1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第卷(选择题 )和第卷(非选择题) 两部分,共 24 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用墨色笔迹的签字笔描黑。5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准
2、使用涂改液、修正带、刮纸刀。第卷一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（A） （ B） （C） （D）),3()3,1(),(（2）已知集合 ， ，则（A） （B） （C） （D）（3）已知向量 ，且 ，则 m=（A）8 （B）6 （C）6 （D）8（4）圆 的圆心到直线 的距离为 1，则 a=（A） （B ） （C ） （D）2343（5 ）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以
3、选择的最短路径条数为（A）24 （B）18 （C）12 （D ）9（6 ）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20 （B）24 （C）28 （D ）32 （7 ）若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴为12（A）x = (k Z) （B）x= (k Z) 66（C ）x= (k Z) （ D）x= (k Z)12（8 ）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的 a 为 2，2，5 ，则输出的 s=（A）7 （B ）12 （C）17 （D）34（9
4、 ）若 cos(Error!)= Error!，则 sin 2=（A） （B ） （C） （D ）251557（10 ）从区间 随机抽取 2n 个数 , ， ， ， ， ，构成 n 个数对， ， ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为（A） （B） （C） （D）（11）已知 F1， F2 是双曲线 E 的左，右焦点，点 M 在 E 上，M F1 与 轴垂直，sin ,则 E 的离心率为（A） （B ） （C） （D）2（12）已知函数 满足 ,若函数 与 图像的)(Rxf)(2)(xffxy1)(xfy交点为 , ， （ ） ，则)(1,y
5、x2my,iii1（A）0 （B）m （C ）2m （D ）4m第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分。（13 ） ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，若 cos A= ，cos C= ，a=1 ，则b= .（14 ） 、 是两个平面，m 、 n 是两条直线，有下列四个命题：（1 ）如果 mn，m，n，那么 .（2 ）如果 m，n，那么 mn .（3 ）如果 ，m ，那么 m. （4 ）如果 mn，那么 m 与 所成
6、的角和 n 与 所成的角相等.其中正确的命题有 。(填写所有正确命题的编号）（15 ）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 。（16 ）若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln（x+1）的切线，则 b= 。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17 ） （本题满分 12 分）Sn 为等差数列 的前 n 项和，且 =1 ，
7、=28 记 ，其中 表示不1a7S超过 x 的最大整数，如 0.9 = 0，lg99=1 。（I）求 ， ， ；1b10（II）求数列 的前 1 000 项和.（18 ） （本题满分 12 分）某险种的基本保费为 a（单位：元） ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 5保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 5概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05（I）求一续保人本年度的保费高于基本保
8、费的概率；（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.（19 ） （本小题满分 12 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB =5，AC=6，点 E,F 分别在 AD,CD 上，AE=CF= ，EF 交 BD 于点 H.将 DEF 沿 EF 折到 的位置， .（I）证明： 平面 ABCD；（II）求二面角 的正弦值.（20 ） （本小题满分 12 分）已知椭圆 E: 的焦点在 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E于 A,M 两点，点 N 在 E 上，MA
9、 NA.（I）当 t=4， 时，求 AMN 的面积；（II）当 时，求 k 的取值范围.（21 ） （本小题满分 12 分）(I)讨论函数 的单调性，并证明当 0 时， (II)证明：当 时，函数 有最小值.设 g（x ）的最小值为 ，求函数 的值域.请考生在 22、23 、24 题中任选一题作答,如果多做, 则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22 ） （本小题满分 10 分）选修 4-1：集合证明选讲如图，在正方形 ABCD，E,G 分别在边 DA,DC 上（不与端点重合） ，且 DE=DG，过 D点作 DFCE，垂足为 F.(I) 证明：B,C,G,F 四点共圆；(II)若 AB=
10、1，E 为 DA 的中点，求四边形 BCGF 的面积. （23 ） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直线坐标系 xoy 中，圆 C 的方程为（x+6） 2+y2=25. （I）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；costx（II）直线 l 的参数方程是 （t 为参数）,l 与 C 交于 A、B 两点，sintyAB = ，求 l 的斜率。10（24 ） （本小题满分 10 分） ，选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)= x - +x + ，M 为不等式 f(x) 2 的解集.21（I）求 M；（II）证明：当 a,bM 时，a+
11、b1+ ab。2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案第卷一.选择题：（1） 【答案】A（2） 【答案】C（3） 【答案】D（4） 【答案】A（5 ） 【答案】B（6 ） 【答案】C（7 ） 【答案】B（8 ） 【答案】C（9 ） 【答案】D（10 ） 【 答案】C（11） 【答案】A（12） 【答案】C第卷二、填空题(13)【答案】(14) 【答案 】（15 ） 【 答案】1 和 3（16 ） 【 答案】三.解答题17.（本题满分 12 分）【答案】 （） ， ， ；（）1893.【解析】试题分析：（）先求公差、通项 ，再根据已知条件求 ；（）用分段函数表示 ，再由等差数列的前
12、项和公式求数列 的前 1 000 项和试题解析：（）设 的公差为 ，据已知有 ，解得所以 的通项公式为（）因为所以数列 的前 项和为考点：等差数列的的性质，前 项和公式，对数的运算.【结束】18.（本题满分 12 分）【答案】 （）根据互斥事件的概率公式求解；（）由条件概率公式求解；（）记续保人本年度的保费为 ，求 的分布列为，在根据期望公式求解【解析】试题分析：试题解析：（）设 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费” ，则事件 发生当且仅当一年内出险次数大于 1，故（）设 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 ”，则事件 发生当且仅当一年内出险次数大于 3，故又 ，故因此所
13、求概率为（）记续保人本年度的保费为 ，则 的分布列为因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望.【结束】19.（本小题满分 12 分）【答案】 （）详见解析；（） .【解析】试题分析：（）证 ，再证 ，最后证 ；（）用向量法求解.试题解析：（I）由已知得 ， ，又由 得 ，故.因此 ，从而 .由 , 得 .由 得 .所以 ， .于是 ， ，故 .又 ，而 ，所以 .（II）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ， .设 是平面 的法向量，则 ，即 ，所以可以取 .设是平面 的法向量，则 ，即 ，所以可
14、以取 .于是 ， .因此二面角 的正弦值是 .考点：线面垂直的判定、二面角. 【结束】20.（本小题满分 12 分）【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：（）先求直线 的方程，再求点 的纵坐标，最后求 的面积；（）设 ， ，将直线 的方程与椭圆方程组成方程组，消去 ，用 表示 ，从而表示 ，同理用 表示 ，再由 求 .试题解析：（I）设 ，则由题意知 ，当 时， 的方程为 ，.由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 .因此直线 的方程为 .将 代入 得 .解得 或 ，所以 .因此 的面积 .（II）由题意 ， ， .将直线 的方程 代入 得.由 得 ，故 .由题设，直线 的方程为 ，故
15、同理可得 ，由 得 ，即 .当 时上式不成立，因此 . 等价于 ，即 .由此得 ，或 ，解得 .因此 的取值范围是 .考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【结束】（21 ） （本小题满分 12 分）【答案】 （）详见解析；（） .【解析】试题分析：（）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当 时，证明结论；（）用导数法求函数 的最值，在构造新函数，又用导数法求解.试题解析：（） 的定义域为 .且仅当 时， ，所以 在 单调递增，因此当 时，所以（II）由（I）知， 单调递增，对任意因此，存在唯一 使得 即 ，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.因此 在 处取得最小值，最小值为于是 ，由
16、 单调递增所以，由 得因为 单调递增，对任意 存在唯一的使得 所以 的值域是综上，当 时， 有 ， 的值域是考点： 函数的单调性、极值与最值.【结束】请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22 ） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲【答案】 （）详见解析；（） .【解析】试题分析：（）证 再证 四点共圆；（）证明四边形 的面积 是 面积 的 2 倍.试题解析：（I ）因为 ,所以则有所以 由此可得由此 所以 四点共圆.（II）由 四点共圆， 知 ，连结 ，由 为 斜边 的中点，知 ,故因此四边形 的面积 是 面积 的 2
17、 倍，即考点： 三角形相似、全等，四点共圆【结束】（23 ） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：（I ）利用 ， 可得 C 的极坐标方程；（II ）先将直线的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得 的斜率试题解析：（I ）由 可得 的极坐标方程（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为由 所对应的极径分别为 将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得于是由 得 ，所以 的斜率为 或 .考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.【结束】（24 ） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲【答案】 （） ；（）详见解析.【解析】试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分 ， 和 三种情况解不等式，即可得 ；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当 ， 时，试题解析：（I ）当 时，由 得 解得 ；当 时， ；当 时，由 得 解得 .所以 的解集 .（II）由（I）知，当 时， ，从而，因此考点：绝对值不等式，不等式的证明. 【结束】
