1、悬崖跳水水池安全深度的问题摘要悬崖跳水是一项当今颇受媒体关注的一项民间运动。由于悬崖跳水非常具有挑战性，进几年在国外非常流行。虽然本国的悬崖跳水项目没有的到发展，但安全问题颇受全世界的关注。悬崖跳水安全受诸多因素的影响例如:水池深度、天气、跳板、风速、空气压强、水的密度、悬崖高度等等。但悬崖跳水一般性选择天朗气清、惠风和畅的日子，安全问题主要来自水池的深度。由于自然条件的限制，改造自然的成本非常大，在保证运动员安全的基础上我们也要考虑社会所需的经济成本。本文探讨悬崖跳水水池深度设定问题，以实现水池深度设定既保证运动员人身安全且使成本消耗最低为目标进行建模。对于悬崖跳水运动我们可以近似的看做三个
2、物理过程：1、运动员在空中下落；2、运动员从空中进入水中；3、运动员入水后。三类过程分别建立动态方程，结合微分方程求解，最后应用 MATLAB 软件绘图展示结果：男子安全水池深度为 17.04148m，女子水池深度为 15.0348m。对于水池的深度影响主要由水的流体阻力、水的浮力和人跳水的高度决定，本模型主要根据第三个过程确定水池的深度，在第二个过程中讨论人的体重和水池的深度的问题。入水后人体的运动符合牛顿第二定律： mgfFdth浮2水的阻力方程为： 21dfCSv水根据人体完全入水后的速度可以得出水池的深度 （ 为人的高iiiHLi度 为人完全入水时脚底与水池底部的距离）iL由于人跳水时
3、在空中下落过程符合牛顿第二定律，根据跳水员得跳水高度我们可以求解出接触水面时的速度。根据牛顿第二定律求解出人体质量和和速度的关系，再根据模型二、三推导出人体质量和水池深度的关系。从中得出：体重越重的人需要的水池深度越深。关键词：物理动力学、线性代数微分方程学、运动状态方程、空气动力学、流体阻力、雷洛系数一、问题重述近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，比赛规定男子跳台高度为 23 至 28 米，女子为 18至 23 米。我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28 米，女子 20 米。请大家做两件事：1、跳台下面的水池要多
4、深才能安全，请大家给以计算；2、分析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。二、问题分析悬崖跳水基础设施中的水池深度是跳水过程中最重要的安全因素，要保证所有的运动员都能够安全的跳水。设定男子跳台的最高高度为 28 米，女子跳台的最高高度为 20 米。跳水过程主要分为三个阶段，并用物理知识建立以下三个基本过程。1、运动员在空中下落的过程运动员从跳台往下跳，在空中完成系列的动作后落水。在此过程中，运动员的运动情况受空气阻力和重力的影响，重力竖直向下空气阻力竖直向上。根据空气运动学定理，运动员在空气中的阻力和速度二次方成正比。由于跳台高度一定，运动员落水过程做变加速度运动，到达水面时速度最大，整个过
5、程符合了能量守恒定律。2、运动员从空中的入水过程从物理运动学的角度分析，运动员从空气中入水的过程中主要是受到竖直向下的重力、竖直向上流体阻力即水的阻力和竖直向上的浮力三种力的作用。整个过程符合能量守恒定律，由于浮力随人入水的高度变化，对此需建立一个动态的力学方程。3、运动员完全入水后到池底的过程 由于物体的浮力等于物体所排出的水的体积的重力，运动员入水后所受到的水的浮力不再改变。从运动状态分析，运动员受竖直向下的重力、竖直向上的浮力和竖直向上的水的阻力。由于人的密度近似于水的密度，可把人的密度看做和水的密度相等，水的阻力和运动员的速度的二次方成正比，运动员所受的合力向上，做减速运动直至安全速度
6、。建立一个动态力学方程，可以求出水池的最佳深度。三、模型假设1、假设跳水运动员跳水状态形似圆柱体下落，质量分布均匀，其中跳水运动员的高度即圆柱体高度，人的脚部为圆柱体底部，人体的肩宽即圆柱体直径（如下图示） ；2、假设跳水运动员以身体笔直，双手紧贴，脚先着水的方式垂直入水，速度方向垂直向下；3、假设忽略跳水运动员的蹬板过程；4、假设风速水速为零，不影响运动员下落；5、假设运动员整个跳水过程中无能量损失；6、假设男女跳水运动员身高、质量及肩宽符合 20-25 岁跳水运动员国际标准；7、假设运动员在水中的安全速度为 2m/s，此时的深度为安全深度零界；8、假设悬崖跳水过程中温度为 ，水的温度为 ；
7、C0302C9、假设人的平均密度和水的密度相等，即 。=人 水四、符号的说明及定义符号 意义说明il跳台距水面的高度（i=1 或 2）iH运动员的身高（i=1 或 2）iL运动员完全入水后脚底与水池底部的深度（i=1 或 2）h人的脚底（圆柱底部）与水面距离物体相对应的特征长度即人的高度 Hir人体的一半肩宽（圆柱半径）iH水池深度（i=1 或 2）im人体质量流体的密度流体粘滞系数f流体阻力iv男运动员落体瞬时速度（i=1,2）i女运动员落体瞬时速度（i=1,2）eR雷洛系数dC阻力系数g重力加速度（ ）29.8/gms浮F水中受到的浮力五、模型的建立与求解问题一：5.1.1 建模思路对悬崖
8、跳水运动员跳水三个细分运动过程受力分析：（1）运动员在空中下落的过程：运动员受竖直向上的空气阻力和竖直向下的恒定重力作用，空气阻力逐渐增大，与速度的平方成正比，运动员做加速度减小的加速运动，到达水面时速度达到最大。 （2）运动员从空中的入水过程：运动员主要是受到竖直向下的重力、竖直向上水的阻力和竖直向上的浮力三种力的作用。整个过程符合牛顿第二定律，由于浮力随人入水的高度变化，对此需建立一个动态的力学方程。（3）运动员完全入水后到池底的过程：运动员收到竖直向下的恒定重力和和恒定的竖直向上的水的浮力和竖直向上的逐渐变小的水的阻力。由于人的密度相近于水的密度，可以把运动员所受的重力和浮力看做相等，运
9、动员所受的合力向上，大小为水的阻力，做减速运动直至速度为降为安全速度 2m/s，建立一个动态力学方程，可以求出水池的最佳深度。5.1.2 模型建立（1）运动员在空中下落的过程：建立运动状态方程： 2dlmgft气运动员在空气中的阻力的作用，根据流体力学可知。运动员在空气中所的受流体阻力为 2dv1SCf气气 msH人整理可得：（1）2 2dvdldvggftl气气 人图一 运动员由跳台至水面过程（2）运动员从空中的入水过程：建立运动状态方程： 2-dhmfFmgt浮水其中水的浮力为： s浮 水，H人 =人 水整理可得：（2）2-dhmfFmgt浮水 2dcvhghH图二 运动员从空气至水中过程
10、（3）运动员完全入水后的过程：建立运动状态方程： 2-dLmfFmgt浮水 21dfcsv水，H人 =人 水代入可得：2-dLmfFmgt浮水 2dcvLH（3）图三 运动员完全入水至池底的过程5.1.3 模型求解通过对 20-25 岁跳水运动员国际标准查询，男女跳水运动员对应跳台高度、身高、质量及肩宽平均为：111122228.780.357506560lmHrmkg， ， ， ；， ， ， ；水和空气所对应的密度与粘滞系数以及人的密度如下：， ；3kg/水 3.0asP水， ；=1.650m气 -5=187气= 。人 3/水（1）运动员在空中下落的过程：当 0Re 时符合以下公式：50（4
11、）dC4.0Re1624（5）Lv气 气用 MATLAB 绘图软件绘出 Cd 和 Re 的关系图如下：图四 Cd 和 Re 的关系图从图形可以得出当 Re=4 时,Cd 趋近于 0.42。把 Re 代入（5）可得410v=0.004m/s。根据牛顿第二定理可知：物体自由落体时物体速度为 0.4m/s 时的位移很小，相对于跳水台的高度可以忽略不计。即运动员整个下落过程可视为Re1 的情况。随着速度变大,Re 变大，根据图形可知 。410 0.42dc将 , , ， 的值代入分别（1）式，将3=.65/kgm气 310kg/人 0.42dciH公式与数据输入 MATLAB 软件，得到图像如下：图五
12、 运动员由跳台至水面过程时速度与高度关系通过 MATLAB 求解可得：男运动员到水面的速度为 23.3815 m/s，女运动员1v到到水面的速度为 19.7718m/s。1v（2）运动员从空中的入水过程：Re=4 时 Cd 变化不大且趋近于 0.42，其中 为物体横截面积相对应的40 L特征长度即人的高度 H.把 Re、 代入方程（5）得：v=0.0000712m/s 0 m/s。L即运动员整个空气到水中的过程可视为 Re1 Pas 的情况，从而得出410。0.42dc将相应数据代入公式（2），通过将公式与相应数据输入 MATLAB 软件，得到图像如下：图六 男运动员从空气至水中过程时速度与高
13、度关系通过 MATLAB 计算可得：运动员完全入水后男性运动员速度 12.1263m/s ，2v女性运动员速度 10.9621m/s。2v图七 女运动员从空气至水中过程时速度与高度关系（3）运动员完全入水后的过程：将相应数据代入公式（3），通过将公式与相应数据输入 MATLAB 软件，得到图像如下：图八 男子由水面至水池底部过程时速度与高度关系图九 女子由水面至水池底部过程时速度与高度关系通过 MATLAB 求解可得运动员完全入水后脚底与池底的距离：男运动员到水池底部的高度 15.26648m，女运动员到水池底部的高度 13.3848m。1L 2L所以可得，男子跳水水池深度为 =17.0414
14、8m,女子跳水水池深度为1H=15.0348m。2H问题二5.2.1 建模思路若两人体重不同，由于人体密度保持不变，则存在三种情况：人的底面积相，高度不同；人的高度相同，底面积不同；人的底面积与高度都不同。结合运动员悬崖跳水三个具体物理运动的总方程进行分析，得出高度、底面积与质量之间的联系，从而判断体重不同者的水池深度大小。5.2.2 模型建立圆柱体质量计算公式：；mSH建立运动状态方程：； （6）2 2dCvdlvgmgftl气气 人； （7）2-dhghfFmdt hHv浮水；. 2212ddclcsvtL水（8） 5.2.3 模型求解由上述公式可得，水池深度大小改变与高度有关，与体积无关
15、，所以本文将人体重不同定义为底面积不变，密度不变，高度改变。由模型一可知不同高度的人在相同高度跳台跳水的时候速度变化不大，其影响可以忽略不计。由模型二、模型三可得如下公式： 22lnHvCgCHdd 气人气 人 可判定当高度增大时，末速度（入水初速度）增大；综上所述：即体重越大的人跳水时需要更深的水。六、模型评价与推广该模型建立充分运用了物理学、理论力学以及微分方程学。分析了悬崖跳水运动的具体物理过程，求解出每个过程中物理量速度与高度的变化关系，以图形的形式展示出来，既形象准确又美观，解决了水池深度的合理设定。当运动员体重改变时，可根据人体质量、圆柱体高度和圆柱体半径三者变量之间的关系确定出体
16、重越大者则水池越深。6.1 模型的优点：（1）本模型建立过程将物理过程细化分析，简化了过程中不必要的计算，使问题易于处理，同时使人易懂。（2）充分结合了物理学、理论力学以及微分方程学解决本文问题，使得解题过程简化。（3）该模型应用图形表现结果，形象易理解。6.2 模型的缺点：（1）本文将悬崖跳水运动具体分为三个过程考虑，忽略跳水运动员的蹬板过程以及人水短暂碰撞过程的能量损失，可能导致结果不够精确。（2）文中男女身高、肩宽与质量的选定具很强的主观性，与实际可能存在一些偏差。6.3 模型的推广：（1）本模型准确性较好，可以应用到实际悬崖跳水水池深度设定问题上。（2）根据实际情况，进一步确定本问题涉
17、及的数据，另加些约束条件使得模型更加紧密，结果会得到进一步优化。六、参考文献1 姜启源，谢金星，数学建模案例选集，北京：高等教育出版社，2006。2 郑诒余，鲁钟琪，流体力学，北京：机械工业出版社，1980。3 韩炳耀， 流体力学基本方程及其阻力公式的归纳 ，上海冶金高等专科学校学报，第20 卷第 4 期：第 244246 页，1999。4 张圣勤等， MATLAB 实用教程 ，北京：机械工业出版社，2006。5 陈皓，朱世峰， 锥体下落过程的空气阻力 ，河北师范大学学报，第 35 卷第 3 期：第265267 页，2011。附录1、雷洛系数和阻滞系数的关系代码Re 雷洛系数 Cd 阻滞系数s
18、yms Re CdCd=24/Re+6/(1+Re(1/2)+2/5;hold onezplot(Cd,0,100000)syms Re CdCd=24/Re+6/(1+Re(1/2)+2/5;hold onezplot(Cd,0,100000)2、运动员下降的高度和速度的关系 MATLAB 代码P1 空气的密度；p2 水的密度；H 人的高度；g 重力加速度；C1 粘滞系数；t1 男运动员跳台的高度；t2 女运动员跳台的高度；S1 男运动员下降至水面的速度；s2 女运动员下降至水面的速度；clear,clf,clcy=dsolve(Dv+(p1*c1*v)/(2*H*p2)-g/v=0,v(0
19、)=0,l)syms p1 p2 v H c1 g l t1 t2 s s1 s2p1=1.165;p2=1000;H=1.78;g=9.8;c1=0.42;s = 1/p1/c1*(p1*c1*(2*g*H*p2-2*exp(-p1*c1/H/p2*l)*g*H*p2)(1/2)t1=28;t2=20;s1=subs(s,l,t1)s2=subs(s,l,t2)ezplot(s,0,30)hold offbox on xlabel(l)ylabel(v)title(fontsize10运动员下降的高度和速度的关系图) 3、男运动员入水时的速度关系图形及 MATLAB 代码H1 男运动员的高度
20、；Cd 粘滞系数；g 重力加速度；%模型二 男子入水时的速度及图形clear,clf,clcy=dsolve(Dv+Cd*v)/(2*H1)+(g*h)/(H1*v)-g/v=0,v(0)=23.3815,h)syms v g Cd H1 g h s1 t1H1=1.78;Cd=0.42;g=9.8;y =(-1/4000000*exp(-2*Cd*h)*(4000000*g+8000000*g*H1*Cd-2186778169*Cd2)-2*g*h*Cd+g+2*g*H1*Cd)(1/2)/Cd;t1=1.78;s1=subs(y,h,t1)ezplot(y,0,2)hold offbox
21、onxlabel(h)ylabel(v)title(fontsize10男运动员入水时速度变化图)4、女运动员入水时的速度关系图形及 MATLAB 代码H2 女运动员的高度；Cd 阻滞系数；g 重力加速度%模型二 女子入水时的速度及图形clear,clf,clcy=dsolve(Dv+Cd*v)/(2*H2)+(g*h)/(H2*v)-g/v=0,v(0)=19.7718,h)syms v g Cd H2 g h s2 t2H2=1.65;Cd=0.42;g=9.8;y = (-1/25000000*exp(-2*Cd*h)*(25000000*g+50000000*g*H2*Cd-97731
22、01881*Cd2)-2*g*h*Cd+g+2*g*H2*Cd)(1/2)/Cdt2=1.65;s2=subs(y,h,t2)ezplot(y,0,2)hold offbox onxlabel(h)ylabel(v)title(fontsize10女运动员入水时速度变化图)5、男运动员完全入水后下降的速度和高度的关系图形及 MATLAB 代码Cd 阻滞系数；H1 男运动员的高度；v 运动员的速度；h 运动员完全入水后下降的高度；S1 男运动员完全入水后安全着陆高度；%男运动员跳水的水池深度clear,clf,clcdsolve(Dv+(Cd*v)/(2*H1)=0,v(0)=12.1263,L
23、1)syms Cd H1 t1 s1 v L1Cd=0.42;H1=1.78;y =1211263/100000*exp(-1/2*Cd/H1*L1)ezplot(y,0,20)hold offbox onxlabel(L1)ylabel(v)title(fontsize8男运动员完全入水高度,6848455068356287/562949953421312*exp(-21/178*L1)=v,的关系图)s1=solve(3409402247154793/281474976710656*exp(-21/178*L1)=2,L1)6、女运动员完全入水后下降的速度和高度的关系图形及 MATLAB
24、代码Cd 粘滞系数；H2 女运动员的高度；v 运动员的速度；h 运动员完全入水后下降的高度；S2 女运动员完全入水后安全着陆高度%女运动员跳水的水池深度clear,clf,clcdsolve(Dv+(Cd*v)/(2*H2)=0,v(0)=10.9621,L2)syms Cd H2 t2 s2 v L2Cd=0.42;H2=1.65;y=54933/5000*exp(-1/2*Cd/H2*L2)ezplot(y,0,20)hold offbox onxlabel(L2)ylabel(v)title(fontsize8女运动员完全入水高度,54933/5000*exp(-7/55*L2)=v,的关系图)s2=solve(54933/5000*exp(-7/55*L2)=2,L2)
