1、2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合 ， ，则集合 1,A3,01BAB2.已知复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 z4ii z3.双曲线 的渐近线方程为 2143xy4.某中学共有 人，其中高二年级的人数为 .现用分层抽样的方法在全校抽取 人，8060n其中高二年级被抽取的人数为 ，则 2n5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字 ， ， ， ）先后抛掷 次，12342观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于 的概率为 66.如图是一个算
2、法的流程图，则输出 的值是 S7.若正四棱锥的底面边长为 ，侧面积为 ，则它的体积为 2cm28c3cm8.设 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 nSna24a241S0a9.已知 ， ，且 ，则 的最小值是 0b3b10.设三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，则ABCCbctn3aAcbBcos11.已知函数 （ 是自然对数的底）.若函数 的最小值是 ，,1()4xaef ()yfx4则实数 的取值范围为 a12.在 中，点 是边 的中点，已知 ， ， ，则ABCPAB3CP4A23CBP13.已知直线 ： 与 轴交于点 ，点 在直线 上，圆 ：l20xyxl上有且仅
3、有一个点 满足 ，则点 的横坐标的取值集合为 2()xBAP14.若二次函数 在区间 上有两个不同的零点，则 的2()fxabc(0)1,2 (1)fa取值范围为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量 ， .(2sin,1)a(,sin)4b（1）若角 的终边过点 ，求 的值；34a（2）若 ，求锐角 的大小./b16.如图，正三棱柱 的高为 ，其底面边长为 .已知点 ， 分别是棱1ABC62MN， 的中点，点 是棱 上靠近 的三等分点.1ACDC求证：（1） 平面 ；1/BM1AN（2） 平面 .AD
4、17.已知椭圆 ： 经过点 ， ，点 是椭圆的下顶点.C21xyab(0)1(3,)2(,)A（1）求椭圆 的标准方程；（2）过点 且互相垂直的两直线 ， 与直线 分别相交于 ， 两点，已知A1l2yxEF，求直线 的斜率.OEF1l18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径 为 ， 是圆心，且 .在AB6OCAB上有一座观赏亭 ，其中 .计划在 上再建一座观赏亭 ，记CQ23CP.(0)2PB（1）当 时，求 的大小；3OPQ（2）当 越大，游客在观赏亭 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭 处的观赏效P果最佳时，角 的正弦值.19.已知函数 ， .32()fxabxc()lngx（1）若 ，
5、，且 恒成立，求实数 的取值范围；0ab()fc（2）若 ，且函数 在区间 上是单调递减函数.3yx(1,)求实数 的值；当 时，求函数 的值域.c(),()fgxhx20.已知 是数列 的前 项和， ，且 .nSna13a123nSa*()N（1）求数列 的通项公式；（2）对于正整数 ， ， ，已知 ， ， 成等差数列，求正整数 ，ij()kijj6ik的值；（3）设数列 前 项和是 ，且满足：对任意的正整数 ，都有等式nbnTn成立.求满足等式 的所有正整数 .12132nnaa13nb13nTan2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学（附加题）21.【选做题】在
6、 A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修 4-1：几何证明选讲如图， 是圆 的直径， 为圆 上一点，过点 作圆 的切线交 的延长线于点ODOAB，且满足 .CDAC（1）求证： ；2ABC（2）若 ，求线段 的长.DB. 选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵 ， ，列向量 .401A25BaXb（1）求矩阵 ；（2）若 ，求 ， 的值.1XabC. 选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆 经过点 ，圆心为直线 与极轴的交C(2,)4Psin()3点，求圆 的极坐标方程.D. 选
7、修 4-5：不等式选讲已知 ， 都是正数，且 ，求证： .xy1xy22()(1)9xyx【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 垂直于底面 ，PABCDABPDABC，点 为线段 （不含端点）上一点.2PDAQ（1）当 是线段 的中点时，求 与平面 所成角的正弦值；QPACQPBD（2）已知二面角 的正弦值为 ，求 的值.BD23A23.在含有 个元素的集合 中，若这 个元素的一个排列（ ， ，n1,nn1a2）满足 ，则称这个排列为集合 的一个错位排列
8、（例如：对于集合na(,2)i，排列 是 的一个错位排列；排列 不是 的一个错位排列）.记31,A33A(1,32)3A集合 的所有错位排列的个数为 .n nD（1）直接写出 ， ， ， 的值；1234（2）当 时，试用 ， 表示 ，并说明理由；3n1n（3）试用数学归纳法证明： 为奇数.*2()DN2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题参考答案一、填空题1. 2. 3. 4. 5. 1532yx633166. 7. 8. 9. 10. 25438211. 12. 13. 14. ae61,530,1)二、解答题15.解：（1）由题意 ， ，4sin5cos所以
9、2()aba2insco4sin.4535（2）因为 ，所以 ，即/ab2sin()14a2sin，所以 ，(sinco)142siico1则 ，对锐角 有 ，所以 ，2si2cos0ta1所以锐角 .16.证明：（1）连结 ，正三棱柱 中， 且 ，则四MN1ABC1/AC1边形 是平行四边形，因为点 、 分别是棱 ， 的中点，所以ACN且 ，1/N1又正三棱柱 中 且 ，所以 且 ，所B1/AB11/MNB1以四边形 是平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面1M/1A，1AN所以 平面 ；/B1A（2）正三棱柱 中， 平面 ，1ABC1ABC平面 ，所以 ，NN正 中， 是 的中点，所以 ，
10、又 、 平面 ， 1A1AC，1AC所以 平面 ，又 平面 ，BN1AD1C所以 ，D由题意， ， ， ， ，所以 ，162CN63132ANCD又 ，所以 与 相似，则 ，1AN1ACD1所以 ，D2则 ，又 ， ， 平面 ，11BNB1N1AB所以 平面 .A17.解：（1）由题意得 ，解得 ，2314ab241ab所以椭圆 的标准方程为 ；C214xy（2）由题意知 ，直线 ， 的斜率存在且不为零，(0,1)A1l2设直线 ： ，与直线 联立方程有 ，得 ，1l1ykxyx1ykx1(,)Ek设直线 ： ，同理 ，2l111(,)Fk因为 ，所以 ，OEF11|k ， 无实数解；11k1
11、0k ， ， ，解得 ，11k12k10k12k综上可得，直线 的斜率为 .l18.解：（1）设 ，由题， 中， ，OPQRtOAQ3AQOC，23所以 ，在 中， ， ，32P36由正弦定理得 ，sinsiOQP即 ，所以 ，3sii()63insi()65sin()则 ，所以 ，53sinicos5si13cosi23sico因为 为锐角，所以 ，所以 ，得 ；cos03tan6（2）设 ，在 中， ， ，OPQOP2Q36由正弦定理得 ，即 ，sinsiOQP33sini()2所以 3ii()2i()2cos，cossn从而 ，其中 ， ，(i)cos3sin0s所以 ，tan3i记 ，
12、 ， ；cos()if213sin()f(0,)令 ， ，存在唯一 使得 ，()0fsin30(,03sin当 时 ， 单调增，当 时 ， 单调减，0,()f()f0,)2(f()f所以当 时， 最大，即 最大，tanOPQ又 为锐角，从而 最大，此时 .OPQ3si答：观赏效果达到最佳时， 的正弦值为 .19.解：（1）函数 的定义域为 .当 ，()ygx(0,)0a， ，2b3()2fxc 恒成立， 恒成立，即 .3lnxx3ln2cx令 ，则 ，3()ln2x21()12(1)x令 ，得 ， 在 上单调递增，01x0,令 ，得 ， 在 上单调递减，()x()1)当 时， .max() .
13、1c（2）当 时， ， .3b32()fxaxc2()3fxa由题意， 对 恒成立，2()0fx(1, ， ，即实数 的值为 .1()3afaa0函数 的定义域为 .yhx(0,)当 ， ， 时， .0ab2c32fx，令 ，得 .2()3fx()f 10,1) (1,)()fx- 0+A极小值 A当 时， ，当 时， ，当 时， .(0,1)x()0fx1()fx(1,)()0fx对于 ，当 时， ，当 时， ，当 时，lng,0g0gx1,.()x当 时， ，当 时， ，当 时， .0,1()hxf1x()hx(,)()0hx故函数 的值域为 .y0,)20.解：（1）由 得 ，两式作差得
14、123nSa*(N123nSa，即 .12na21n)， ，所以 ， ，则 ，所132139S13na*(0na13n*()N以数列 是首项为 公比为 的等比数列，na所以 ；3*()N（2）由题意 ，即 ，26jkia3263jki所以 ，其中 ， ，1jii 1ji所以 ， ，3ji39ki，所以 ， ， ；1212jiki1ji2ki1（3）由 得，13nnabab3n，2121n 2()3，112(nn)ab1n，3)ab23(3n所以 ，即 ，21(n1)163n所以 ，n*)N又因为 ，得 ，所以 ，133ab1b2n*()N从而 ， ，5(2)nTn*2*()3nTa当 时 ；当
15、 时 ；当 时 ；13a249Ta3n1下面证明：对任意正整数 都有 ，n1n，1nTa12()3123n 12()3n2(1)当 时， ，即 ，322()n()010nTa所以当 时， 递减，所以对任意正整数 都有 ；nTa33n综上可得，满足等式 的正整数 的值为 和 .13nn12017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修 4-1：几何证明选讲证明：（1）连接 ， .因为 是圆 的直径，所以 ， .ODBAO90ADB2OB因为 是圆 的切线，所以 ，C90C又因为 ，所以 ，A于是 ，得到 ，BAB所以 ，从而 .O2（2
16、）解：由 及 得到 ， .由切割线定理，2ABC1B3A，所以 .13CD3DB. 选修 4-2：矩阵与变换解：（1） ；40248150AB（2）由 ，解得 ，又因为 ，所1X 1AB5281aXb以 ， .8a5bC. 选修 4-4：坐标系与参数方程解：在 中，令 ，得 ，sin()302所以圆 的圆心的极坐标为 .C(2,)因为圆 的半径 ，P2cos24于是圆 过极点，所以圆的极坐标方程为 .D. 选修 4-5：不等式选讲证明：因为 ， 都是正数，xy所以 ， ，2231022310yx，又因为 ，22(1)()9xyxy1xy所以 .1【必做题】22.解：（1）以 为原点， ， ，
17、为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；DACDP设 ，则 ， ， ， ， ， ；ABt(0,)(2,0)t(,0)Bt(,)t(0,2)Pt(,0)Qt所以 ， ， ，,CQt,B,2设平面 的法向量 ，则 ，PD1(,)nxyz10nDP即 ，解得 ，所以平面 的一个法向量 ，20txyz20zB1(,20)n，11cos,nCQ35t1则 与平面 所成角的正弦值为 .PBD（2）由（1）知平面 的一个法向量为 ，设 ，则1(,20)n(01)PQA， ，QAQ(0,),tt(,2t，设平面 的法向量 ，则 ，即(2,0)DBtBD2(,)nxyz20DnB，解得 ，所以平面 的一个法向量1
18、txzy10xQ，2(,2,)n由题意得 ，2121()cos,3n12n2225(1)()所以 ，即 ，25()96105()03因为 ，所以 ，则 .32PQA23. 解：（1） ， ，10D2，32，49（2） ，12()nnD理由如下：对 的元素的一个错位排列（ ， ， ） ，若 ，分以下两类：nA1a2na1()k若 ，这种排列是 个元素的错位排列，共有 个；1kan2nD若 ，这种错位排列就是将 ， ， ， ， 排列到第 到第 个位k2n置上， 不在第 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于 个元素的错k 1位排列，共有 个；1nD根据 的不同的取值，由加法原理得到 ；k 12()nnD（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论， 均为自然数；当 ，且 为奇数时， 为偶数，从而 为偶数，n1n12()nnD又 也是偶数，10D故对任意正奇数 ，有 均为偶数.nD下面用数学归纳法证明 （其中 ）为奇数.2*N当 时， 为奇数；1n2假设当 时，结论成立，即 是奇数，则当 时，k2kD1nk，注意到 为偶数，又 是奇数，所以 为2(1)21)()kkD21k2kD21kkD奇数，又 为奇数，所以 ，即结论对 也成立；2(1)()kk n根据前面所述，对任意 ，都有 为奇数. *nN2n
