1、第 9 章 真空中的静电场(习题选解)9-补充 三个电量为 的点电荷各放在边q长为 的等边三角形的三个顶点上，电荷r放在三角形的重心上。为使每(0)Q个负电荷受力为零， 之值应为多大？Q解：以三角形上顶点所置的电荷( )为q例，其余两个负电荷对其作用力的合力为 ，方向如图所示，其大小为1f 题 6-1 图221 0043cos4rqrqf 中心处 对上顶点电荷的作用力为 ，方向与 相反，如图所示，其大小为Q1f22320044rQqrf由 ，得 。12fQq6-补充 在某一时刻，从 的放射性衰变中跑出来的 粒子的中心离残核238U的中心为 。试问：（1）作用在 粒子上的力为多大？（2） 粒23
2、4Th59.0rm子的加速度为多大？解：（1）由反应 ，可知 粒子带两个单位正电荷，即238234990Th+He191.20QC离子带 90 个单位正电荷，即Th 19294e它们距离为 159.0rm由库仑定律可得它们之间的相互作用力为： 1919912 5203.204(.)4()QF Nr（2） 粒子的质量为：272727()(.61.)6.810pnm Kg-q-q-qQ1f2f由牛顿第二定律得： 282751.6106.80Famsm 9-1 如图所示，有四个电量均为 的点电荷，分别放置在如图所示的Cq1，2，3，4 点上，点 1 与点 4 距离等于点1 与点 2 的距离，长 ，第
3、 3 个电荷位于2、4 两电荷连线中点。求作用在第 3 个点电荷上的力。解：由图可知，第 3 个电荷与其它各电荷等距，均为 。各电荷之间均2rm为斥力，且第 2、4 两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷 3 的力为题 9-1 图题 9-1 图NrqF2213008.4力的方向沿第 1 电荷指向第 3 电荷，与 轴成 角。x459-2 题略解 mglq20)sin(4tantansi4ita16q 0220 mgll9-3 在直角三角形 的 点放置点电荷 ， 点放置点电荷ABCCq9108.B，已知 ，试求直角顶点 处的场强 。q92108.40.4,0.
4、3m E解： 点电荷在 点产生的场强为A， 方向向下1E1421018.4Vrq点电荷在 点产生的场强为 ，方BC2E向向右 1420207.41mVrqE题 9-3 图根据场强叠加原理， 点场强C14210.3mVE设 与 夹角为 ，EB2tan12rctanrcta3.7E9-补充 如图所示，一根很长的绝缘棒，均匀带电，单位长度上的电荷量为 ，试求距棒的一端垂直距离为 的 点处的电场强度。dP解：建立如图所示坐标，在棒上任取一线元 在 点产生的场强为xE题 9-补充 a 图)(4)(4202020 dxdxrdq场强 可分解成沿 轴、 轴的分量dExy2sindxEdx 2cosdxEdE
5、y 题 9-补充 b 图0232)(4dxdExx1220()8004d3102220004 4()()yydxxE d 点场强 P dEyx024方向与 轴夹角为 Yarctn5xy9-4 如图所示，一条长为 的均匀带电l2直线，所带电量为 ，求带电直线延长线q上任一点 的场强。P解：在坐标原点 0 为 处取线元，带电量rdlqd2该线元在带电直线延长线上距原点为 的x点产生的场强为P 题 9-4 图题 9-4 图20)(4rxdqE整个带电直线在 点的场强P l l llrxlqrxdqrxlqddE )1(8)(8)(24 02020 220001()8()4()qllxl l9-5 一
6、根带电细棒长为 ，沿 轴放置，其一端在原点，电荷线密度 （lx Ax为正的常数） 。求 轴上， 处的电场强度。Axb2解：在坐标为 处取线元 ，带电量为 ，该线元在 点的场强为 ，dAxdqPdE方向沿 轴正方向x20)(4xlbqdE整个带电细棒在 点产生的电场为P题 9-5l xlbAddE202)(4xlbdlll 2202)()(240022l l xlxlbdA20 0001ln()84()l llxx )ln40blA场强 方向沿 轴正方向Ex9-6 如图所示，一根绝缘细胶棒弯成半径为 的半圆形。其上一半均匀带电荷R，另一半均匀带电荷 。求圆心 处的场强。qqO题 9-6 图解：以
7、圆心为原点建立如图所示 坐标，Oxy在胶棒带正电部分任取一线元 ，与 夹角为 ，线元带电荷量 ，在dlAdlRq2点产生电场强度O dRqlqRE2030204把场强 分解成沿 轴和 轴的分量dExysindcoEy2220 0sinxxqqEddRR2220 0coyy题 9-6 图同理，胶棒带负电部分在 点的场强 沿 轴方向的分量 与 大小相等，方OExxE向相同；沿 轴方向的分量 与 大小相等，方向相反，互相抵消，故点场强为yy方向沿 轴正向。202RqExx9-7 如图所示，两条平行的无限长均匀带电直线，相距为 ，线电荷密度分别d为 和 ，求： 两线构成的平面的中垂面上的场强分布；解：
8、在两线构成平面的中垂直面上任取一点 距两线构成平面为 ，到两线距离Py为 。两带电直线在 点的场强为22()dyP21201)4(dyE21202)(y题 9-7 图由于对称性，两线在 点的场强沿 轴Py方向的分量，方向相反，大小相等，相互抵消 1212cosxEE11220()()4ddyxyoE1E2Ed / 2- d / 2 +-+ -P题 9-7 图方向沿 轴正方向20()y x太 原 理 工 大 学 大 学 物 理9-8 求 两 无 限 大 均 匀 带 电 平 板 的 电 场 分 布已 知 ： 求 ： 分 布解 ： 两 无 限 大 带 电 平 板 产生 场 强 大 小 分 别 为+0
9、2E方 向 如 图 红 色0方 向 如 图 蓝 色2太 原 理 工 大 学 大 学 物 理由 叠 加 原 理 ， 两 极 板 间 场 强 方 向 沿 x轴 正 向2+0023E两 板 外 ， 左 侧1+00022两 板 外 ， 右 侧3+002E方 向 沿 x轴 正 向方 向 沿 x轴 负 向9-9 一无限大均匀带电平面，电荷面密度为 ，在平面上开一个半径为 的圆R洞，求在这个圆洞轴线上距洞心 处一点 的场强。rP解：开了一个圆洞的无限大均匀带电平面，相当于一个无限大均匀带电平面又加了一块带异号电荷，面密度 相同的圆盘。距洞心 处 点的场强rPpE式中 为无限大均匀带电平面在 点产生的场强 题
10、 9-9 图 P02E方向垂直于平面向外为半径为 的均匀带负电圆盘在其轴线上距中心为 处的 产生的场强。在圆ERrP盘上取半径为 ，宽为 的细圆环，在 点产生场强rrdP23202320 )(4)(4rdrdqE RR rdrd 021200232 )()(方向垂直圆盘向里20(1)rR故 方向垂直平面向外2120)(rEP9-10 用细的不导电的塑料棒弯成半径为 的圆弧，棒两端点间的空隙为cm50，棒上均匀分布着 的正电荷，求圆心处场强的大小和方向。cm2C9102.3解：有微小间隙的带正电圆弧棒，等效于一个相同半径的带正电圆环加个弧长等于间隙的带负电小圆弧棒。由场强叠加原理，圆心 场强OA
11、0B圆 棒E对于均匀带正电的圆环，由于对称性在圆心 的电场强度为零， 。0圆 环上一带负电小圆弧棒相对于圆心 可近似O题 9-10 图看成一个点电荷，电量为： dlRq2A0014BEl130274.8mVRqdl圆心处场强 ，方向指向空隙。A10.74BEV9-11 题略 解：（1）点电荷在立方体的中心，由高斯定理知：通过立方体表面的电通量为 0qdAES则通过该立方体任一个面的电通量为 。06（2）点电荷在立方体的一个顶点上，以该顶点为中心作一边长为 2a 的立方体，由高斯定理知：通过立方体表面的电通量为 0qdAES则通过该立方体任一个面的电通量为 。0249-补充 用场强叠加原理，求证
12、无限大均匀带平面外任一点的场强大小为（提示：把无限大平面分成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分） 。02E解：（1）建如图 坐标，以板上任一点 为圆心，取半径为 ，宽度为()axyzOr的环形面积元，带电量为：dr。rdq2由圆环电荷在其轴线上任一点 的场强公式)(xP2320)(4rdE方向沿 轴正方向。x点总场强P302()xrdEd1200()rx题 9-补充 图()a（ ， 的方向沿 轴正方向） E（2）建如图 所示的三维坐标，在与 轴相距为 处取一细长线元，沿 轴方()bzyy向单位长度带电荷为 ，由长直带dy电直线场强公式，线元在 轴距原点 为xO的点 的场强aP2021ayd
13、dE题 9-补充 图()b由于对称性， 的 轴分量总和为零dEy所以 cosdx220 0arctnadyyy 002因为 ，所以 的方向沿 轴正方向。Ex9-补充 如图所示，半径为 的带电细圆环，线电荷密度 ， 为常Rcos00数， 为半径 与 轴夹角，求圆环中心 处的电场强度。RxO解：在带电圆环上任取一线元 ，带电量为 ，线元dlRddlqs0与原点 的连线与 轴夹角为 ，在 点的场强 大小为OE题 6-12 图 dRdRdqEcos4cos402020沿 轴和 轴的分量dExy dRdEx 20cos4cosy inin0整个带电圆环在 点的场强 沿 轴和 轴的分量Oxy 20 020
14、02 4)sin41(cos4 RRdRdExx 20 200)i(sinyy故 04xERii的方向沿 轴负方向。Ex9-12 设匀强电场的场强为 ， 与半径为 的半球面的轴线平行。试计算通过此半球面的电场强度通量。解：方法一：通过半球面的电场强度通量与垂直通过大圆面 的电场强度通量S相等。通过 面的电场强度通量：S ERSe2故通过半球面的电场强度通量亦为 。2方法二：在半球面上取宽为 的环状面积元，dl dRrdlSsin2通过面元 的电场强度通量dSEecosRsin2c通过整个半球面的电场强度通量 20cosinddee ERE2022si1题 9-12 图9-补充 在半径分别为 ,
15、 的两个同心球面上，分别均匀带电为 和 ，求1R2 1Q2空间的场强分布，并作出 关系曲线。rE解：电荷在球面上对称分布，两球面电荷产生的电场也是球对称分布，场强方向沿径向向外。（1）以球心 为圆心， 为半径（ ）作一同心球面，由高斯定理，球面Or10Rr包围电荷量为零，即 IsdAES因而 I0（2）以 为圆心，半径为 （Or）作一同心球面，由高斯定理1Rr1I0sQdAES21I04r201rQEI曲线如图 9-补充所示。rE（3）以 为圆心，半径为 （ ）作一同心的球面，由高斯定理Or2R12I0sQdAES212I04QEr所以 12I0r9-13 设均匀带电球壳内、外半径分别为 和
16、，带电量为 。分别利用高斯1R2Q定理与用均匀带电球面的电场叠加求场强分布，并画出 图。rE解：由于电荷分布具有球对称性，空间电场分布也具有球对称性。（1）在 的区域，电量为零。1rR由高斯定理 ，因而各点场强为零。0sdAES（2）在 区域，以 为半径作同心球面。12rr由高斯定理 0sqdES由 3313214()4QqVrRR)(3120rE因此 31204RrQ（3）在 区域，以 为半径作同心球面，2rRr由高斯定理 0sqQdAES024r20rQE曲线如图 9-13 所示。rE曲线如图 9-13 所示。rE9-14 无限长共轴圆柱面，半径分别为 和 ( )，均匀带电，单位长度1R2
17、1上的电量分别为 和 。求距轴为 处的场强(1) ；(2) ；(3) 。12rr2rR2r解：（1）在半径为 的圆柱面内作半径为 ，高为 的同轴圆柱面，作1R(1)l为高斯面。通过此高斯面的通量 0ssssqdddAA侧上 底 下 底ESES各点 垂直于轴线，上下底面电通量为零 02侧rl因而 (E1R)（2）在半径为 、 的两圆柱面间作半径为 ，高为 的同轴圆柱1R2 r(21R)l面作为高斯面，由高斯定理 10sqldAES10sl侧 012lrE可见 r01（3）同理在 的区域 2rRrE0219-15 如图所示，点电荷 ，与它在同一直线上的 三点分别距Cq9 CBA、为 ，若选 为电势
18、零点，求qcmc3021、 B两点的电势 。CA、 CAV、 题 9-15 图解：以点电荷 为原点，沿 的连线qq,建 坐标，在 坐标轴上，各点场强方向都沿 轴xxx正方向。题 9-15 图204xqE对于 、 两点，电势差ABBA dxqdxV2.0122.014E2.01 0.01. 5)(4 Vxxq由 ， 故 0BVVA5对于 、 两点，电势差为：C 3.02 3.02.3.02 15)(4VxqdxEdxCB 由 ， 故 0BVV159-16 真空中一均匀带电细圆环，线电荷密度为 ，求其圆心处电势。解：在细圆环上取长为 的线元，带电量为dl dlq在圆心处产生的电势 RlqdV004
19、整个带电圆环在圆心 的电势ORl20 002题 9-16太 原 理 工 大 学 大 学 物 理9-17 长 为 2l， 带 电 量 为 q的 均 匀 带 电 细 棒 ， 求 延 长 线上 距 棒 一 端 为 a的 点 p的 电 势 。解 ： 建 立 图 示 坐 标（ 1） 取 线 元 dx 00dd4(2)qxVrla2ql（ ） dq在 p点 的 电 势（ 3） 整 个 细 棒 在 p点 的 电 势 200lnlxV204()lxla0n02l8qa0l1+8qla（ ）太 原 理 工 大 学 大 学 物 理9-1 如 图 :两 均 匀 带 电 同 心 球 面 ， 求 电 势 分 布 。（
20、1） 1rR12004 qVRq1 q2（ 2） 211200 4 qrR（ 3） r12004 qV解 均 匀 带 电 球 面 电 势 分 布由 电 势 叠 加 原 理 可 得太 原 理 工 大 学 大 学 物 理9-20 有 一 个 半 径 为 R 的 球 体 ， 球 内 部 带 电 ，电 荷 体 密 度 的 表 达 式 为4()qr0(rR)(rR)求 (1) 球 体 总 带 电 量 Q 。解 ： 在 球 内 取 半 径 为 r， 厚 度 为 dr的 薄 球 壳 ， 该壳 内 包 含 的 电 量 RqRqdVq3424(2) 球 内 、 外 各 点 的 场 强 。(3) 球 内 、 外
21、各 点 的 电 势 。太 原 理 工 大 学 大 学 物 理球 体 总 带 电 量 dqQqdrR034(2) 球 内 、 外 各 点 的 场 强 。场 强 分 布 具 有 球 对 称 性 ， 高 斯 面 为 球 面 。通 过 高 斯 面 的 电 通 量 24rEe当 场 点 在 球 面 外 时 方 向 沿 半 径 向 外24rE太 原 理 工 大 学 大 学 物 理当 场 点 在 球 面 内 时 4034rRqdrqr24rE401rRq或或 方 向 沿 半 径 向 外9-22 题略解：取无穷远处电势为零，则内球面处电势为 100342qVR外球面处电势为 200342qVR带电粒子由内球面
22、从静止释放到达外球面时电场力作功，由动能定理可得粒子的动能 2120()=8QqmVRv9-23 题略解：取无穷远处电势为零，则 O 点的电势为 0C 点电势为 0043CqVR电荷 q0 从 O 到 C 移动过程中电场力作功为 00()=6OCCqAqVR9-补充 半径为 的球形水滴具有电势 。求：（1）水滴上所带的电荷m23量。 （2）如果两个相同的上述水滴结合成一个较大的水滴，其电势值为多少（假定结合时电荷没有漏失）？解：（1）设水滴所带电荷均匀分布在水滴表面。水滴内任一点场强为零，电势与水滴表面电势相等。对于水滴外任一点 ，电场强度xR204xQE水滴的电势 RddV20题 9-补充图
23、001()44RQdxR故 pCV7.67.612（2）两水滴合成一较大水滴，电量 ，半径 ，水滴外任Q RR26.13一点 （ ）的电场强度x1.6R204xE大水滴的电势 RRdQdV26.120VRxR476.4)(4026.10 9-补充 两个同心的均匀带电球面，半径分别为 ， ，已知15.cm20.c内球面的电势为 ，外球面的电势 。 （1）求内、外球面上所带电量；160V23V（2）在两个球面之间何处的电势为零？解：（1）设内球面带电量为 ，外球面带电量为 ，由电势叠加原理1Q2Q2101064VVR22003由- 得： 90414210201 RQRQ410121 92.59 6
24、.7. C将 的数值代入式可得：1Q1023.QC（2）在两球面之间，电势表达式为 20014RrVr令 ， 得0rV cmQ.219-24 如图所示，已知长为 ，均匀带电，电量为 的细棒，求 轴上一点l Qz的电势 及场强 的 轴分量 （要求用 来求场强） 。),0(aPPPEzz VE解：在细棒某点 取线元 ，带电量xddxlq线元在 点的电势 2004axrV细棒在 点的电势PlPaxdd0242200ln()ln4lQxa题 9-24 图由电场强度与电势梯度的关系 ()VxyzEijkzz轴上任一点（ ）的电势为 zz,0zllQV20n4故 )ll(20zzEz 220 14()Ql
25、 zlzl20220 4zlQllzl 在 点，),0(aPz 204alEz9-补充 两无限长带异号电荷的同轴圆柱面，单位长度上的电量为，内半径为 ，外半径为 ，一电子在两圆柱面间沿半180.3mCm21m2104径为 的圆周路径匀速转动。问此电子的动能为多少？2解：设圆柱面单位长度的电量为 ，两同轴圆柱间的场强rE02电子作匀速圆周运动的向心力由电场力提供 emaFn20rv20e题 9-补充图所以电子的动能 217014.32keEmJv学生问题解答：解：建如图所示的三维坐标，在与 轴相距为 处取一细长线元，沿 轴方zyy向单位长度带电荷为 ，由长直带dy电直线场强公式，线元在 轴距原点 为xO的点 的场强aP2021ayddE题图由于对称性， 的 轴分量总和为零dy所以 cosdEx 22220 000artn=arctn()arctn()22ddayyddy 因为 ，所以 的方向沿 轴正方向。Ex
