1、习题 1111-1直角三角形 ABC的 点上，有电荷 C108.91q， B点上有电荷108.492q，试求 点的电场强度( 设 4m， .03A)。解： 1q在 C 点产生的场强：1120CEir，2在 C 点产生的场强：2204Bqj， C点的电场强度： 12.71.8Ei；点的合场强：43Vm，方向如图：.8arctn.。11-2用细的塑料棒弯成半径为 c50的圆环，两端间空隙为 c2，电量为C102.39的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。解：棒长为 23.12lrd，电荷线密度：91qCml可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为 0，有一段空隙，则
2、圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去 d02.长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在 O点产生的场强。解法 1：利用微元积分： 20cos4OxRddE， 2000cosin44dR 1.7Vm；解法 2：直接利用点电荷场强公式：由于 dr，该小段可看成点电荷： 1.qC，则圆心处场强：1922014(05)OqER。方向由圆心指向缝隙处。11-3将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为 ，四分之一圆弧 AB的半径为 R，试求圆心 O点的场强。解：以 O为坐标原点建立 xy坐标，如图所示。对于半无限长导线 在 点的场强：有：0(cos)4
3、2iniAxyER对于半无限长导线 B在 O点的场强：ji2cmORxxyE有：0(sin)42coBxyER对于 A圆弧在 O点的场强：有：20 020 0s(sini)442incosBxAyEdRR总场强： 04Ox， 4OyE，得： 0()4OEijR。或写成场强：202xyR，方向 5。11-4一个半径为 R的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为 ，求环心处 点的场强 E。解：电荷元 dq 产生的场为： 204dqR；根据对称性有： 0yd，则： 20sinsinxE 0，方向沿 轴正向。即：EiR。11-5带电细线弯成半径为 的半圆形，电荷线密度为 0sin，式中 0为
4、一常数， 为半径 与 x轴所成的夹角，如图所示试求环心 O处的电场强度。解：如图， 200sin4ddlER，cosinxyd考虑到对称性，有： xE；200 0sin(1cos2)i48ddEdRR，方向沿 轴负向。11-6一半径为 R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为 ，求球心 O处的电场强度。解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为 dl，所带电荷：2dqrl。oRXYdqE利用例 11-3 结论，有：3322004()4()xdqrxdlEr3220cosin4(i)sRdE，化简计算得： 001i4d， 0Ei。11-7图示一厚度为 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为 。
5、求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标 x变化的图线，即 xE图线( 设原点在带电平板的中央平面上， O轴垂直于平板)。解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面 1S为高斯面，当 2dx时，由 12SEdSA和 2qx，有： 0E；当 2dx时，由 2Sd和 2qdS，有： 0。图像见右。11-8在点电荷 的电场中，取一半径为 R的圆形平面( 如图所示 )，平面到 q的距离为 d，试计算通过该平面的 E的通量.解：通过圆平面的电通量与通过与 A为圆心、 B为半径、圆的平面为周界的球冠面的电通量相同。【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为 r，有 2d，球冠面一条微元同心圆带面积为
6、： 2sindS球冠面的面积：00 cos2sindrSr 2(1)dr】球面面积为：24Sr球 面，通过闭合球面的电通量为： 0q闭 合 球 面，由：球 冠 球 面球 面 球 冠， 201()(1)dqdrR球 冠。11-9在半径为 R 的“无限长 ”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为 ，求圆柱体内、外的场强分布，并作 Er 关系曲线。解：由高斯定律 01iSSdqA内，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为 r，长为 l的高斯面。（1）当 rR时，202rlrl，有 0Er；xOr02dxE02d2OdxOrsinr（2）当 rR时，202RlrlE，则：20RrE；即：02()r；图见右。11-10
7、半径为 1R和 2（ 21）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量 和，试求：（1） r；（2） 21Rr；（3） 2r处各点的场强。解：利用高斯定律： 0iSSEdqA内。（1） 1r时，高斯面内不包括电荷，所以： 10E；（2） 2R时，利用高斯定律及对称性，有：20lrl，则：20Er；（3） r时，利用高斯定律及对称性，有： 3，则： 3；即：1202ErRr。11-11一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为 的一个小球体，球心为 O，两球心间距离dO，如图所示。求：（1）在球形空腔内，球心 O处的电场强度 0E；（2）在球体内 P 点处
8、的电场强度 E，设 、 、 P三点在同一直径上，且 dP。解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为 的大球和带有电荷体密度为 的小球的合成。（1）以 O为圆心，过 点作一个半径为 d的高斯面，根据高斯定理有：1 304SEdA0E，方向从 O指向 ；（2）过 P点以 为圆心，作一个半径为 的高斯面。根据高斯定理有：1 30S10Pd，方向从 指向 P，过 点以 O为圆心，作一个半径为 2的高斯面。根据高斯定理有：2 304SEdrA320PrEd，ErR0o 12320()4PrEd，方向从 O指向 P。11-12设真空中静电场 E的分布为 cxi，式中 为常量，求空间电荷的分布。解：如图
9、，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面，有： 0SdcxSA由高斯定理： 01SSq内，设空间电荷的密度为 ()x，有：0()xSdc00()xd，可见 ()x为常数 0c。11-13如图所示，一锥顶角为 的圆台，上下底面半径分别为 1R和 2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为 ， 求顶点 O的电势(以无穷远处为电势零点)解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为 x轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：tan2r，环面圆宽：cos2dxl2tan2cosdxdSrl，利用带电量为 q的圆环在垂直环轴线上 0x处电势的表达式：20014Urx环，有：20 0tancos1tan42(t)
10、dd dxx，考虑到圆台上底的坐标为： 1cotR， 2cot， U210tanxdx1cto02an2dx210()R。11-14电荷量 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内，试求：离球心 r处（ R）P 点的电势。解：利用高斯定律： 0SSEdqA内可求电场的分布。（1） rR时，3204rrR内；有： 304QrER内；rxcos2dxlyxzSo0PrRo（2） rR时，204QrE外；有： 8；离球心 处（ ）的电势：RrRUEdrr外内，即：320044r RUdr23003Q。11-15图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为 ，球壳内表面半径为 1R，外表面半径为 2R设无穷远处
11、为电势零点，求空腔内任一点的电势。解：当 1r时，因高斯面内不包围电荷，有： 10E，当 12rR时，有： 2032032 )(4)(rrRE，当 2rR时，有： 203120313 )(4)(rrE，以无穷远处为电势零点，有： 2123RRUdr2RdrdrR 20312031)()(21 )(210R。11-16电荷以相同的面密度 分布在半径为 1cm和 2rc的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为 V30U。（1）求电荷面密度 ；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度 为多少？（21210NC85. ） 解：（1）当 r时，因高斯面内不包围电荷，有： 10E，当
12、 2时，利用高斯定理可求得：20r，当 2r时，可求得：2130()rE， 1203rrUd2122100()rrddr)(210r那么：293210 85.85. mC（2）设外球面上放电后电荷密度 ，则有：0120()/Ur，12r则应放掉电荷为：1rO22 234()4qrr 123.148503.96710C。11-17如图所示，半径为 R的均匀带电球面，带有电荷 q，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为 ，长度为 l，细线左端离球心距离为 0r。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零） 。解：（1）以
13、 O点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为 x轴，均匀带电球面在球面外的场强分布为： 204qEr（ R） 。取细线上的微元： dqldr，有： Fd，02044()rlqlrFdrx（ 为 方向上的单位矢量）（2）均匀带电球面在球面外的电势分布为： 04Ur（ R， 为电势零点） 。对细线上的微元 dqr，所具有的电势能为：qdWdr，0 0ln44lr rqW。11-18. 一电偶极子的电矩为 p，放在场强为 E的匀强电场中， p与 E之间夹角为 ，如图所示若将此偶极子绕通过其中心且垂直于 p、 平面的轴转 180，外力需作功多少？解：由功的表示式： dAM考虑到： ，有： sin2cos
14、dp。11-19如图所示，一个半径为 R的均匀带电圆板，其电荷面密度为 (0)今有一质量为m，电荷为 q的粒子( 0)沿圆板轴线( x轴)方向向圆板运动，已知在距圆心 O（也是x轴原点）为 b的位置上时，粒子的速度为 0v，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上 0x处产生的电势为：200()URx，那么， 20()ObbRb，由能量守恒定律，22 2011)()ObqmvqUmvRb，有：(202Rbqv思考题 1111-1两个点电荷分别带电 和 q，相距 l，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零?答：由 22004()qQxlx，解得
15、： (21)xl，即离点电荷 q的距离为 (21)l。11-2下列几个说法中哪一个是正确的？（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；（B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；（C）场强方向可由 q/FE定出，其中 为试验电荷的电量， q可正、可负， F为试验电荷所受的电场力；（D）以上说法都不正确。答：（C）11-3真空中一半径为 R的的均匀带电球面 ,总电量为 q( 0)，今在球面面上挖去非常小的一块面积 S(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去 S后球心处的电场强度大小和方向.答：题意可知： 204q，利用补偿法，将挖去部分看成点电
16、荷，有： 204SER，方向指向小面积元。11-4三个点电荷 1q、 2和 3在一直线上，相距均为 R2，以 1q与 2的中心 O作一半径为 的球面， A为球面与直线的一个交点，如图。求：(1)通过该球面的电通量 SEd；(2) 点的场强 A。解：(1)120SqEd；(2)2032020143(4RqREA。11-5有一边长为 a的正方形平面，在其中垂线上距中心 O点 2/a处，有一电荷为 的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为多少？解：设想一下再加 5 个相同的正方形平面将 q围在正方体的中心，通过此正方体闭合外表面的通量为： 0/闭 合 ，那么，通过该平面的电场强度通量为：
17、06q。11-6对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？(A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷；(B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷；(C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零；(D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。答：(A)11-7由真空中静电场的高斯定理 01SEdqA可知(A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零；(B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零；(C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零；(D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。答
18、：(C)11-8图示为一具有球对称性分布的静电场的 rE关系曲线请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。(A)半径为 R的均匀带电球面；(B)半径为 的均匀带电球体；(C)半径为 、电荷体密度 Ar( 为常数）的非均匀带电球体；(D)半径为 R、电荷体密度 r/( 为常数)的非均匀带电球体。答：(D)11-9如图，在点电荷 q 的电场中，选取以 q 为中心、R 为半径的球面上一点 P 处作电势零点，则与点电荷 q 距离为 r 的 P点的电势为(A) 04 (B)Rrq140(C) Rrq0(D) 0答：(B)11-10密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生实验中，半径为 r、 带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为 12U当电势差增加到 4 12U时，半径为 2r的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少？ 解：grqdU3124，grqd3)(4联立有： e。11-11设无穷远处电势为零，则半径为 R的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的 0和 b皆为常量)：答：(C)11-12无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？ 答：不能。见书中例 11-12。
