1、对几何直观的理解课标（2011 年版）在“课程设计思路”中提出了“ 几何直观 ”这个与学习内容有关的新的核心概念，怎样理解“ 几何直观”？它在小学数学学习和教学中有何作用？ 一、把握十个核心概念的三个层次第一层，主要体现在某一内容领域的核心概念，如：数感、符号意识、运算能力主要体现在数与代数领域，空间观念主要体现在图形与几何领域，数据分析观念主要体现在统计与概率领域；第二层，体现在不同领域的核心概念，包括几何直观、推理能力和模型思想；第三层，超越课程内容，整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。二、对直观的理解1、直观是相对的，有不同的层面和表现。眼前的美景难以描摹，我们拍下
2、照片，这是一种直观；抽象的道理难以领悟，我们讲了一个故事，这是直观；复杂的逻辑关系难以梳理，我们画了一个流程图，这也是直观。2、直观含有可视化的意思（英文 Visual），作为一个隐喻，直观意味着是感官可以直接感知的，但并不局限于视觉。比如，相较于文字的描绘，声音、颜色、气味、图形、味道，可以直接作用于不同感官的东西都可以构成一种直观。3、直观它是认识的浅层次阶段，是进一步抽象的基础。三、几何直观的含义标准指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都
3、发挥着重要作用.”著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知.”也有学者这么描述：“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态.”从这些描述中，我们可以有以下的认识：几何直观是一种运用图形认识事物的能力，或者说是一种解决数学问题的思维方式。这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时的方法，这种方法区别于其他方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的即“几何”两字的意义.用这种方法解决问题，不是运用几何中常用的论证方法，而是通过经验、观察、想象等途径，直观地感知问题的结果或方向即“直观
4、”两字的意义.例如，三年级学生要学习同分子分数大小比较，这个知识相对比较抽象，学生较难理解.此时，学生如果能主动地采取画出（或想到）几何图形的方式，然后通过观察（或想象）图形的特点及联系，那么就能直观地解决问题，并理解“分子相同的分数，分母小的反而大”的道理。学生如果具备这种解决问题的思维方式，掌握这样的方法，我们就可以说学生有几何直观的能力. 四、几何直观与数形结合在理解几何直观意义的过程中，最大的困惑就是难以将几何直观与数形结合清晰地区别开来。比如说，上文所举的分数大小比较时用几何图形来思考的例子，在以前，我们一直将其视为用数形结合思想来解决问题的典型.而如今，这样的观念要调整，数形结合变
5、成了几何直观，这就难免让人产生疑惑：数形结合与几何直观，区别到底在哪里？什么是数形结合？数形结合，是一种重要的数学思想方法，也是解决数学问题的有效策略.它是指解决数学问题时，可借助于“形”的直观来理解抽象的“数” ，或反过来运用“数”与“式”的描述来刻画“形”的特征。数形结合最基本的形式为“以形助数”和“以数解形” 。如小学数学中的分数应用题，我们运用画线段图来分析其中的数量关系，这样的情况就可叫做“以形助数” ，在小学数学中，以数解形例子极少。而我们在直角坐标系中，用数对来描述图形的变化（如平移、旋转） ，或计算两点之间的距离等，这样的情况则可叫做“以数解形” 。 “以形助数” ，是在发挥“
6、形”所具有的直观特点，来降低“数”的抽象度；而“以数解形” ，则是在利用“数”的精确性，来准确刻画“形” ，让“形”得以量化。如此，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题。如果用一个不太恰当的比喻来形容数形结合的特点，它就好比是架设在“数”与“形”之间的一条双向通道，起着由此及彼、相互促进的作用.从几何直观的概念可知，它是指“利用图形描述和分析数学问题” 。几何直观就是用“形”来解决数学问题。尽管这个“数学问题”可能并不仅仅是“数” ，可以是“形”或者其他数学问题。但不管怎样，如果与数形结合做个对比，那么它就只能算是一条由“形”出发的单向通道而已.几何直观，也是在用“形” ，但
7、这个“形” ，可以是眼睛见到的，可以是画出的，也可以是大脑想到的。更重要的是，它是要依托“形”直接地产生对数量关系及事物其他本质属性的感知，即“未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。 ”五、几何直观案例几何直观是一种立足于“形”却带有思维跳跃性的解决数学问题的方式，它是基于表象的、在人头脑中进行的“快捷推理”【案例 1】苏教版四年级下册“解决问题的策略（画图）”有这样一题：小营村原来有一个宽 20 米的长方形鱼池。后来因扩建公路，鱼池的宽减少了 5 米，这样鱼池的面积就减少了 150 平方米。现在鱼池的面积是多少平方米？多数学生画好图后（如右），这样算：
8、1505=30（米），30（20-5）=450（平方米）。有的学生因为读题不仔细，同时受此前几题都是求原来面积的干扰，算成了 3020=600（平方米）。只有极少数的学生，根据画的图，直接列式计算：1503=450（平方米）。对这样的简便算法，很多学生一时还不理解，但经学生或老师的解释，也都能恍然大悟。考察直接列式计算的学生的思维过程，画图给他提供了直观的刺激：宽是 5 米的 3 倍，长不变，面积自然也是减少部分的 3 倍；更直接的，先看减少的 150 平方米，以 5 米作为标尺，根据图形，现在的面积是就是 150 平方米的 3 倍。在这个过程中，1505=30 的计算、长方形的面积公式是可以
9、跳过去的。这体现了几何直观的特点：未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识。 【案例 2】在北师大版数学五年级下册“分数混合运算”的教学中，教师出示题目：小华录入一份稿件，录入了 3/4 后，还剩 700 字，小华录入了多少字？解法（1）：设这份稿件共有 X 个字，X 3/4X=700，X=2800，所以 X=2100。解法（2）：700（13/4）3/4 =2100。在汇报完上述两种常规算法后，有一男生激动地说：我还有一种解法，7003=2100。学生们七嘴八舌，都认为该生的结果是凑出来。这位男生不服气了，说：我可没凑，我有依据的。我是借助线段图来解题的。
10、该生在黑板上画好线段图（如右），边指着线段图边解说：整条线段表示一本书字数，录入了 3/4 就是把线段平均分成了 4 份，其中的 3 份表示已录入的，剩下 1 份没录，还剩 700 字就是这没录的 1 份。求小华录入了多少字，就是求 3 份的字数，所以用 7003。【案例 3】在人教版六年级数学上册“分数除法”一道练习题（如下）学生可以按照一般方法，先用 241/2=48（件），求得获奖作品总件数；再用481/3=16（件）求得二等奖获奖作品件数；然后用 481/6=8（件）求得一等奖获奖作品件数。其实也可以借助图形，通过合情推理的方法得到结果，而省去了中间繁琐的计算。24 人三等奖1/2（ 16）人二等奖1/3（ 8 ）人一等奖1/6（1）他们都直接借助图形来思考，借助的手段有“几何”特色。（2）借助图形思考跳过了一些步骤，更加简洁、快速地获得答案，体现了“直观”的特色。（3）几学生分析与解决的问题都不属于“图形与几何领域”，正因此，他们采用的方法体现了创造性。这一点是这两位学生体现出来的最可贵的思维品质。对于几何直观难就难在学生会主动想到用几何的方法去分析问题，主动地“以形助数”，而不是教师给学生一个几何直观的方法，让学生去解题，培养学生主动地运用各种方法分析同一问题的意识，才是教学中真正的挑战。天河区凌塘小学 李应军2013-10-28
