1、“幂函数、指数函数、对数函数”测试卷江西 漆赣湘一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（理科）函数 的定义域是（ ） 12log(3)yx(A) (B) (C) (D)(,2,132(,131D 由 得， 1230log)x 3x1 （文科）函数 的定义域是（ ） 12l()y(A) (B) (C) (D) (,)3,32,1)()32(,1)31D 由 得， 且 ，函数定义域为 120logxx,2设 ，则使函数 的定义域为 且为奇函数的所有 的为（ ） ,3yR（A） （B） （C） （D ）1,1,31,3
2、2A 时，有 即 ，其定义域为 不为 ； 时，有 ，其定义域1x|0xR1yx为 ，且 对任意的 均成立，所以该函数也为奇函数； 时，有 ，其R()()fxfx 2定义域为 不为 ； 时，有 ，其定义域为 ，且 对任0,R33y 3()()fxxf意的 均成立，该函数也为奇函数3若函数 的图像过点 ，则函数 的图像必经过点（ ） logayx(,2)1xa(A) (B) (C) (D) (2,),3,4(3,)3C 当函数 的图像过点 ，其反函数 必过点 ，函数 的图像必过layx()xy(2,3)1xya点 (,4)4.（理科）已知函数 ，则 的值为（ ） 1(),42xff )3log2(
3、f(A) (B) (C) (D) 314164.B ， 2log,22223loglog411log3log()ff4 （文科）已知函数 ，则 的值为（ ） 3log,0()1xf (1)f（A） （B） （C） （D ）124. B ， ()3f 3()(logff5函数 ， ，其中 ，则（ ） xaxga01a，(A) 、 均为偶函数 (B) 、 均为奇函数 ()f ()fx(C) 为偶函数， 为奇函数 (D) 为奇函数， 为偶函数x()x ()gx5.C 因为 ，所以 为偶函数；因为 ，所以()1()faf()fx ()xagx为奇函数()gx6 （理科）设 , ， ，则( )125a3
4、logbln2c(A) (B) (C) (D)cbcaabc6. D ，因为 ，所以 而 ，所33loglbl312125以 a6 （文科）设 ， ， ，则 的大小关系为（ ） 0.322.b2log0.ccba,(A) (B) (C) (D) ca6 （文科）D ， ， ，故 0.312.,122l.3log10ccba7.若函数 的图像如图甲所示，其中 为常数，则函数 大致图像是（ ()log()afxb,ab()x） 7.D 由图甲可知， ， ，函数 应为减函数，排除 A,B由于 ，所以需将01ab()gx01b的图像向上平移 个单位，排除 Cxya8函数 ，且 在 上的最大值与最小值之
5、和为 ，则 的值为( 1()log(xaf1a,2 a)(A) (B) (C) (D) 4248B 因为 在 上是单调函数，所以 ，解得 fx1,log21a12ayO(A) (B)1(C) (D)xy1yO1y xyO1图甲9.已知函数 ( )，如果 ( )，那213()log()2axfxa0,1a3(log)5fb0,1b么 的值是（ ） 13logfb(A) (B) (C) (D)59.A ，即2 2133()l()log(1)22xa ax afx xa()fx因为 ，所以 3log5fb133)lfbfb10新道路交通安全法规定司机血液中酒精含量大于等于 20 毫克/100 毫升，
6、小于 80 毫克/100 毫升是酒后驾车在一路口，交警拦下一名司机，经检验他血液中的酒精含量为 25 毫克/100 毫升，假设他开车时血液中的酒精含量为 80 毫克/100 毫升，并以每小时 25%的速度减少，那么该司机酒后驾车的时间约为（参考数据： ， ） （ ） lg20.31lg0.47（A） 小时 （B ） 小时 （C） 小时 （D ） 小时3410D 设他酒后驾车时间为 小时，依题意有 ，即 ，所以t2580()t 53()164t3450log16t又 ，即 该司机酒后驾车时间34l2150.3l 4.0g.4721l4.0t约为 4 小时11已知函数 ， ， ，则 的最小值等于（
7、 ） ()|lfx0ab()fab2a(A) (B) (C) (D)2523311A 因为 ， ，所以 ，即 又因为 ，所()|lgfx()fab|lg|ablglab0ab以，所以 当且仅当 时，lglab122()2() 12ab取得最小值 212 （理科）若函数 满足 ，且当 时， ，函数()yfxR(1)(fxf1,x2()1fx，则函数 在区间 内零点的个数为（ ） lg,0()1xhg4,5（A） （B） （C） （D）7891012A 因为 ，所以 ，函数()(fxf(2)(fxf的周期为 2又 时， ，在同一坐标系中()fx1,画出函数 与 在 内的图像如图所示，又yg4,5
8、xy53134O， ，所以交点有 7 个，即 在区间 内有 7 个零点(1)g(5)1()()hxfgx4,512(文科) 设 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时，fxR220，若在区间 内关于 的方程 且 恰有 4 个不2)fx(2,6)()lo()(af1)a同的实数根，则实数 的取值范围是（ ） a（A） （B） （C） （D ）(8,)(1,4)(1,8)1(,)412.A 依题意 ，即 ，故22fxfxf(fxf函数 是以 4 为周期的函数。结合题意画出函数 在 的图像f 2,6与函数 的图像，结合图像可知，要使两图像有 4 个不同的交log()ay点，则有 ，解得 1l628a二、
9、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，共 20 分）13设 ， ，则 |ln(),AyxR1|(),2xByRAB13 易知 ， ，所以 0,1)|0 |0)AB14函数 ，且 必过定点 ，函数 ，且 必过定点1(xya1)alog(1(0ayx1)a，则直线 的斜率为 BA14 易知 ， ，所以 (,2)(0,)B210ABk15已知函数 在 上为增函数，则实数 的取值范围是 2log)afxx(,)a15 依题意 在 上恒为正，由于其开口向上，故其在 上只能为(1,3()2 (2,)增函数，所以应有 ，解得， 01(2)60ag 13a16(理科)设函数 ，其中 ， 是给定的正整数，且 如
10、果不等式1()lgxmafxRm2m ()fx在区间 上有解，则实数 的取值范围是 1lgxm,16 依题意 ，所以 ，即 ，(,)l(1)lg()xx 11lglxxaxam所以 令 ，因为 ，所以 为增函数，所以 又1xa()1xgm2 ( 1()g不等式 在 上有解，所以 (,a16(文科) 函数 的图像在 上是连续不断的曲线，且满足 ，且在 上)fxR()()1012fxfx0,)是增函数若 成立，则实数 的取值范围是 24(logl(2)fmxy642O116 由 得， ，函数 为奇函数又因为(0,2)() ()()1120fxfxfx()(ffx()fx在 上是增函数，所以 在 上
11、递增，故 ，即fxR24logl2m所以有 ，解得 244logl()m20m0三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 10 分）（理科）求下列各式的值：（1） ；2 2lg5l8g5l0(l)3（2） 111010. 34 27(0.8)3()().717解：（1）原式 22lll()（3 分）(g5)(g1；（5 分）3（2）原式111440.2332(0.)()()0(.)（9 分）3 （10 分）17 （本小题满分 10 分）（文科）求下列各式的值：（1） ；10224()()0.5（2） 2(lg)lgllg17
12、.解：（1）原式 （3 分）1.460；（5 分）1（2）原式 2lg2(llg)(l1)1（9 分）ll （10 分）13.函数 2()lg3)fxx的定义域为集合 A，函数 ()2()xga的值域为集合 B（1）求集合 A，B；（2）若集合 A，B 满足 B,求实数 的取值范围。a（） ， BA. 9 分A 41a或 3， a或 5，即 的取值范围是 (,(,). 12 分考点：解二次不等式,指数函数值域,集合的关系及运算.18.（本小题满分 12 分）（理科）已知幂函数 的图像关于 轴对称，且在 上为减函数23()()mfxNy(0,)（1）求实数 的值；（2）求满足 的实数 的取值范围
13、2(1)(4)aa18.解：（1）函数 在 上为减函数，所以 ，解得， （2 分）fx0,230m13m因为 ，所以 mN2又因为函数图像关于 轴对称，所以 是偶数，所以 ；（6 分）y23（2）因为函数 在 和 上均为减函数，而 ，1x(,0)(,)210a所以 等价于 ，2()4mmaa2140a解得， 或 故实数 的取值范围为 （12 分）133(,)(,4218.（本小题满分 12 分）（文科）已知函数 是幂函数且在 上为减函数223()1)mfxx0,（1）求实数 的值；m（2）求满足 的实数 的取值范围2(1)(4)aa18.解：（1）因为幂函数 在 上为减函数，所以有()fx0,
14、)，解得 ；（6 分）213m1m（2）因为函数 在 和 上均为减函数，而 ，1yx(,0)(,)210a所以 等价于 ，2()4mmaa2140a解得， 或 。故实数 的取值范围为 （12 分）133(,)(,4219 （本小题满分 12 分）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 (单位：太贝克) 与时间 (单位：年) 满足函数关系：Mt，其中 为 时铯 137 的含量， 为常数已知其半衰期为 30 年0()2taMt0ta（1）判断铯 137 的含量的变化量 是上升的还是下降的，并说明理由；(
15、1)(tt（2）已知某核事故释放出 36000 太贝克铯 137，求经过多少年，这些铯 137 的含量减少到 4500 太贝克？19解：（1）由已知得 时， ，即 ，所以 （2 分）30t0()2M3012a30由 1303030()(2()tttMtt因为 ，而 是单调递减， ，1302ty0所以 是单调递增，因此铯 137 的含量的变化量是上升的；（7 分）()(tt（2）由已知得 ， ，得 ，036()45Mt 3062t所以 ，得 3018t9t所以经过 90 年，铯 137 的含量减少到 4500 太贝克 （12 分）20 （本小题满分 12 分）（理科）已知定义域为 的函数 是奇函
16、数R12()xbfa(1)求 的解析式并用定义证明 为 上的减函数；()fxfR(2)若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围1,t(24)(321)0ttkfkk20解：（1）由 得 ，由 得 (0)fb1fa所以 （3 分）12()xf设 ，则12x12121()xxfxf12()xx121120()x所以 ，即 为 上的减函数；（7 分）12(fxf()fxR（2）由 得， 4)310ttkk(24)(132)t tfkf因为 为 上的减函数，所以 ，即 (fxR243t t 235()4ttt因为 ，所以 ，所以 的最大值为 1,t,t 251()4ttt1所以 （12 分）4k2
17、0 （本小题满分 12 分）（文科）已知函数 是定义在 上的奇函数 （1）求实数 的值并求函数 的值域；2()xafRa()fx（2）求证： 在 上为增函数，并解关于 的不等式 为实数） fRx()lg)(fmx20解：（1）由 得 ，所以 （2 分）(0)10a1由 得， ，所以 ；（5 分）2)(xf ()xf),(xf（2）设 ，则 ，211212)12() 0(xxxff所以 ， 在 上为增函数)(21xfffR由 ，得 ， （9 分）)lgfm1l当 时， ，解集为 ；0lx1|0mx当 时，解集为 ；|当 时， ，解得 （12 分）0m1lgx1|0mx21 （本小题满分 12 分
18、）设 为奇函数， 为常数12()loafxa（1）求 的值；并证明 在区间 上为增函数；()fx(1,)（2）若对于区间 上的每一个 的值，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 3,4 1()2xfm21解：（1）因为 为奇函数，所以 对定义域内的 恒成立，12()logafx()0ffx所以 ，所以 ，12logl0a1xa整理得， ， 2()x当 时， ，无意义，舍去，所以 (3 分)a11a此时 ，定义域为 2()logfx(,)(,设任意 ，且 ，则 11,)x12122)loglxxfxf 因为 ，221 121()x因为 ，所以 ， ， ，0x20x所以 ，即 ，所以 ，即 ，所以2
19、1x12211loglx12()ffx在区间 上为增函数；(8 分)()f(,)（2）由题意知 时恒成立，令 12log(,34xm12log(),34xx由（1）知 在 上为增函数，又 在 上也是增函数，12lyx,1()2xy3,4故 上为增函数，所以 最小值为 ，)(xgg3129(3)log()8故由题意可知 ，即实数 的取值范围是 (12 分)98m|m22.（本小题满分 12 分）设函数 ， ，且 ()(,)kkfxbcNbR(log(0ax1)a（1）若 且 ，求 的值；1bc1()4kfga（2）若 ，记函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 。求满足 的kx,Mm4M的取值范
20、围；（3）判断是否存在大于 1 的实数 ，使得对任意 ，都有 满足等式a1,2xa2,xa，且满足该等式的常数 的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的 的值；若不存12()gxpP在，请说明理由22.解：（1）当 时， 1bc()2kfbc由 得， ，解得 ；（2 分）()4kfg2log4a1（2）若 ，则 ，以下分情况讨论：()fxc当 ，即 时， ，与题设矛盾；1b2(1)4Mmfb当 ，即 时， ，与题设矛盾；222f当 ，即 时， 恒成立；0 b 2()(14当 ，即 时， 恒成立；1b 0 221)bmff综上可知， ；（7 分）2,（3）假设存在大于 1 的实数 满足条件a由 可
21、得， ，所以 12()gxp1212logllog()aaxxp12pxa依题意，可将 看作 的函数 ，且在区间 上单调递减2121p,所以当 时， 1,xa2,pax由题意有 ，即 2pa log3a 因为实常数 的取值唯一，所以 ，解得 p2l3a2a故存在大于 1 的实数 且 （12 分）a备用题.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数 的图象恰好通过()fx个整点，则 称函数 为 阶整点函数.有下列函数： ；*(N)n()fxn 1f0； ； 其中是一阶整点函数的是（ ） 3gx()hx13l(A) (B) (C) (D).D 通过点 ， 等，不是一阶整点函数
22、； 通过点 ， 等，3()(,)2,81()3xh(,3)(2,9)不是一阶整点函数. 只经过整点 ， 过整点 ，它们是一阶整点1fx(0)(1,)ln0函数.2已知函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是（ ）20.5()log(1)fxaxRa(A) (B) (C) (D) 1a 01 12 当 时， ，函数 值域为 当 时，有2,gxaxfxR0a，解得 所以实数 的取值范围是 04a 01 a0a 3指数函数 且 在 上是减函数，则函数 在 R 上的单调性为（ ,()fx)R3)2()g）(A)单调递增 (B)在 上递减，在 上递增 ,),(C)单调递减 (D)在 上递增，在 上递减 )
23、003B 由已知有 ，显然函数 在 上单调递减。10a32(xag4设函数 满足 ，则 = 。()fx()lo2ff()f4 由已知得 ，所以 ，即 ，故2 21(lg1()2f21()logfxx21()logf。35.若方程 仅有一个实根，那么 的取值范围是 .ll1kxk5. 或 当 时， ，所以 ，即 在40klg2l(1)xlg2l10kx2(1)kx仅有一个解，即 在 仅有一个解，令 ，(0,+)2()0,+2()()f，所以 ，得 或 。 时无意义，舍去，所以 ；当 时，函数定义域是f44，1函数 是一个递减过 与 的线段，函数 在 递增且过两点 与ykx(1,)k(, 2(1)
24、yx(,0)(1,0)，此时两曲线段恒有一个交点，故 符合题意。 的取值范围是 或 (0,) 0kk6定义在 上的函数 如果满足：对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称DfxxDMfxM是 上的有界函数，其中 称为函数 的上界已知函数 ()fxDM()fx12()xmfx（1） 时，求函数 在 上的值域，并判断 在 上是否为有界函数，1m()fx,0f,0请说明理由；（2）若函数 在 上是以 3 为上界的有界函数，求 的取值范围()fx0, m6.解：（1）当 时， 1121xxf因为 ， ，所以 ，满足 0x2x()0,f|()|f所以 在 上为有界函数；（4 分）()f,)（2）若 在 上
25、是以 3 为上界的有界函数，则有 在 上恒成立。x1 |()|3fx 0,1所以 在 上恒成立，23()xmf 0,1所以 ，即 ，1230xxm 201xxm即 ，对一切 都成立， （8 分）1(),(),22xx 或 或 ,所以 ，故 的取值范围是 （12 分） ,412,m 或 或 m1(,2,)47已知函数 （ 且 的图象过点 ，点 关 于直线 的对称点()logafxx0)1(8,)(3,)P2x在 的图象上Q（1）求函数 的 解析式；（2）令 ，求 的最小值及取得最小值时 的值()2()f()gxx7.解：（1）点 关 于直线 的对称点 的坐标为 .（2 分）3,1P2Q(1,)由 得8(),flo8,1am解得 ， ，故函数解析式为 （6 分）122()1logfxx（2） （ ） ，()()gxfx2l(1) 2log1x因为 ，22(1)()111()2()24xxxx当且仅当 即 时，等号成立， （10 分）而函数 在 上单调递增，则 ，2logyx(0,)22log1log41x故当 时，函数 取得最小值 1 （12 分）
