1、1第一章 质点运动学1-1 质点运动的描述一、参照系 坐标系 质点1、参照系为描述物体运动而选择的参考物体叫参照系。2、坐标系为了定量地研究物体的运动，要选择一个与参照系相对静止的坐标系。如图 1-1。说明：参照系、坐标系是任意选择的，视处理问题方便而定。3、质点忽略物体的大小和形状，而把它看作一个具有质量、占据空间位置的物体，这样的物体称为质点。说明： 质点是一种理想模型，而不真实存在（物理中有很多理想模型） 质点突出了物体两个基本性质 1）具有质量2）占有位置 物体能否视为质点是有条件的、相对的。二、位置矢量 运动方程 轨迹方程 位移1、位置矢量定义：由坐标原点到质点所在位置的矢量称为位置
2、矢量（简称位矢或径矢） 。如图 12，取的是直角坐标系， 为质点 的位置矢量rP（1-1）kzjyix位矢大小：（1-2）22r方向可由方向余弦确定：r， ，rxcosrysrzcos2、运动方程zyxo参 考 系坐 标 系图 1-yxzP图 1-2r2质点的位置坐标与时间的函数关系，称为运动方程。运动方程 矢量式： （1-3）ktzjtyitxr)()( 标量式： ， ， （1-4）3、轨迹方程从式（1-4）中消掉 ，得出 、 、 之间的关系式。如平面上运动质点，运动方txyz程为 ， ，得轨迹方程为 （抛物线）tx2ty24、位移以平面运动为例，取直角坐标系，如图 13。设 、t时刻质点位
3、矢分别为 、 ，则 时间间隔内位矢变t1r2t化为（1-5）12称 为该时间间隔内质点的位移。r（1-6）jyixr)()(121212大小为 1212讨论： 比较 与 ：二者均为矢量；前者是过程量，后者为瞬时量r 比较 与 （AB 路程）二者均为过程量；前者是矢量，后者是标量。一s般情况下 。当 时， 。0tsr 什么运动情况下，均有 ？sr三、速度为了描述质点运动快慢及方向，从而引进速度概念。1、平均速度如图 1-3， 定义： （1-7）trv称 为 时间间隔内质点的平均速度。vtt(1-8）jijtyixryx方向：同 方向。说明： 与时间间隔 相对应。v)(tt2、瞬时速度粗略地描述了
4、质点的运动情况。为了描述质点运动的细节，引进瞬时速度。v定义： dtrvtt 00limlioxy2r1rrtB,tA,S图 1-33称 为质点在 时刻的瞬时速度，简称速度。vt（1-9）dtrv结论：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。（1-10）jvijtyixt yx式中 ， 。 、 分别为 在 、 轴方向的速度分量。dtxvdtyvxvy的大小： 222yxvdtttr的方向：所在位置的切线向前方向。 与 x 正向轴夹角满足 。v v xyvtg3、平均速率与瞬时速率定义： （参见图 1-3）ttsv内 路 程称 为质点在 时间段内得平均速率。为了描述运动细节，引进瞬时速率。定义： d
5、tstt00limli称 为 时刻质点的瞬时速率，简称速率。v当 时（参见图 1-3） ， ， ，有 t rdsdsr可知： vtdtsv即 （1-11）结论：质点速率等于其速度大小或等于路程对时间的一阶导数。说明： 比较 与 ：二者均为过程量；前者为标量，后者为矢量。v 比较 与 ：二者均为瞬时量；前者为标量，后者为矢量。四、加速度为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概念。1、平均加速度定义： （见图 1-4）tvta12称 为 时间间隔内质点的平均加速度。t2、瞬时加速度为了描述质点运动速度变化的细节，引进瞬时加速度。oxy2r1ttB,tA,图 1-4（ 平 移 ）2124定义：
6、 dtvatt 00limli称 为质点在 时刻的瞬时加速度，简称加速度。（1-12）tr2结论：加速度等于速度对时间的一阶导数或位矢对时间的二阶导数。 jdtyitxjdtvitdvayx 22式中： ， 。 、 分别称为 在 x、y 轴上的分量。2tvax2yxaya的大小： 222dttdtvtaxyx的方向： 与 x轴正向夹角满足a xyag说明： 沿 的极限方向，一般情况下 与 方向不同（如不计空气阻力的斜上抛运vv动） 。瞬时量： ， ， ，rva综上： 过程量： ， ， ，矢量： ， ， ， ， ，标量： ， ，sv五、直线运动质点做直线运动，如图 1-51、位移 ixixr12
7、12： 沿+x 轴方向； ： 沿-x 轴方向。0xr0r2、速度 ivdtxrv， 沿+x 轴方向； ， 沿-x 轴方向。0xv0x3、加速度 iadtvax， 沿+x 轴方向； ， 沿-x 轴方向。0xa0x由上可见，一维运动情况下，由 、 、 的正负就能判断位移、速度和加速度xv的方向，故一维运动可用标量式代替矢量式。ox12xtA, ttB,图 -55六、运动的二类问题运动方程 、 等 第 二 类 问 题 ： 积 分第 一 类 问 题 ： 微 分 va例 1-1：已知一质点的运动方程为 （SI） ，求：jtitr)2( t=1s 和 t=2s时位矢； t=1s 到 t=2s内位移； t=
8、1s 到 t=2s内质点的平均速度； t=1s 和 t=2s时质点的速度； t=1s 到 t=2s内的平均加速度； t=1s 和 t=2s时质点的加速度。解： mjir21m4 mji312 m/strv2 jtidm/s1m/sjiv42 m/s2jtta13 m/s2jdr2例 1-2：一质点沿 x轴运动，已知加速度为 (SI)，初始条件为： 时，ta40t， m。求：运动方程。0v1解：取质点为研究对象，由加速度定义有（一维可用标量式）tdva4由初始条件有： tv04得： 2由速度定义得： 2tdxv由初始条件得：6dtxt021即m32t由上可见，例 1-1和例 1-2分别属于质点运
9、动学中的第一类和第二类问题。1-2圆周运动一、自然坐标系图 2-1中，BAC 为质点轨迹， 时刻质点 P位于 At点， 、 分别为 A点切向及法向的单位矢量，以 Aten为原点， 切向和 法向为坐标轴，由此构成的参照tne系为自然坐标系（可推广到三维）二、圆周运动的切向加速度及法向加速度1、切向加速度如图 1-7，质点做半径为 的圆周运动， 时刻，质rt点速度（2-1）tev式（2-1）中， 为速率。加速度为（2-2）dtevtda式（2-2）中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与 共线，称该项为切向加速度，记为te（2-3）ttteadv式（2-3）中，（2-4）tt为加速度 的切向分
10、量。ta结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数 。 2、法向加速度式（2-2）中，第二项是由质点运动方向改变引起的。如图 1-8，质点由 A点运动到 B点，有CBPA ,t（ 法 向 ）ne切 向 ）(te图 1-6nerA,ttevO图 1-7teA,trddttB,sO图 1-87BAdsevtt因为 ， ，所以 、 夹角为 。OAettttd（见图 1-9）te当 时，有 。0dt因为 ，所以 由 A点指向圆心 O，可有ttetdnte式（2-2 ）中第二项为： nnnt rvdtsrvd2该项为矢量，其方向沿半径指向圆心，称为法向加速度，记为（2-5）nnera2大小为（2-6）
11、vn2式（2-6）中， 是加速度的法向分量。a结论：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半径 。3、总加速度（2-7）ntntnt ervdeaa2大小：（2-8）222rvtnt方向： 与 夹角（见图 1-10）满足atetnatg4、一般曲线运动圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于一般曲线运动，只要把曲率半径 看r作变量即可。讨论： 如图 1-10， 总是指向曲线的凹侧。a 时， ，质点做直线运动。此时0nr)0,dvdtvt匀 速 直 线 运 动 （减 速 直 线 运 动 （加 速 直 线 运 动 （dtetedte图 1-9atanaOA,图 1-08 时， 有限，质点做曲线运动。此
12、时0nar)0,dvdtvt匀 速 曲 线 运 动 （减 速 曲 线 运 动 （加 速 曲 线 运 动 （ 斜 抛平 抛竖 直 下 抛抛 体 运 动 匀 速 圆 周 运 动减 速 圆 周 运 动加 速 圆 周 运 动圆 周 运 动曲 线 运 动 特 例三、圆周运动的角量描述1、角坐标如图 1-11， 时刻质点在 A处， 时刻质点在t tB处， 是 OA与 x轴正向夹角， 是 OB与 x轴正向夹角，称 为 时刻质点角坐标， 为 时间t tt间隔内角坐标增量，称为在时间间隔内的角位移。2、角速度平均角速度：定义： （2-9）t称 为平均角速度。平均角速度粗略地描述了物体的运动。为了描述运动细节，需
13、要引进瞬时角速度。定义： （2-10）dttt 00limli（2-11）d结论：角速度等于角坐标对时间的一阶导数。说明：角速度是矢量， 的方向与角位移 方向一致。d3、角加速度为了描述角速度变化的快慢，引进角加速度概念。（1）平均角加速度：设在 内，质点角速度增量为tt定义： （2-t12）ttB,tA,Oxy图 1-9称 为 时间间隔内质点的平均角加速度tt瞬时角加速度：定义： （2-200limli dtttt 13）称 为 时刻质点的瞬时角加速度，简称角加速度。t（2-2dt14）结论：角加速度等于角速度对时间的一阶导数或等于角坐标对时间的二阶导数。说明：角加速度是矢量，方向沿 方向。
14、d4、线量与角量的关系把物理量 、 、 、 、 等称为线量， ， 等称为角量。vatn（1） 、 与 关系如图 2-7， 时，0dt rds有 trt即 （2-15）rv（2） 、 与 关系ta式（2-15）两边对 求一阶导数，有tdrv即 （2-16）at（3） 、 与 关系n22rrvan即 （2-17）1-3相对运动本节讨论一个质点的运动，用两个参考系来描述，并得出两个参考系中物理量（如：速度、加速度）之间的数学变换关系。ddttB,tA,x图 1-2rrsr10一、相对位矢设有参照系 E、M，其上固连的坐标系，如图 1-13，二坐标系相应坐标轴平行，M相对于 E运动。质点 P相对 E、
15、M 的位矢分别为 、 ，相对位矢为：Pr(2-18) Orr结论：P 对 E的位矢等于 P对 M的位矢与 对 E的位矢的矢量和。二、相对位移由（2-18）有（2-19）EOPMErr结论：P 对 E的位移等于 P对 M的位移与 对 E的位移的矢量和。三、相对速度将式（2-18）两边对时间求一阶导数有（2-20）MEPEvv结论：P 对 E的速度等于 P对 M的速度与 M对 E的速度的矢量和。四、相对加速度由式（2-20）对时间求一阶导数有（2-21 ）MEPEa结论：P 对 E的加速度等于 P对 M的加速度与 M对 E的加速度的矢量和。例 1-3：质点做平面曲线运动，其位矢、加速度和法向加速度
16、大小分别为 ， 和 ，ran速度为 ，试说明下式正确的有哪些？v dta 2r dtvan r解：因为标量 矢量，所以不对。又 ，而 ，故不对。2dtra22dtt而 ，因此正tvtn确。xxyOPMrPEEOrp图 1-311由于 中 为曲率半径，而这里 为位矢的大小，不一定是曲率半径，所以不rvar对。例 1-4：在一个转动的齿轮上，一个齿尖 P 沿半径为 的圆周运动，其路程 随时间的RS变化规律为 ，其中， ， 都是正的常数，则 时刻齿尖 P 的速201btvS0vbt度和加速度大小为多少？解： btvdts0 240222 RbtvRvdtant 例 1-5：一质点运动方程为 （SI）
17、 ，求：jtitr5sn1co0（1） ?t（2） na解： jtitdtrv5css50m/s50o22ttat m/s2502tn(注意此方法，给定运动方程，先求出 、 ，之后求 ，这样比用 求 简单)atnarvan2n例 1-6：抛射体运动，抛射角为 ，初速度为 ，不计空气阻力，0v问运动中 变化否？ 、 变否？atna任意位置 、 为多少？tn抛出点、最高点、落地点 、 各为多少？曲率半径为多少？tn解：如图所取坐标，x 轴水平，y 轴竖直，为抛射点。O质点受重力恒力作用，有 ，故 不变.ga ，而 改变， 变。dtvatt 而 不变， 变，2tnt 变。任意位置 P 处，质点的 、
18、 为tancosgaint tanaOy xgvpov （ 与 x轴 平 行 ）图 1-412抛射点处， ， ，有0vcossin20garnt最高点： ， ，00vgvrant20cos落地点：与出射点对称 cossin20gvrat例 1-7：一质点从静止（ ）出发，沿半径为 m的圆周运动，切向加速度大小t 3R不变，为 m/s2,在 时刻，其总加速度 恰与半径成 45角，求3tata?t解：依题意知， 与 夹角为 45，有ntn Ravt22由有 tt2得： s13at例 1-8：某人骑自行车以速率 向西行使，北风以速率 吹来（对地面） ，问骑车者遇到vv风速及风向如何？解：地为静系 E
19、，人为动系 M。风为运动物体 P绝对速度： ，方向向南；vP牵连速度： ，方向向西；E求相对速度 方向如何？M 有图 1-15。PEvv 45 MvPE22方向：来自西北。或东偏南 45。Pv PMvMEv 北 东PEv图 1-513第二章 牛顿运动定律2-1牛顿运动定律 力一、牛顿运动定律1、第一定律时， （2-1）0F恒 量V说明：反映物体的惯性，故叫做惯性定律。给出了力的概念，指出了力是改变物体运动状态的原因。2、第二定律 （2-2）amF说明： 为合力 为瞬时关系 矢量关系 只适应于质点 解题时常写成（直角坐标系） （2-3）zzyyxxmaFa（自然坐标系） （2-4）（ 切 向 ）
20、（ 法 向 ）dtvrttn23、第三定律（2-5） 1F说明： 、 在同一直线上，但作用在不同物体上。1F2 、 同有同无互不抵消。二、几种常见的力1、力力是指物体间的相互作用。2、力学中常见的力（1）万有引力14（2-6）210rmGF即任何二质点都要相互吸引，引力的大小和两个质点的质量 、 的乘积成正比，和1m2它们距离 的平方成反比；引力的方向在它们连线方向上。r说明：通常所说的重力就是地面附近物体受地球的引力。（2）弹性力弹簧被拉伸或压缩时，其内部就产生反抗力，并企图恢复原来的形状，这种力称为弹簧的恢复力。（3）摩擦力当一物体在另一物体表面上滑动或有滑动的趋势时，在接触面上有一种阻碍
21、它们相对滑动的力，这种力称为摩擦力。3、两种质量由 惯 引称 为 惯 性 质 量 ，确 定 的 质 量 称 为 引 力 质 量 ，确 定 的 质 量 mmafrGM2/可证明： ，const惯引适选单位可有 。惯引以后不区别二者，统称为质量。2-2力学单位制和量纲（自学）2-3惯性系 力学相对性原理一、惯性参照系在运动学中，参照系可任选，在应用牛顿定律时，参照系不能任选，因为牛顿运动定律不是对所有的参照系都适用。如图 2-1，假设火车车厢的桌面是水平光滑的，在桌面上放一小球，显然小球受合外力=0，当火车以加速度 a向前开时，车上人看见小球以加速度 a向后运动。而对地面上人来说，小球的加速度为零
22、。如果取地参系，小球的合外力等于零，故此时牛顿运动定律（第一、二定律）成立。如果取车厢为参照系，小球的加速度 ，而作用小球的合外力 ，故此时牛顿运动定律（第一、第二00定律）不成立。凡是牛顿运动定律成立的参照系，称为惯性系。牛顿定律不成立的参照系称为非惯性系。说明：（1）一个参照系是否为惯性系，要由观察和实验来判断。天文学方面的观察证明，以太阳中心为原点，坐标轴的方向指向恒星的坐标轴是惯性系。理论证明，凡是对惯性系做匀速直线运动的参照系都是惯性系。am图 2-115（2）地球是否为惯性系？因为它有自转和公转，所以地球对太阳这个惯性系不是作匀速直线运动的，严格讲地球不是惯性系。但是，地球自转和公
23、转的角速度都很小，故可以近似看成是惯性系。二、力学相对性原理在 1-3中已讲过，参照系 E与 M，设 E是一惯性系，M 相对 E以 做匀速直线运Mv动，即 OM也是一惯性系，二参照系相应坐标轴平行，在 E、M 上牛顿第二定律均成立，设一质点 P1质量为 m，相对 E、M 有（2-7）相 对 ）相 对aFmPE(设 P相对 E、M 的速度分别为 、 ，有vM（2-8）EE上式两边对 求一阶导数有t（2-Pa9）可见，P 对 E和 M的加速度相同。综上可知，对于不同的惯性系，牛顿第二定律有相同的形式（见（2-7） ） ，在一惯性系内部所做的任何力学实验，都不能确定该惯性系相对其它惯性系是否在运动（
24、见（2-9） ） ，这个原理称为力学相对性原理或伽利略相对性原理。2-4 牛顿定律应用举例例 2-1: 如图 2-2，水平地面上有一质量为 M的物体，静止于地面上。物体与地面间的静摩擦系数为 ，s若要拉动物体，问最小的拉力是多少？沿何方向？解：研究对象：M受力分析：M 受四个力，重力 ，拉力 ，PT地面的正压力 ，地面对它的摩擦力 ，见图 2-3。Nf牛顿第二定律：合力： aMfNfTPF分量式：取直角坐标系x分量： fFcosy分量： 0inP物体启动时，有0cosfF物体刚启动时，摩擦力为最大静摩擦力，即 ，由解出 N，求得 为：fsfFM图 2-FM图 2-3NPf xyo16)sin(
25、FPfs代中：有i/cossMg可见： 。 时，要求分母 最大。)(FminT)(设 cosiA0sisdtg cosin2s 时，tmaxA。 代入中，inFsrtg得： 2222 11/ sssss MgMg方向与水平方向夹角为 时，即为所求结果。Farctg强调：注意受力分析，力学方程的矢量式、标量式（取坐标） 。例 2-2：质量为 的物体被竖直上抛，初速度为 ，物体受到的空气阻力数值为m0v， 为常数。求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度。KVf解：研究对象：m受力分析：m 受两个力，重力 及空P气阻力 ，如图 2-4。f牛顿第二定律：合力： fPFay 分量： dtVmKg即
26、 tVg1tvdmKd00 tg1ln10)(0VeVmtmgKKt1)(10xyofp抛 出 点 y=0图 2-417时，物体达到了最高点，可有 为0V0t)1ln(ln0mgKVgmKt dtyV dtgKeVgKtdyt tm 000 1)(1tmt)(2gtKeVgKtm11)(02时， ，0tmaxy )1ln()( 0)1ln(02 0 mgVemgVK )l(1)( 02002 KgVgK )1ln()( 02002 mgKm)1ln(0gKV例 2-3：如图 2-5，长为 的轻绳，一端系质量为 的小球，另一端系于原点 o，开始l时小球处于最低位置，若小球获得如图所示的初速度 ，
27、小球将在竖直面内0v作圆周运动，求:小球在任意位置的速率及绳的张力。解：研究对象：m受力分析：小球受两个力，即重力 ，拉力 ，如图 2-6。gnF牛顿定律： amg应用自然坐标系，运动到处时，分量方程有，方向： ne lvnn 2cos方向： i dtagti由有： dvlvts即 sinl teneonFgmovvA图 2-518作如下积分： 00 dsinlgvd有 )(co)(1212得： lsv0代中，得：v )2co3(2glmFn例 2-4：如图 2-6，一根轻绳穿过定滑轮，轻绳两端各系一质量为 和 的物体，且 ，1221m设滑轮的质量不计，滑轮与绳及轴间摩擦不计，定滑轮以加速度
28、相对地面向上运动，0a试求两物体相对定滑轮的加速度大小及绳中张力。解：研究对象： 、1m2受力分析： 、 各受两个力，即重力及绳拉力，如图 2-7。牛顿定律设 对定滑轮及地加速度为 、 ，1 1a对定滑轮及地加速度为 、 ，2m2： )(01mTg：2 222如图所选坐标，并注意 ， ，有a1 T1)(022Tg解得： 1ma)(02a例 2-5：如图 2-8，质量为 的三角形劈置于水平光滑M桌面上，另一质量为 的木块放在 的斜面上， 与m间无摩擦。试求 对地的加速度和 对 的加速M度。解：研究对象： 、m受力分析： 受三个力，重力 ，正压力 ，gN地面支持力 。 受两个力，重力 ， 的支持力
29、N， 如图 2-9所。取坐标系，设 对地加速度为 ， 对 的加速度为 ， 对地的加速度为MammMama有 mMa由牛顿得二定律有： )(mNg1a 2a1m2m0a图 2-6gm1图 2-7gm21T 2TxyMm图 2-819x分量： )cos(sinMmaNy分量： ing： MN由、有： 2sin)(coimgMam强调：相对运动公式的应用。第三章 动量守恒和能量守恒定律3-1质点和质点系的动量定理一、质点的动量定理1、动量质点的质量 与其速度 的乘积称为质点的动量，记为 。mv P（3-1）vmP说明： 是矢量，方向与 相同P 是瞬时量 是相对量坐标和动量是描述物体状态的参量2、冲量
30、牛顿第二定律原始形式 )(vmdtF由此有 )(vmdtF积分： （3-2）122121 pPtpt定义： 称为在 时间内力 对质点的冲量。21t 2记为 （3-3）1tdFI说明： 是矢量 是过程量 是力对时间的积累效应INgMNMa y xmMagmN图 2-920 的分量式I2121tzztyytxxdFI （3-4）2121)()(22tzztyytxxdtFt分量式（34）可写成 （3-5）)(12tFItzyx、 、 是在 时间内 、 、 平均值。xFyz21txyz3、质点的动量定理由上知 （3-6）12pI结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。说明：
31、与 同方向I12p分量式 （3-7）z12zyyxxpI过程量可用状态量表示，使问题得到简化成立条件：惯性系动量原理对碰撞问题很有用二、质点系的动量定理概念：系统：指一组质点内力：系统内质点间作用力外力：系统外物体对系统内质点作用力设系统含 个质点，第 个质点的质量和速度分别为 、 ，对于第 个质点受合ni imivi内力为 ，受合外力为 ，由牛顿第二定律有内iF外iFdtviii )(内外对上式求和，有 n1iin1iin1in1i )(tt)(F内外因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故 ， 0合 内 力F21有 （3-8）PdtF合 外 力结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这
32、就是质点系的动量定理。式（3-8）可表示如下（3-9）122121 pdtFpt 合 外 力即 （3-10）I合 外 力 冲 量结论：系统受合外力冲量等于系统动量的增量，这也是质点系动量定理的又一表述。例 3-1：质量为 的铁锤竖直落下，打在木桩上并停下。设打击时间 ，打击前铁锤m t速率为 ，则在打击木桩的时间内，铁锤受平均和外力的大小为？v解：设竖直向下为正，由动量定理知： mvtF0强调：动量定理中说的是合外力冲量=动量增量例 3-2：一物体受合力为 （SI） ，做直线运动，试问在第二个 5秒内和第一个 5tF2秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？解：设物体沿+x 方向运动，NS（
33、 沿 方向）550501tdI 1IiNS（ 沿 方向）721552F23/I 1122)(pI 例 3-3：如图 3-1，一弹性球，质量为kg，速率 m/s，与墙壁碰撞后跳02.m5v回。设跳回时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为 。60求碰撞过程中小球受到的冲量 ?I设碰撞时间为 s，求碰撞过程中小球 5.t受到的平均冲力 ?F解： I如图 3-1所取坐标，动量定理为 12vmI1oAB2212（ 平 移 ） xy图 3-122方法一用分量方程解 0sinsicos2)c(co12 mvvmIvyyyxxxNSiiiIx 1.650.s方法二用矢量图解 )(1212vvI如上图
34、 3-1所示。)(12v ,60OBA60A故 为等边三角形。m/s, 沿 方向512v)(12vi NS，沿 方向。mI i tFNii0././注意：此题按 求 困难（或求不出来）时，用公式 求方便。21tdII pI3-2动量守恒定律由式（3-8）知，当系统受合外力为零时(3-11)0dtp即系统动量不随时间变化,称此为动量守恒定律。说明：动量守恒条件： ，惯性系。0合 外 力F动量守恒是指系统的总动量守恒，而不是指个别物体的动量守恒。内力能改变系统动能而不能改变系统动量。 时，若 在某一方向上的分量为零，则在该方向上系统的0合 外 力F合 外 力动量分量守恒。动量守恒是指 （不随时间变
35、化） ，此时要求 。常 矢 量p 0合 外 力F动量守恒是自然界的普遍规律之一。例 3-4：如图 3-2，质量为 的水银球，竖直地落到m光滑的水平桌面上，分成质量相等的三等份，沿桌面运动。其中两等份的速度分别为 、 ，大小都1v2为 0.30m/s。相互垂直地分开，试求第三等份的速度。解：方法一用分量式法解研究对象：小球受力情况： 只受向下的重力和向上的桌面施加的正压力，即在水平方向不受力，故m xy1vm2vm3vmo图 3-23水平方向动量守恒。在水平面上如图 3-2取坐标，有 0)90cos(cs321 vmvmvx分 量 ： iniy分 量 ：s/3.021 ）成即 与 135(154
36、/42.0.3vsv方法二用矢量法解 321mv及 0321即 )(21v即有图 3-3。可得m/s42.021213 vv得 354强调：要理解动量守恒条件例 3-5：如图 3-4，在光滑的水平面上，有一质量为 长为 的小车，车上一端有一质Ml量为 的人，起初 、 均静止，若人从车一端走到另一端时，则人和车m相对地面走过的距离为多少？解：研究对象： 、 为系统M此系统在水平方向受合外力为零，在此方向动量守恒。方法一 （对地）0mv)(M即 (m如图所取坐标，标量式为 0)MMvv即 (积分（ ， 在 A处， ， 在 B处）0t 0tmdtvdvtMtMm00 )(即 Sl得 l由图 3-4知
37、： lSlMm1v2v)(213vvo图 3-)(21vlMmSMSABx图 3-4mv24方法二 0Mmv标量式： 即 Mmv积分： dtttt00S可知： lSMm由、得： lSM例 3-6：质量为 的人手里拿着一个质量为 的物体，此人用以与水平方向成 角的mm速率 向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为 的水平速率向后抛出，v u问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）解：如图 3-5，设 P为抛出物体后人达到的最高点， 、 分别为抛球1x2前后跳跃的距离。研究对象：人、物体组成的系统， 该系统在水平方向上合外力=0， 在水平方向上系统的动量分量守恒。设
38、在 P点，人抛球前、后相对地的速度分别为 、 ，v1在 P点抛球后球相对地速度为 ，有2v)u(mm)( 11标量式： )u(即 v10cos得： 1 gmuvgvumtvx )(sinsin)cs( 00012 强调： ， 。因为 是与 同时产生的，而人速度为 时， 还没产uv121u生3-3碰撞一、碰撞碰撞 非 直 接 碰 撞直 接 碰 撞y xv1x2Po图 3-525特点：碰撞时物体间相互作用内力很大，其它力相对比较可忽略。即碰撞系统合外力=0。故动量守恒。机械能 E不 守 恒：非 完 全 弹 性 碰 撞完 全 非 弹 性 碰 撞 守 恒完 全 弹 性 碰 撞 ： E二、完全弹性碰撞1
39、、对心情况（一维）如图 3-6，以 与 为系统，碰撞中1m2常 矢p（3-12）212010vmv（3-14）122010 1m2 x碰 前 碰 后碰 时图 3-61m2m 1m2（ ，沿+x 方向；反之，沿-x 方向）0v解得： （211002211)(mvv3-15）讨论： （交换速度）1021vm 10210220 ,vv2、非对心情况设 ，且 ，可知， 、 系统动量及动能均守恒，即21m0v1m2（3-16）22110v（3-17）2120v可知， 、 、 是以 为斜边的1v10 1m 2m10v02v图 3-721m1v2v26直角三角形，如图 3-7。3-4动能定理一、功定义：力对
40、质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。1、恒力的功恒力：力的大小和方向均不变。如图 3-8，功为 (3-18)SFWcos即(3-19)说明： 为标量力 对 物 体 不 做 功力 对 物 体 做 负 功力 对 物 体 做 正 功,0,2,0W功是过程量功是相对量功是力对空间的积累效应 作用力与反作用力的功其代数和不一定为零。2、变力的功设质点做曲线运动，如图 3-9。 为变力，在F第 i个位移元 中， 看作恒力， 对物体做功iSi i为 ii SFWcos质点从 过程中， 对质点做的功为baiiii功的精确数值为 babaiiS rdFSF0lmaxi即： （3-20）baSd
41、W讨论：恒力功mFS图 3-8（ 恒 力 ）（ 位 移 ）ba iF2F1iS1S2Si图 3-9)(xFabcxo图 3-1027SFdSFWbaba 直线运动设 ，如图 3-10，ix)(质点在 中，功为b曲 线 下 面 积 代 数 和babaFdxidx合力功设质点受 个力， ， ， ，合力功为n12nFbaba rdrW)( nbanWdF 2121各 分 力 功 代 数 和二、功率定义：力在 内对物体做功为 ，下式ttWP称为在 时间间隔内的平均功率。下式tt VFdtrtlimli0tt 称为瞬时功率，即 （3-21）VFP三、质点的动能定理1、动能定义： （3-20）21kEmv
42、式（3-20）中， 、 分别为物体质量和速率。称 为质点的动能。kE说明： 为标量； k 为瞬时量； 为相对量。kE2、质点的动能定理设 做曲线运动，如图 3-11，合力为 ，在 a、b 二mF点速度分别为 、 。在 c点力为 ，位移为 ，由牛1v2 sd顿定律有：（切线上）ttaF即ba1vcsdtFna切 线F图 3-128dtvmFcoss即 vs)(vt做如下积分： 21221 mdFvba 可写成：（3-21）212mvW结论：合力对质点作的功等于质点动能的增量,称此为质点的动能定理。说明： 0Ek 为过程量， 为状态量，W过程量用状态量之差来表示，简化了计算过程。动能定理成立的条件是惯性系。功是能量变化的量度。例 3-7：如图 3-12，篮球的位移为 ， 与水平线成 角，S45，球质量为 ，求重力的功。mS4解：研究对象：球 重力为恒力 ggFSFW2135cos4135cos强调：恒力功公式 的使用.例 3-8：如图 3-13，远离地面高 处的物体质量为 ，由静Hm止开始向地心方向落到地面，试求：地球引力对 做的功。解：c 点： ixGmMF2baba idxGdW)(21RH例 3-9：力 (SI)作用在 的质点上。物体沿 x 轴运
