1、1圆锥曲线的几何性质一、椭圆的几何性质（以 + =1（ab0）为例）2axby1、ABF 2 的周长为 4a(定值 )证明：由椭圆的定义 1212124AFaAFBFaB即 24AFC2、焦点PF 1F2 中：（1）S PF1F2 = tanb（2） （S PF1F2 ） max= bc（3）当 P 在短轴上时，F 1PF2 最大证明：（1）在 中2A 214coscPF 221211os 4PFc 12cbPF 12 21sincostanoPFS （2） （S PF1F2 ） max = maxhb（3 222221 000444cos 1ceexcacPF ex当 =0 时 有最小值 即
2、F 1PF2 最大0xs2a3、 过点 F1 作PF 1F2 的P 的外角平分线的垂线，垂足为 M ，则 M 的轨迹是 x2+y2=a2证明：延长 交 于 ，连接1O由已知有 为 中点M1xyoF1 F22PxyoF1 F2PMxyoF11 F2AB2 = =21OMF12PFa所以 M 的轨迹方程为 xy4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆 x2+y2=a2 内切证明：取 的中点 ，连接 。令圆 的直径 ，半径为1PFOM1PFr =O2112aPFar 圆 与圆 内切M 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆 x2+y2=a2 内切5、任一焦点PF 1F2 的内切圆圆心为 I，连结 PI
3、 延长交长轴于 R，则 IR：IP=e证明：证明：连接 由三角形内角角平分线性质有 12,I 2121RRI cePFPFa Ie6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。证明：令 到准线的距离为12,AxyB12,d以为直径的圆的圆心为 到准线的距离为 。M 21212FedFe1212ABRRd d 0e 以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离xyoF1F2PIIIRxyoF1F2PyxoF1F2AB37、A 为椭圆内一定点，P 在椭圆上，则：（PA+PF 2）max =2a+AF 1（PA+PF 2）min =2a-AF 1证明：连接 1,F 2112APaPAPF 11 21aF （PA
4、+PF 2）max =2a+AF 1（PA+PF 2）min =2a-AF 18、A 为椭圆内一定点，P 是椭圆上的动点，则（PA+ ）min = A 到右准线的距离eF2证明：设到右准线的距离 d,由椭圆的第二定义有Pde（PA+ ）min = = A 到右准线的距离.F2minPd9、焦点PF 1F2 的旁心在直线 x=a 上。证明：令I 与PF 1F2三边所在的直线相切于 M、N、A PMN2A 112 11FA 2PNF 2 12122FNA 2NA 2acxyo FAxyoF1F2PNII A2IMxyoF1 F2PPA4 即为椭圆顶点。2acFA 焦点PF 1F2 的旁心在直线 x
5、=a 上10、P 是椭圆上任意一点，PF 2 的延长线交右准线于 E，K 是准线上另一任意点，连结 PK 交椭圆于 Q，则 KF2平分EF 2Q证明：令 P,Q 到准线的距离为 1,d212211 222FedPFQPFKQKdQ由三角形外角平分线性质定理有 KF2平分EF 2Q11、 )(21定 值baBFA证明：令 12,xy当 的斜率存在时，设直线 方程为ABykxc22222()0ykxcbakxaba22222()kcx 122kcxba122abx 12 12AFeBAFBex 121aex=2222222 ()akcckbbbaacbaeeexyoF1F2EKQPxyo FBA5
6、3224 42akbakcb 22224akcabkac221bk当 的斜率存在时，AB221aAFBb )(21定 值baF12、AB 是椭圆的任意一弦，P 是 AB 中点，则 （定值）2abKOAB证明：令 ，1,xy0,Pxy则 12020 21121212122 . .0xyxxyyabab21212yxxy ，12ABk0OPkx 2ABOPba 2ABk13、椭圆的短轴端点为 B1、 B2，P 是椭圆上任一点，连结 B1P、B 2P 分别交长轴于 N、M 两点，则有OM*ON =a 2证明： 12100,bxyMxxyo FBAP6 202211,BPxybBMxbN 由于 、 、
7、 共线2 0022xybxyb 由于 、 、N 共线1020,PFcPFcxyP 0110xybxyb 2200OMNAB 22220 01xyxbybxaabay 2N14、椭圆的长轴端点为 A1、 A 2，P 是椭圆上任一点，连结 A1P、A 2P 并延长，交一准线于 N、M 两点，则 M、N 与对应准线的焦点张角为 900证明：令 ， 21,ayyxcc1,0Aa2,0A1020221,PxayAPxayMNcc 由于 、 、 共线 1 200012()ayxacxc 由于 共线 2,APN 200022()ayxacxcxyo N MB2PB1xyo FNA2PA1M7 2224200
8、012()()ayyayacccxx 22002 baba 2421cy42 214122,aFMycbFMNycN 0 M、N 与对应准线的焦点张角为 90015、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦 AB 过该准线对应的焦点。证明：设 20,ayc则 的方程为AB201xab即 必过点021yxcb,c16、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。证明：设 ，则过 点的切线 ： ，直线 的法线 交轴于0,PxyPl021xyablxQ直线 的法向量为：l02,xynab 1020,FcFc 22Pxyx2200bca42200axc20cx y xo M1F2A Byxo
9、F1F2Plm8同理 21PF02acx 20012ynab 2200cxbxaa20cx同理 022cxPF 2022 2cosacxnQ1n2022 2cosacxnPF1n 12Q即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。二、双曲线的几何性质（均以 为例：）（1）焦点三角形面积： 2cotbS(2)、过作F 1PF2 的内角平行线的重线垂足 M 的轨迹是 22ayx（1）F1 F2PF1 F2PMxy（2）0,12bayx9(3)、以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与 内切，小的圆与 外切。22ayx22ayx(4)、以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交(5)、焦点PF 1F2 的内
10、切圆心横生标为a 即与实轴的切点一定是实轴端点（6）焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值MCN2arccos e1F1 F2Ayx(4)BF1 F2Pyx(5)IF1 F2Pyx(3)F1F2Byx(6)CAMN10(7)、A 为双曲线内一定点 P 为双曲线上动点= + 2aPA2Fmin1A(8)、如图：A 为双曲线内一定点， P 是双曲线上的动点， 等于 A 到右准线的距离PAe12Fmin（9） 、焦点到渐近线的距离等于 b(10)、双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值 2cbaF1 F2Pyx(7)AF1 F2Pyx(8)ABF1 F2Pyx(9)F1 F2Py
11、x(10)AB11（11） 、P 是弦 AB 中点 K K 定值ABop2ab（12） 、P 为双线上任一点过 P 点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值 ab21(13)、过 P 的切线平分F 1PF2（光学性质）即经过一焦点的光线被双曲线反射，反射光线的下长线过另一焦点F1 F2Pyx(11)ABOF1 F2Pyx(12)MONyF1 F2PMx（13）1 212（14）双曲线与渐近线把平面分成 5 部分双曲线上的点 渐近线上的点12byax 02byax区域的点 区域的点212区域的点 102byax过渐近线上的点（除中心）只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切
12、的切线过区域的点作切线分别在两支上，过区域的点作切线切点在同一支上，过区域的点没切线，双曲线的切线斜率 ，区域abk、的点可作弦的中点，中心是任意过中心的弦的中点，渐近线上（除中心） ，双曲线上，区域的点不可能是弦中点（15）直线 L 与双曲线的渐近线 交于 A、B 两点，与双曲线交于 C、D 两点，则 AC=BD12byax三、抛物线的几何性质均以抛物线 为 例02pxy(1) 如图：A 为抛物线内一定点，P 是抛物线上的动点， 等于 A 到准线的距离PAFminF1 F2yx(14)F1 F2yx(15)A B DCX=-P/2FyxAP13(2) 过抛物线 焦点 F 作弦 AB，其中 A（x 1,y1）,B（x 2,y2）则有：02pxy 21 214x pAB2 min pF1以 AB 为直径的圆与准线 相切2:pxl（3）过抛物线 顶点作任意互相垂直的弦 OA、OB ，则弦 AB 必过定点（2p,0） ；反之亦成立，02pxy即过定点（2p,0）作直线交抛物线于 A、B 两点，则有 OA 垂直 OBX=-P/2FyxAByxAB14（4）过抛物线 焦点 F 作直线交抛物线于 P、Q 两点，弦 PQ 的垂直平分线交抛物线的对称轴02pxy于 R，则QPF（5）过抛物线 H 上任一点 P（X 0,Y0）的切线方程为02pxy 00xpyFy xPQ R
