1、对流扩散方程有限差分方法求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隐式差分格式。3.1 中心差分格式时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式 6（3） 211112huuvhuau njjnjnjjnjj 若令 ， ，则（3）式可改写为hav（4）)()(211111 njjnjnjjnjj uuu从上式我们看到，在新的时间层 上只包含了一个未知量 ，它可以1nju由时间层 上的值 ， ， 直接计算出来。因此，中心差分格式是求解对nnj1jnj1流扩散方程的
2、显示格式。 假定 是定解问题的充分光滑的解，将 ， ， 分别在),(txu 1njujnju1处进行Taylor展开：),(njtx)(),(),( 211 Ottxutxunjnjnjj )(),(),( 3211 hxuhxtt njnjnjnjnj )(),(),( 3211 Otxutxu njnjnjnjnj 代入(4)式，有211112),( huvhatxT njjnjnjjnjjnj )()()( 22hOvxOaxuOtu njnjnj )()2vat njnjnj )(2hO显然，当 ， 时， ，即中心差分格式与定解问题00),(njtxT是相容的。由以上的讨论也可得知，对
3、流扩散方程的中心差分格式的截断误差为 。)(2h对于我们上面构造的差分格式，是否可以直接用于实际计算呢？也就是说，如果初始值有误差，在计算过程中误差会不会扩大传播呢？这就是接下来我们要讨论的是差分方程的稳定性问题。下面用 Fourier 方法来分析中心差分格式的稳定性。令 ，代入到（ 4）式ikjhnnjevu )2()(21 1()1(1()1(1 hjiknikjhnhjiknhjiknhjiknikjhnikjhn evevevev 整理得 nn iscos1 所以该差分格式的增长因子为：khikkG)1(2),(其模的平方为 22)(sin)cos(1),(h2)(sinco144 k
4、hkhkco1)s()cs( 22由于 ，所以 （即差分格式稳定）的充分条件为0cos1kh,kG0)cos1()cos1(422 khh上式可以改写为4)8( 22注意到 ，所以上面不等式满足的条件为1,0cos12kh， 。02)(202由此得到差分格式（3）的稳定性限制为， 。2av12h故有结论：对流扩散方程的中心差分格式是条件稳定的。根据Lax等价定理，我们可以知道，对流扩散方程的中心差分格式是条件收敛的。3.2 Samarskii格式设 0，先对方程 (1)作扰动，得到另一个对流扩散方程a 7（5）21xuvRxuat其中 ，当 时， （5）式化为（1）式hvR210对于（5）式，
5、构造迎风格式（6）21111 huuvRhuau njjnjnjjnjj 差分格式（6）称为逼近对流扩散方程的 Samarskii 格式。首先推导（6）的截断误差。设 是对流扩散方程（1）式的充分光滑),(tx的解 21111 ),(),(),(),(),(),(),( htxuttxuvRhtutatxutxT njnjnjnjnjnjnjnj 令2111 ),(),(),(),(),( htxttxvtxtx njnjnjnjnjnj 用 Taylor 级数展开有)()()( 22Oxuvtnjnjnj 再令2111 ),(),(),()(),(),( htxuttxuvRhttua nj
6、njnjnjnjnj 用 Taylor 级数展开有)()(1)(2)( 22Oxuvxut njnjnjnj )()()( 222hRvanjnj)()(1)(2Oxuxunjnj 由于 )(24()21(41 2222 hOvahvahR所以 )Oxuanjnj)()()()( 22hxuvatTnjnjnjnjjnj (2h当 ， 时， ，所以 Samarskii 格式与定解问题是相容的，00njT并且其截断误差为 。)(2O现在看看 Samarskii 格式的稳定性。将（6）式两边同时加上，把（6）式化为)2(11njjnjuha2111)(2huaRvhua njjnjnjjjj 令
7、，则上式即为：1Rv21112huvhuau njjnjnjjnjj 根据中心显示格式稳定性的讨论，可以得到（6）式的稳定性条件为，2av即，21)1(hRv2a稳定性的第二个条件等价于1)(2ahRv而 vRahvRahRav 2)1(2)1()1(222 利用不等式vahvah2)1(2)1(2所以222 )1(2)(1)( hvaRvahRah 利用稳定性的第一个条件，有 ，从而可知稳定性条件的2)1(2ahRv第二个条件可由第一个条件推出，因此差分格式的稳定性条件为，2)(hv即 。1/12a由Lax等价定理可知，Samarskii 格式也是条件收敛的。3.3 Crank-Nicols
8、on型隐式差分格式前面讨论了求解对流扩散方程的两种显示格式，它们都是条件稳定的，为了放松稳定性条件，可以采用隐式格式进行求解。现在考虑Crank-Nicolson型隐式差分格式 8)22(1111 huhuaunjjnjjnjj （7）)(2211211v njjnjnjjnj 令 ， ，则（7）式可化为ha111 )()(4)( njnjnj uuu（8）jjj 11 22 把（8）式用矩阵的形式 )1(4)2()(2)1(4)2( 12132nJnuu= )1(42)()1(42)( nJnu1232+ （9）)(2(0)(211nJnuu设 ，A )1(4)2()(2)(4)( ，B )
9、1(42)()1(42)( ， 则有nUJuu1232F)(2(01nJnuuBUAnn1下面讨论Crank-Nicolson型格式的截断误差和精度。该格式涉及到时间层和时间层 上的 ， ， 处六个点。设 是定解问题的充分光滑n11jxj1jx),(txu的解，把(7)式中各 的值用 代替，然后将 ， ， ， ，nju),(njt1njj1njunj1， 分别在点 处进行Taylor展开 ：njuj1),(2/1njtx9134)njjnjj tutu13211)(6)(2njnjnjj xhxhu 21321232121 )(6)(8)()( njnjnjnj xuhtxutuuhunjj2
10、1 21321321221 )()()()( njnjnjnj ttxx 2142124212321211 )()(8)()( njnjnjnjnjjnj xuhtxutuu 214214212321211 )()()()( njnjnjnjnjjnj ttxxhu这里出现的 的各阶偏导数假设都是存在而且连续的。于是（7）式的截断误差 214212421321232132 )()(8)(6)(8)(4 njnjnjnjnjnj xuvhtxuvxuahtxuatT 2hO显然，Crank-Nicolson型格式的精度是二阶的。再来看看该格式的稳定性情况，我们还是用Fourier 方法来分析。令
11、 ，代入到（ 8）式ikjhnjevu hjiknikjhnhjikn evev)1(1)1( )2()(4)2( jiijjiev )()(整理得 nn vkhikhvkhikh s2cos4)1(s2cos4)1( 所以Crank-Nicolson型格式的增长因子是khikhkGsn2)cos1(), 其模的平方222 )sin()cos1(),( khkhkG改写上式222 )si()cs(14),( kkk由于 及上式的分母为正，故0cos1kh01),(2G即 ，从而得出 Crank-Nicolson型格式是无条件稳定的。根据 Lax 等),(2G价定理，Crank-Nicolson
12、型格式也是无条件收敛的。4、数值例子给出如下对流扩散方程的初边值问题 ：102xuvatu1,tvatee)()(),1),0( 0xxu1,0x所讨论的对流扩散方程的精确解为tvaxet)(),(,4.1 三种差分格式的比较在各种对流扩散问题中，有许多对流相对于扩散来说在问题中起主导作用。对流占有扩散问题的数值求解面临很多困难。因此，对流占有扩散问题的有效数值解法一直是计算数学中重要的研究内容 。1取 ， ， ， ，此时上面给出的就是一个对流1a0.v.hmaxT占优扩散问题。那么，本文讨论的三种差分格式对对流占有扩散问题的求解效果是怎样的呢？现在我们就来看看这个问题。首先，根据差分格式的稳
13、定性条件，确定 的取值范围。（1）中心差分格式：根据稳定性条件 ， 可知，要使中心差2av12h分格式稳定， 的取值必须满足：0.（2）Samarskii格式：根据稳定性条件 可知， 的/12v取值必须满足： 09.（3）Crank-Nicolson格式：该差分格式是无条件稳定的，所以 可以取任意值。要使三种差分格式都是稳定的，不妨取 。02.首先，我们通过表格看看三种差分格式的数值解与准确解之间的相对误差。表4.1 时三种差分格式结果的比较2.0t中心差分格式 Samarskii格式 Crank-Nicolson格式x数值解 误差 数值解 误差 数值解 误差准确解0 1.2192 0 1.2
14、192 0 1.2192 0 1.21920.1 1.1009 -0.0023 1.1076 0.0044 1.1034 0.0002 1.10320.2 0.9950 -0.0032 1.0051 0.0069 0.9985 0.0003 0.99820.3 0.8999 -0.0033 0.9110 0.0078 0.9035 0.0003 0.90320.4 0.8142 -0.0031 0.8250 0.0077 0.8175 0.0002 0.81730.5 0.7367 -0.0028 0.7467 0.0072 0.7397 0.0002 0.73950.6 0.6666 -0.
15、0025 0.6757 0.0066 0.6693 0.0002 0.66910.7 0.6031 -0.0023 0.6114 0.006 0.6056 0.0002 0.60540.8 0.5459 -0.0019 0.5532 0.0054 0.5480 0.0002 0.54780.9 0.4931 -0.0026 0.5006 0.0049 0.4959 0.0002 0.49571.0 0.4485 0 0.4485 0 0.4485 0 0.4485表4.2 时三种差分格式结果的比较4.t中心差分格式 Samarskii格式 Crank-Nicolson格式x数值解 误差 数值解
16、 误差 数值解 误差准确解0 1.4894 0 1.4894 0 1.4894 0 1.48940.1 1.3450 -0.0027 1.3537 0.006 1.3479 0.0002 1.34770.2 1.2144 -0.0050 1.2301 0.0107 1.2199 0.0005 1.21940.3 1.0969 -0.0065 1.1171 0.0137 1.1040 0.0006 1.10340.4 0.9915 -0.0069 1.0137 0.0153 0.9990 0.0006 0.99840.5 0.8966 -0.0068 0.9191 0.0157 0.9040 0
17、.0006 0.90340.6 0.8115 -0.0059 0.8327 0.0153 0.8179 0.0005 0.81740.7 0.7333 -0.0063 0.7539 0.0143 0.7402 0.0006 0.73960.8 0.6656 -0.0036 0.6824 0.0132 0.6696 0.0004 0.66920.9 0.5982 -0.0074 0.6176 0.012 0.6062 0.0006 0.60561.0 0.5479 0 0.5479 0 0.5479 0 0.5479表4.3 时三种差分格式的结果比较6.0t表4.4 时三种差分格式结果的比较8.
18、0t中心差分格式 Samarskii格式 Crank-Nicolson格式x数值解 误差 数值解 误差 数值解 误差准确解0 1.8196 0 1.8196 0 1.8196 0 1.81960.1 1.6433 -0.0031 1.6538 0.0074 1.6467 0.0003 1.64640.2 1.4839 -0.0058 1.5032 0.0135 1.4902 0.0005 1.48970.3 1.3397 -0.0083 1.3660 0.018 1.3487 0.0007 1.34800.4 1.2100 -0.0097 1.2410 0.0213 1.2205 0.0008
19、 1.21970.5 1.0923 -0.0113 1.1269 0.0233 1.1046 0.001 1.10360.6 0.9892 -0.0094 1.0226 0.0240 0.9994 0.0008 0.99860.7 0.8911 -0.0125 0.9274 0.0238 0.9047 0.0011 0.90360.8 0.8121 -0.0055 0.8404 0.0228 0.8181 0.0005 0.81760.9 0.7257 -0.0141 0.7612 0.0214 0.7410 0.0012 0.73981.0 0.6694 0 0.6694 0 0.6694
20、0 0.6694中心差分格式 Samarskii格式 Crank-Nicolson格式x数值解 误差 数值解 误差 数值解 误差准确解0 2.2229 0 2.2229 0 2.2229 0 2.22290.1 2.0073 -0.004 2.0204 0.0091 2.0117 0.0004 2.01130.2 1.8132 -0.0067 1.8364 0.0165 1.8205 0.0006 1.81990.3 1.6366 -0.0101 1.6691 0.0224 1.6476 0.0009 1.64670.4 1.4794 -0.0106 1.5169 0.0269 1.4909
21、0.0009 1.49000.5 1.3325 -0.0157 1.3784 0.0302 1.3496 0.0014 1.34820.6 1.2087 -0.0112 1.2521 0.0322 1.2209 0.001 1.21990.7 1.0839 -0.0199 1.1370 0.0332 1.1056 0.0018 1.10380.8 0.9915 -0.0073 1.0318 0.033 0.9994 0.0006 0.99880.9 0.8809 -0.0229 0.9358 0.032 0.9057 0.0019 0.90381.0 0.8177 0 0.8177 0 0.8
22、177 0 0.8177接下来，我们看看这三种差分格式在不同时间 的图形。t0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.40.50.60.70.80.911.11.21.3 t=0.2中中中中Samarskii中中Crank-Nicolson中中中中中0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.50.60.70.80.911.11.21.31.41.5 t=0.4中中中中Samarskii中中Crank-Nicolson中中中中中图4.1 时三种差分格式结果的比较 图4.2 时三种差分格式结果的比较t t0 0.1 0
23、.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.811.21.41.61.82 t=0.6中中中中Samarskii中中Crank-Nicolson中中中中中0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.811.21.41.61.822.22.42.6 t=0.8中中中中Samarskii中中Crank-Nicolson中中中中中图4.3 时三种差分格式结果的比较 图4.4 时三种差分格式结果的比较t t4.2 结果分析由表格中的数据以及图示可以看出，对于对流扩散方程的数值求解，三种差分格式的稳定性都比较好，其中以Crank-Nicols
24、on格式的效果最好。5.小结对流扩散问题的数值求解一直是许多计算工作者比较重视的一类问题。本文分析了对流扩散方程的中心差分格式、Samarskii 格式以及Crank-Nicolson格式。中心差分格式和Samarskii格式是显式格式，所以很适合于并行计算，但由于稳定性条件的限制，必须采用非常小的时间步长来计算。Crank-Nicolson格式是隐式格式，它是无条件稳定的，但在每一时间层上要求解线性方程组，实现并行计算有一定困难。中心差分格式的优点是简单易算，但由于截断误差为 ，又仅当)(2hO， 时才稳定和收敛，所以想要算得略为精确一点，就要缩小 。2av12h 并且注意到 最大为 ，若 缩小一半， 就要缩小为四分之一，这将大大增2vh加工作量。Samarskii格式的截断误差也为 ，稳定性条件相对于中心差分格式)(2O有所放松，为 ，但计算量稍多于中心差分格式。12/1hvahCrank-Nicolson格式的截断误差为 ，它关于时间以及空间均为二)(2h阶精度，但该格式形成的系数矩阵不一定满足对角占优条件，且计算量大。鉴于本人的理论水平有限，论文中有些地方还需要加以完善。对于对流扩散方程的差分格式，在以后的理论发展中，还会提出一些具有更好性质的差分方法，使对流扩散方程的差分方法得到更加完善的补充。
