x0 3 0125 1 21 1 jzc 6 0 6 041 83x 31 32 2 0 1jzc 6 最优解为 ， 目标值 。Tx23,1039z(b) 0,153642 .min131xtsz解：先将问题
14、改写为求目标函数极大化，并化为标准形式5,1010 364 2 . 4max 531ixxtszi列单纯形表，用对偶单纯形法求解jc 0 4 2 基 Bb 5431 xxx40x 1 30 5056jzc 4 2 532 04x 31 31 010 2x 0 5 2jzc 32 32 012 43x 1 1 30 25jzc 0 0 1最优解为 ， 目标值 。Tx2,08z2.8 将该问题化为标准形式： 5,10426 . 0ma315ixxts xzi用单纯形表求解jc 0 1 2基 Bb5431xxx604x 5 102jzc 1 6基 Bcb54321 xxx21x 010 5 jzc
15、2 -3 由于 ，所以已找到最优解 ，目标函数值0j10,6*X12*z(a) 令目标函数 123max 2zxx（ ） （ -+） （ ）(1)令 ，将 反映到最终单纯形表中30jc1 0 基 Bb5432 xx6241x 10 5 jzc 0-2-311表中解为最优的条件： ， ， ，从而 0-211(2)令 ，将 反映到最终单纯形表中0312jc 0 1 基 Bb 54321 xxx621x 0 5 1jzc 0 2 1-3 2表中解为最优的条件： ， 从而3(3) 令 ，将 反映到最终单纯形表中0213jc 0 1 基 Bb 54321 xxx6 21x 1 005 13jzc 2 -
16、 表中解为最优的条件： ， 从而0133(b) 令线性规划问题为 3,10426 . max513ixtszi (1)先分析的变化 110bB使问题最优基不变的条件是 ，从而061b61(2)同理有 ，从而01622(c) 由于 代入 ，所以将约束条件减去剩余变量后的方),(x631x程 直接反映到最终单纯形表中631jc2 -1 1 0 0 0基 Bb 1x34x562 610 105x1 1 1 1 0 00 3 1 1 1 00 -261 0 -2 0 0 1jzc0 -3 -1 -2 0 0对表中系数矩阵进行初等变换，得 jc2 -1 1 0 0 0基 Bb 1x34x562 61x0
17、 1051 1 0 00 3 1 1 1 00 -86x0 -1 -3 -1 0 1jzc0 -3 -1 -2 0 0jc2 -1 1 0 0 0基 Bb 1x34x562 1030 5x1 0 0 2130 0 1 80 60 1 0 3jzc0 0 0 35因此增加约束条件后，新的最优解为， ， ，最优值为13x852x2832.12 (a) 线性规划问题 0,35436 .max2121xtsz单纯形法求解基 Bcb54321 xx540x 015603 4 jzc 51 04x101363 5 54jzc 54 0 51 35 31x 31 4 52 1 0jzc 2 最优解为 ，目标
18、值 。3,05,21x27z(a) 设产品 A 的利润为 ，线性规划问题变为0,35436 . 4 max2121xtsz单纯形法求解基 b 54321 xx54x 015603 4 jzc 1 51 4x 10 363 5 1 54 jzc 4 0 35 1x 31 1 3 52 0jzc 3 1 0 32 为保持最优计划不变，应使 ， ， 都小于等于 0，解得 。351593(b) 线性规划问题变为 0,325434586 . max3121xtsz单纯形法求解基 Bcb 654321 xxx540x 0185603 6 4 jzc 3 151 04x160363 5 52 154 jzc
19、 4 07 0 35 31x 31 2 1 4 52 54 0jzc 1 2 25 04x 6 0 61 3 158 53 jzc 307 0 129 0此时最优解为 ，目标值 ，小于原最优值，因此该种产品不值5,321x2z得生产。(c) 设购买材料数量为 ，则规划问题变为y0,354346 . . max2121yxtsz单纯形法求解基 Bcb 54321 xyx540x 015603 6 4 jzc 52 151 04x1 10 363 5 05 54 jzc 4 2 01 35 31x 31 31 4 52 52 1 0jzc 1 2 51 0y013943x 0 51 5 6jzc 2 0 93此时最优解为 ，目标值 ，大于原最优值，因此应该购进15,9,321yx30z原材料扩大生产，以购材料 15 单位为宜。
