1、12012 年普通高等学校招生全国统一考试（2 全国卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1已知集合 A x|x 是平行四边形 ，B x|x 是矩形，C x|x 是正方形 ，Dx| x 是菱形 ，则( )AA B BC B CD C DA D2函数 (x1) 的反函数为( )1yAyx 21(x0) Byx 21( x1)Cyx 21(x0) Dyx 21( x1)3若函数 (0,2)是偶函数，则 ( )()sin3fA B C D2232534已知 为第二象限角， ，则 sin2( )sin5A B C D2512122455椭圆的中心在原点，焦距为 4，
2、一条准线为 x4，则该椭圆的方程为( )A B216xy218yC D28424x6已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，S n2a n1 ，则 Sn( )A2 n1 B C D13()2()317 6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A240 种 B360 种 C480 种 D720 种8已知正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，AB2， ，E 为 CC1 的12中点，则直线 AC1 与平面 BED 的距离为( )2A2 B C D1329ABC 中，AB 边的高为 CD 若a， b，ab0 ，| a|1，| b|2，则 ( )
3、CB AA B1323abC D5ab4510已知 F1，F 2 为双曲线 C：x 2y 22 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|2|PF 2|，则 cosF 1PF2( )A B C D435344511已知 x ln ，ylog 52， ，则( )12=ezAxyz BzxyCzyx Dy z x12正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AEBF .动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，13反弹时反射角等于入射角当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )A8 B6 C4 D3二、填空题：
4、本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上13(x )8 的展开式中 x2 的系数为_1214若 x，y 满足约束条件 则 z3xy 的最小值为10,3,yx_15当函数 ysin x cosx(0x 2)取得最大值时，x_.16已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1，CC 1 的中点，那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为_3三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17ABC 中，内角 A，B，C 成等差数列，其对边 a，b，c 满足2b23ac，求 A18已知数列a n中，a 1 1，
5、前 n 项和 .23nnSa(1)求 a2，a 3；(2)求a n的通项公式19如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD， PA2，E 是 PC 上的一点，PE2EC AC(1)证明：PC 平面 BED；(2)设二面角 APB C 为 90，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小420乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换每次发球，胜方得 1 分，负方得 0分设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6，各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中，甲先发球(1)求开始第 4
6、 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；(2) 求开始第 5 次发球时，甲得分领先的概率 21已知函数 f(x) x3x 2ax .1(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设 f(x)有两个极值点 x1，x 2，若过两点(x 1，f(x 1)，(x 2，f (x2)的直线 l 与x 轴的交点在曲线 yf(x)上，求 a 的值22已知抛物线 C：y(x 1) 2 与圆 M：(x1) 2(y )2r 2(r0)有一个1公共点 A，且在 A 处两曲线的切线为同一直线 l.(1)求 r；(2)设 m，n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线，m ，n 的交点为 D，求D 到 l 的距离
7、52012 年普通高等学校招生全国统一考试（2 全国卷）数学(文)试题答案解析:1 B 正方形组成的集合是矩形组成集合的子集，C B2 A ，y 2x 1，1xxy 21，x，y 互换可得：yx 21.又 .反函数中 x0，故选 A 项03C 是偶函数，f(0) 1.()sin3fx . (kZ)sin12 3k (kZ) 又0,2，当 k0 时， .故选 C 项324A ，且 为第二象限角，3sin5 .24co1i .故选 A 项324sin2icos555 C 焦距为 4，即 2c4，c2.又准线 x4， .aa 28.b 2a 2c 2 844.6椭圆的方程为 ，故选 C 项2184x
8、y6B 当 n1 时，S 12a 2，又因 S1a 11，所以 ， .2a23显然只有 B 项符合7 C 由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为 ，14A剩余 5 人进行全排列： ，故总的情况有： 480 种故选5A14A5C 项8 D 连结 AC 交 BD 于点 O，连结 OE，AB=2， .2AC又 ，则 AC=CC1.12C作 CHAC 1 于点 H，交 OE 于点 M.由 OE 为ACC 1 的中位线知，CMOE ，M 为 CH 的中点由 BDAC，ECBD 知，BD面 EOC，CMBDCM面 BDE.HM 为直线 AC1 到平面 BDE 的距离又ACC 1 为等腰直角三角形，C
9、H=2. HM=1.9 D ab0，ab.又|a| 1，| b|2，7 .|5AB .12|CD .2254|()A .44()55DBAab10 C 设|PF 2|m，则 |PF1|2m，由双曲线定义|PF 1|PF 2|2a，2mm . .=又 ，24cab由余弦定理可得cos F1PF2 .221|43|PFc11 D xln 1，ylog 52 ，51log2，且 e 01，yz x .12e24z212 B 如图，由题意：8tanBEF= ，12 ， X2 为 HD 中点，K， ，231D31， ，43CX4， ，5412H512， ，X 6 与 E 重合，故选 B 项56AX631
10、3答案：7解析：(x )8 展开式的通项为 Tr1 x8r ( )12xC12rC r82r x82r ，令 82r 2，解得 r3.x 2 的系数为 23 7.8C14答案：1解析：由题意画出可行域，由 z3xy 得 y3xz ，要使 z 取最小值，只需截距最大即可，故直线过 A(0,1)时，z 最大z max3011.15答案： 569解析：ysinx cosx 3132(sincos)2in()3xx当 y 取最大值时， ，x2k .56又0x 2， .56x16答案： 3解析：设正方体的棱长为 a.连结 A1E，可知 D1FA 1E，异面直线 AE 与 D1F 所成的角可转化为 AE
11、与 A1E 所成的角，在AEA 1 中，.221223cos 5aaAE17解：由 A，B ，C 成等差数列及 AB C180，得B60，AC 120.由 2b23ac 及正弦定理得 2sin2B3sinAsinC，故 .1sincos(AC)cosA cosCsinAsinC cos AcosC ，12即 cosAcosC ，cosAcosC0，12cosA0 或 cosC0，所以 A90或 A30.18解：(1)由 得 3(a1a 2)4a 2，解得 a23a 13；243S10由 得 3(a1a 2a 3)5a 3，解得 a3 (a1a 2)6.35S(2)由题设知 a11.当 n1 时
12、有 anS nS n1 ，123nna整理得 .1nn于是 a11，a 2 a1，a 3 a2，4an1 an2 ，a n an1 .将以上 n 个等式两端分别相乘，整理得 .(1)2na综上，a n的通项公式 .(1)2na19解法一：(1)证明：因为底面 ABCD 为菱形，所以BDAC又 PA底面 ABCD，所以 PCBD设 ACBD=F，连结 EF.因为 ，PA=2，PE=2EC，2AC故 ， ， ，3P3E2FC从而 ， ，6F因为 ，FCE= PCA，CAE11所以FCE PCA， FEC=PAC=90，由此知 PCEF.PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD，EF 都垂直，所以
13、 PC平面 BED(2)在平面 PAB 内过点 A 作 AGPB，G 为垂足因为二面角 APB C 为 90，所以平面 PAB平面 PBC又平面 PAB平面 PBCPB，故 AG平面 PBC，AGBC BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA，AG 都垂直，故 BC平面 PAB，于是 BCAB，所以底面 ABCD 为正方形，AD2， .22PDA设 D 到平面 PBC 的距离为 d.因为 ADBC，且 AD 平面 PBC，BC 平面 PBC，故 AD平面 PBC，A ，D 两点到平面 PBC 的距离相等，即 dAG .2设 PD 与平面 PBC 所成的角为 ，则 .1sinPD所以 PD 与
14、平面 PBC 所成的角为 30.解法二：(1)证明：以 A 为坐标原点，射线 AC 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz .设 C( ，0,0)，D( ，b,0)，其中 b0，22则 P(0,0,2)，E( ，0， )，B ( ，b,0)432于是 ( ，0，2)， ( ，b， )，2E312( ，b， )，从而 ， ，DE2330PCBE0D故 PCBE，PCDE.又 BEDEE，所以 PC平面 BDE.(2) (0,0,2) ， ( ，b,0) APAB2设 m(x，y，z )为平面 PAB 的法向量，则 m 0，m 0，即 2z 0 且 xby 0，令 xb，则 m
15、(b， ，0)2设 n(p，q，r)为平面 PBC 的法向量，则 n 0，n 0，PCBE即 且 ，2r203pbqr令 p1，则 ， ，n(1， ， )2b因为面 PAB面 PBC，故 mn0，即 ，故 ，02于是 n(1，1， )， ( ， ， 2)，2DP2， n， 60.1cos,|DP因为 PD 与平面 PBC 所成角和n， 互余，故 PD 与平面PBC 所成的角为 30.20解：记 Ai 表示事件：第 1 次和第 2 次这两次发球，甲共得i 分，i 0,1,2；Bi 表示事件：第 3 次和第 4 次这两次发球，甲共得 i 分，i0,1,2；A 表示事件：第 3 次发球，甲得 1 分
16、；B 表示事件：开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2；13C 表示事件：开始第 5 次发球时，甲得分领先(1)BA 0AA 1 ，P(A)0.4，P( A0)0.4 20.16，P(A 1)20.60.40.48，P(B)P (A0AA 1 )P(A 0A)P(A 1 )P(A 0)P(A)P (A1)P( )0.160.40.48(10.4)0.352.(2) P(B0)0.6 20.36，P( B1)20.40.60.48，P(B 2)0.4 20.16，P(A2)0.6 20.36.C A1B2 A2B1A 2B2P(C)P( A1B2A 2B1A 2B2)P(A 1B2)P
17、(A 2B1)P(A 2B2)P(A 1)P(B2)P (A2)P(B1)P( A2)P(B2)0.480.160.360.480.360.160.307 2.21解：(1)f( x)x 2 2xa(x1) 2a1.当 a1 时，f(x )0，且仅当 a1，x 1 时，f(x) 0，所以 f(x)是 R 上的增函数；当 a1 时，f(x )0 有两个根 x11 ，x 21a.当 x(，1 )时，f(x) 0，f(x )是增函数；1a当 x(1 ， 1 )时，f(x )0，f(x) 是减函数；当 x(1 ， )时，f(x) 0，f(x )是增函数(2)由题设知，x 1，x 2 为方程 f(x)0
18、 的两个根，故有 a1，x 122x 1a，x 222x 2a.14因此 f(x1) x13x 12ax 1 x1(2x 1a)x 12 ax1 x12 ax133 (2x 1 a) ax1 (a1)x 1 .3同理，f(x 2) (a1)x 2 .因此直线 l 的方程为 y (a1)x .33设 l 与 x 轴的交点为 (x0,0)，得 ，02(1)232 20 31()(176)2()(1)()4)aaf a由题设知，点(x 0,0)在曲线 yf(x) 上，故 f(x0)0，解得 a0 或 或 .34a22解：(1)设 A(x0，(x 01) 2)，对 y(x1) 2 求导得 y2(x1)
19、 ，故 l 的斜率 k2(x 01)当 x01 时，不合题意，所以 x01.圆心为 M(1， )，MA 的斜率 .2201()k由 lMA 知 kk1，即 2(x01) 1，20()x解得 x00，故 A(0,1)，15r|MA| ，即 .2215(0)()52r(2)设(t，(t 1) 2)为 C 上一点，则在该点处的切线方程为y( t 1)22( t1)(x t)，即 y2(t1)xt 21.若该直线与圆 M 相切，则圆心 M 到该切线的距离为 ，52即 ，212()5()tt化简得 t2(t24t6)0，解得 t00， ， .1210t抛物线 C 在点(t i，(t i1) 2)(i0,1,2)处的切线分别为 l，m ，n，其方程分别为 y2x 1，y2(t 11)xt 121，y2(t 21)xt 221，得 .t将 x2 代入 得 y 1，故 D(2，1)所以 D 到 l 的距离 .2|()|65d16
