1、1第二十二章 二次函数教案（一） 二次函数在初中数学教材中的分析二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。 二次函数曲线抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想
2、奠定基础和积累经验。二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。（二）本章课时安排本章教学时间约需 15 课时 ，具体安排如下：221 节 二次函数7 课时222 用函数的观点看一元二次方程2 课时223 实际问题与
3、二次函数3 课时教学活动 小结及测试3 课时（三） 、本章教学目标分析（1）本章教学要求如下经历描点法画函数图象的过程。学会观察、归纳、概括函数图象的特点。经历二次函数图象平移的过程。2了解 y=ax2，y=a(xm) 2，y= a(xm) 2n 三类二次函数图象之间的关系。归纳数学平移变换的特征并加以总结。经历二次函数解析式恒等变形的过程。会根据二次函数的解析式，确定二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。能运用配方法将 变换成 的的形式。cbxay2 khxay2)(了解二次函数与二次方程的相互关系。探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值、最小值及函数的增减性的概念及方法。体会二次函数是一
4、类最优化问题的数学模型。经历数学建模的基本过程。感受数学的应用价值。发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。(2)学法教法建议1在教学上要注重引入二次函数概念的现实背景，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣；并注意让学生在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的理解和认识。2. 教材注重与学生已有知识的联系，引导学生与原有的知识联系、比较，经历对知识拓展、归纳、更新的过程。3. 教材注意内容的呈现方式，让学生参与知识的发生、发展过程。注重在具体二次函数的研究中掌握方法，理解原理（如图象的变换） 。4. 教材注意沟通二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化，
5、提供学生进行探究性学习的题材，重视学生对知识综合应用能力的培养。时间 科目 数学 年级 九年级 课题 22.1.1 二次函数（第一课时）知识与技能 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围过程与方法 通过设置问题、类比、归纳等方法，引导学生思考、合作、交流，从而获得新知；教学目标情感态度与价值观 注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯教学重点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围3教学难点 寻找、发现实际生活中二次函数问题。课时安排 一课时课前准备教学过程 一、创设情境，激发求知问题见课本 P2-
6、3 问题 1.正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为 x，表面积为 y，显然对于 x 的每一个值，y 都有一个对应值，即 y 是 x 的函数，他们的具体关系为 ；2.多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？ 3.某工厂一种产品现在的年产量是 20 件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划规定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系应怎样表示？生：独立思考完成之后小组讨论交流；师：巡视、倾听、指导；师生：明确关系式并板书、标注序号。二、观察、概括1.教师引导学生观察上述函数关系式、，提出问题让学生思考回答；师：这些函数
7、关系式有什么共同特点? 生：讨论、归结师生明确：上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的。2.结合一次函数的定义谁能给二次函数下一个具有代表意义的定义吗？生回答。板书：二次函数定义：形如 y=ax2bxc (a、 b、c 是常数， a0)的函数叫做 x 的二次函数，a 叫做二次函数的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫作常数项3.小组讨论二次函数的特征，并以小组为单位做总结展示。生：结果汇总：1.自变量的最高指数为 2；2.解析式为整式；3.一次项、常数项可以等于 0；4.二次项不能为 0，其系数是不为 0 的任意实数。三、运用新知，深化理解1.(口答 )下列函数中，哪些是二次函数? 并且指
8、出a、b、c；(1)y=5x1 (2)y=4x21 (3)y=2x33x 2 批注4(4)y=5x43x 12.一个长方形的长是宽的 2 倍，写出这个长方形的面积 S 与宽 x 之间的函数关系式；3.写出圆的面积 y 与它的周长 x 之间的函数关系；（通过学生已经知道了二次函数的定义，针对其学习的情况通过实际问题的解决使他们学以致用，加强巩固）四、课堂练习2P3 练习第 1，2 题。五、小结1请叙述二次函数的定义2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。六、作业：课后反思时间 科目 数学 年级 九年级 5课题 22.1.2 二次函数（第
9、二课时）知识与技能 使学生会用描点法画出 y=a 的图象，理解抛物线2x的有关概念。过程与方法 使学生经历、探索二次函数 y=ax2 图象性质的过程。教学目标情感态度与价值观 培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯教学重点 使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数 y=ax2 的图象、会用待定系数法确定二次函数 y=ax2 的解析式；教学难点 用描点法画出二次函数 y=ax2 的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。课时安排 一课时课前准备教学过程 一、情境导入师：1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?2我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，
10、应先研究什么? 图象3一次函数的图象是什么？那么二次函数的图象是什么?板书课题二、范例师生：画二次函数 y= 的图象。2x解：(1)列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：（生独立完成）x 3 2 1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数 y= 的图象，如图所示。2x师：可做适当演示；提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?生：讨论师：抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点三、做一做、议一议1在同一直角坐
11、标系中，画出函数 y=与 y=- 的图象，观察并比较两个图象，你2x26发现有什么共同点？又有什么区别?2在同一直角坐标系中，画出函数 y=2 与2xy=-2 的图象，观察并比较这两个函数的图象，x你能发现什么?3. 在同一直角坐标系中，画出函数 y= 与21xy=2 的图象，观察并比较这两个函数的图象，2x你能发现什么?4将所画的函数的图象作比较，你又能发现什么?生：分组画图，分组讨论师生：达成共识：两个函数的图象都是抛物线，都关于 y 轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数 y=x2 的图象开口向上，函数 y=-x2 的图象开口向下。对于 2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个
12、函数的图象的特点；教师可引导学生类比 1 得出。对于 3，教师可引导学生从 1 的共同点和 2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于 y 轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)四、思考、归纳与概括1.函数 y 、y=- 、y=2 、y=-2 是函2x22x2数 y=ax2 的特例，由函数它们的图象的共同特点，可猜想：函数 y=a 的图象是一条_，它关2x于_对称，它的顶点坐标是_。2.如果要更细致地研究函数 y=ax2 图象的特点和性质，应如何分类？为什么?让学生观察 y 、y2 的图象，填空；x2当 a0 时，抛物线 y=a 开口_，在对称2轴的左边，曲线自左向右_；在对称轴的右边，
13、曲线自左向右_，_是抛物线上位置最7低的点。图象的这些特点反映了函数的什么性质?先让学生观察下图，回答以下问题；(1)点 A 与点 B 横坐标大小关系如何?是否都小于 0？2) 点 A 与点 B 纵坐标大小关系如何?(3) 点 C 与点 D 横坐标关系如何?是否都大于 0?(4) 点 C 与点 D 纵坐标大小关系如何?师生明确：当 XO 时，函数值 y 随 X 的增大而_；当 X_时，函数值 y=a (a0)取得最 2值，最 值 y=_3.观察函数 y- 、y=-2 的图象， 让学生2x2讨论、交流，达成共识：当 aO 时，函数值 y 随 x 的增大而 ，当 x=0 时，函数值 ya 取得最
14、值是 2。 五、课堂小结： 1如何画出函数 y=a 的图2x象? 2函数 ya 具有哪些性质 ?2x师：可以引导学生以表格的形式记笔记。抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐 标a0 a0 a0 a0 时，向上平移 k 个单位得到；当 k0 时，向左平移 h 个单位得到；当 h0. 抛物线开口向 a 的符号a0. 抛物线对称轴在 y 轴的 侧b=0 抛物线对称轴是 轴b 的符号b0. 抛物线与 y 轴交于 C=0 抛物线与 y 轴交于 c 的符号c0.acb42抛物线与 x 轴有 个交点=0 抛物线与 x 轴有 个交点的ab42符号0c2抛物线与 x 轴有 个交点六、作业：课后反思时间 科目 数学
15、年级 九年级 yxo23课题 22.1 用待定系数法求二次函数的解析式（第七课）知识与技能 通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究, 掌握求解析式的方法。过程与方法 能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。教学目标情感态度与价值观 从学习过程中体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。教学重点 用待定系数法求二次函数解析式教学难点 能灵活的根据条件恰当地选取选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。课时安排 一课时课前准备教学过程 一、合作交流 例题精析1、一般地，形如 yax 2bxc (a,b,c 是常数，a0)的函数，叫做二次函数，所以，我们把_叫
16、做二次函数的一般式。例 1 课本 p12 探究 已知二次函数的图象过 (-1，10) ，(1 ， 4)和(2 ， 7)三点，求这个二次函数解析式。 师：引导学生思考，分析；生：小组合作完成，并展示。小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1 ）熟悉待定系数法；（ 2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。2、二次函数 yax 2bxc 用配方法可化成：ya(x- h)2k，顶点是(h，k)。配方: yax 2bxc_a(x )2 。对称轴是 x ，顶点坐标是( ， ), h ，k= , 所以，我们把_叫做二次函数的顶点式。例 2 已知二次函数
17、的图象经过原点，且当x1 时，y 有最小值 1， 求这个二次函数的解析式。小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也24可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。请大家试一试，比较它们的优劣。生：讨论与交流，充分表达自己的认识和发现；3、一般地，函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴交点的横坐标即为方程 ax2bxc0 的解；当二次函数 yax 2bxc 的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程 ax2bxc0 的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。所以，已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：ya(xx 1)(xx 2)，其中 x1 ，x 2 为两交点的横坐标。
18、例 3 已知二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标分别是 x1=3，x 2=1，且与 y 轴交点为(0，3) ，求这个二次函数解析式。 师:想一想:还有其它方法吗?二、课堂练习 1、课本 13 页练习 1、22、补充练习 根据下列条件求二次函数解析式（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，1）， B（1，0 ）， C（1 ，2）；（2）已知抛物线顶点 P(1 ，8)，且过点A(0，6)；（3）二次函数图象经过点 A（1 ，0），B（3，0）， C（4，10）；(4）已知二次函数的图象经过点（4，3 ），并且当 x=3 时有最大值 4；（5）已知二次函数的图象经过一次函数yx+3 的图象与 x
19、 轴、y 轴的交点，且过(1，1)；（6）已知抛物线顶点（ 1，16 ），且抛物线与x 轴的两交点间的距离为 8；三、总结反思 突破重点师生：二次函数解析式常用的有三种形式： （1）一般式： _ (a0)（2）顶点式： _ (a0) 25（3）交点式： _ (a0)师：本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式，要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质。（1 ）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式 yax 2bxc 形式。（2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式 ya(xh) 2k 形式。
20、（3）当已知抛物线与 x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式 ya(xx 1)(xx 2)。 四、作业：课后反思时间 科目 数学 年级 九年级 课题 22.2 二次函数与一元二次方程（第一课时）知识与技能了解二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数的图像与 x 轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别，了解用图像法确定一元二次方程的近似解的方法。过程与方法通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系，体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法。教学目标情感态度与价值观 进一步增强学生的数形结合思想方法，增强学生的综合解题能力。教学重点 二次函数与一元二次
21、方程之间的关系，利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。教学难点 进一步增强学生的数形结合思想方法，增强学生的综合解题能力。课时安排 一课时课前准备教学过程 例 1、画出函数 的图象，根据图象回答32xy下列问题图象与 x 轴交点的坐标是什么？当 x 取何值时， y0？这里 x 的取值与方程批注26有什么关系?032x你能从中得到什么启发?分析：求图象与 x 轴交点的坐标有两种方法，法 1：图象法，法 2：赋值法（与 x 轴交点的坐标的纵坐标为 0，故 y=0，代入关系式求出 x 的值）“当 x 取何值时， y0？”意思是把“ y0”作已知，要求 x 的值； x 的取值就是方程 的解。32x
22、抛物线与 x 轴交点的横坐标就是二次函数当 y=0 时得到的一元二次方程的解。例 2、利用图象法解一元二次方程 032x分析：利用“抛物线与 x 轴交点的横坐标就是二次函数当y=0 时得到的一元二次方程的解。”反之，一元二次方程的解就是抛物线与 x 轴交点的横坐标，要解一元二次方程，只需画出抛物线 ，求032x 32xy出它与 x 轴交点的横坐标，这个横坐标就是一元二次方程的解。2练习：1、求下列抛物线与 x 轴交点的坐标 82y 32xy65x2、利用图象解一元二次方程 02x例 3、根据函数 的图象回答下列问题32xy当 x 取何值时， y0？当 x 取何值时， y0？能否用含有 x 的不
23、等式来描述中的问题？分析：“当 x 取何值时， y0？”，就是图象上，找纵坐标小于 0 的点，（即找位于 x 轴下方的点，）再找这些点的横坐标的取值情况。用含有 x 的不等式来描述中的问题“当 x 取何值时，y0？”为：当 x 取何值时，不等式 0 成3227立。试一试利用图象法解不等式 x22 x30。（精确到 0.1）小结：1、方程的解与函数图象的关系？2、方程的解与函数图象的交点的关系？3、用图象法解方程的方法？4、不等式的解与函数图象的关系？5、用图象法解不等式的方法？作业：1、利用函数的图象求下列方程或不等式的解 002x2x（提示：可以运用实际求解来帮助画图）2、预填下一节的内容。
24、思考：利用函数的图象解下列方程（组），并思考它们的关系。 x2.2xy课后反思时间 科目 数学 年级 九年级 课题 22.2 二次函数与一元二次方程（第一课时）知识与技能 1、使学生会画出二次函数 cbxay2的草图。2、使学生会用公式求抛物线 x2的对称轴与顶点。3、了解抛物线的另一种形式 )(21过程与方法 通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系，体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法。教学目标情感态度与价值观 进一步增强学生的数形结合思想方法，增强学生的综28合解题能力。教学重点 1、用公式求抛物线 cbxay2的对称轴与顶点坐标2、画出二次函数 的草图教学难点
25、抛物线 cbxay2的对称轴与顶点的求法及有关性质课时安排 一课时课前准备教学过程 一、复习提问1、说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标： 32)5(xy17.04)2(12、填空： x6 （ x ） 2x5（ ） 2 94x2)(852x2)5(二、新课1、讨论一般式 cbxay2的对称轴与顶点坐标，用配方法把一般式配方讲解例 4：cbxay2)(a22)abcxy4(2由二次函数的顶点式可知： cxay2的对称轴是 a2，顶点坐标是（，bc4），因此我们可以用公式来求对称轴和顶点坐标。2、抛物线的另一种形式：若抛物线与 x轴有一个或两个交点（ 1x，0），29（ 2x，0）则抛物线可以
26、写为： )(21xay，我们把这种形式叫做二次函数的交点式当 1 2时，有 21ay思考：若抛物线与 轴有一个或两个交点，如何解交点坐标？（令 y0，解一元二次方程 02cbx）抛物线与 轴的交点坐标是多少？（令 x0，由 ax2可知 y ，故为（0， c）叫做抛物线在 y轴上的截距学生练习：求 32与两坐标轴的交点坐标。3、画抛物线的草图：对于 cbxay2我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与 y轴的交点坐标、与 x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。例：指出抛物线 1542x的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与 y轴的交点坐标、与 x轴的交点坐标。并
27、画出草图。解：由 02x得 1， 42由0x得 1y当 85)4(ab时， 169422cy 40，它的开口向下对称轴 85x，顶点坐标为（ 85， ）与 y轴的交点坐标为（0，1）与 轴的交点坐标为（1，0）、（ 41，0）4、巩固练习指出下列抛物线的开口方向、求出它的对称轴、顶点坐标、与 y轴的交点坐标、与 x轴的交点坐标。并画出草图。32x1432xy 85三、小结本节内容1、本节课主要内容有哪些？2、确定抛物线的开口方向、求出它的对称轴、顶点坐标、与 y轴的交点坐标、与 x轴的交点坐标。并画出草图。作业：30课后反思时间 科目 数学 年级 九年级 课题 22.3 实际问题与二次函数 (第一课时)知识与技能 1.能根据实际问题构建二次函数模型. 2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最值问题.过程与方法通过对”矩形面积”、“销售利润 ”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想。教学目标情感态度与价值观体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识。教学重点 用二次函数做最值来解决实际应用问题。教学难点 将实际问题转化为实际问题，并用二次函数性质进行决策。课时安排 一课时课前准备
