1、第 1 页 共 12 页向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。基本思路与方法一、基本工具1.数量积： cosab2.射影公式：向量 在 上的射影为 ab3.直线 的法向量
2、为 ，方向向量为 0AxByC,AB,BA4.平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系1.平行关系线线平行 两线的方向向量平行线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直面面平行 两面的法向量平行2.垂直关系第 2 页 共 12 页线线垂直（共面与异面） 两线的方向向量垂直线面垂直 线与面的法向量平行面面垂直 两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离1.点点距离点 与 的1,Pxyz2,Qxyz距离为 22111()()()z2.点线距离求点 到直线 的距离：0,Pxy:l0AxByC方法：在直线上取一点 ，,Q则向量 在法向量 上的射影 =,nPQn02AxByC即为点 到 的距离.Pl3.点面
3、距离 求点 到平面 的距离：0,xy方法：在平面 上去一点 ，得向量 ，,QxyPQ计算平面 的法向量 ，n计算 在 上的射影，即为点 到面 的距离.P四、用向量法解空间角1.线线夹角（共面与异面）线线夹角 两线的方向向量的夹角或夹角的补角2.线面夹角求线面夹角的步骤：第 3 页 共 12 页 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.3.面面夹角（二面角）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线 a, b 所成角 ，只要
4、在两条异面直线 a, b 上各任取一个向量 ，则角 = 或 -，AB和 ,AB因为 是锐角，所以 cos= , 不需要用法向量。1、运用法向量求直线和平面所成角设平面 的法向量为 =（x, y, 1)，则n直线 AB 和平面 所成的角 的正弦值为sin= cos( -) = |cos| = 2ABnABn2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为 ，则或 -是所12,n12,n12,n求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定是12,nA第 4 页 共 12 页所求，还是 -是所求角。12,n二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线 a、b 的公共法向量为
5、 ，(,)nxyz在 a、b 上任取一点 A、B，则异面直线 a、b 的距离d =ABcosBAA =|n略证：如图，EF 为 a、b 的公垂线段，a 为过 F 与 a 平行的直线，在 a、b 上任取一点 A、B，过 A 作 AA EF，交 a 于 A ，/则 ，所以BAA =（或其补角）/An,n异面直线 a、b 的距离 d =ABcosBAA = *|Bn其中， 的坐标可利用 a、b 上的任一向量 （或图中的 ） ，n ,ab,AEBF及 的定义得 解方程组可得 。0anb n2、求点到面的距离求 A 点到平面 的距离，设平面 的法向量法为 ，在(,1)nxy 内任取一点 B，则 A 点到
6、平面 的距离为 d = ， 的坐标|AB由 与平面 内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似nn第 5 页 共 12 页于前面所述, 若方程组无解，则法向量与 XOY 平面平行，此时可改设 ，下同） 。(1,0)ny3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线 a 到平面 的距离，设平面 的法向量法为 ，(,1)nxy在直线 a 上任取一点 A，在平面 内任取一点 B，则直线 a 到平面 的距离 d = |Bn4、求两平行平面的距离设两个平行设平面 、 的公共法向量法为 ，在平面(,1)nxy、 内各任取一点 A、B，则平面 到平面 的距离 d = |ABn三、证明线面、面面的平行、垂直关系
7、设平面外的直线 a 和平面 、，两个面 、 的法向量为，则12,n1a/n1a/n2/2四、应用举例：例 1：如右下图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1.(1) 求二面角 CDEC1的正切值;(2) 求直线 EC1与 FD1所成的余弦值. 解：（I）以 A 为原点， 分别为 x 轴，y 轴,z 轴的正1,BAD向建立空间直角坐标系，第 6 页 共 12 页则 D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是， 11(3,0)(,3
8、2)(4,2)ECFD设法向量 与平面 C1DE 垂直，则有2nxy130xyzC1 11(,2), ,026cos 3|442tannACDE向 量 与 平 面 垂 直与 所 成 的 角 为 二 面 角 的 平 面 角（II）设 EC1与 FD1所成角为 ，则222211(4)31cos 4|ECFD例 2：如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 是菱形，DAB=60 0，PD平面 ABCD，PD=AD，点 E 为AB 中点，点 F 为 PD 中点。（1）证明平面 PED平面 PAB； （2）求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值证明：（1）面 ABCD 是菱形，DAB=60 0，
9、ABD 是等边三角形，又 E 是 AB 中点，连结 BDEDB=30 0，BDC=60 0，EDC=90 0，如图建立坐标系 D-ECP，设 AD=AB=1，则 PF=FD= ，ED= ，123 P（0，0，1） ，E（ ，0，0） ，B（ ， ，0） 323第 7 页 共 12 页 =（ ， ，-1） ， = （ ，0，-1） ，PB321PE32平面 PED 的一个法向量为 =（0，1，0） ，设平面 PAB 的法向DC量为 =（x, y, 1)n由 3312(,1),)00223,xyxyxPBnE y =（ , 0, 1)23 =0 即 平面 PED平面 PABDCnn（2）解：由（1
10、）知：平面 PAB 的法向量为 =（ , 0, 1), 设平n23面 FAB 的法向量为 1=（x, y, -1)，n由（1）知：F（0，0， ） ， =（ ， ，- ） ， = 2FB321FE（ ，0， - ） ，321由131311(,)(,)00223,xyxyxnFBE y 1=（- , 0, -1)n3二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值 cos= |cos| =n1n574第 8 页 共 12 页例3：在棱长为4的正方体ABCD-A 1B1C1D1中，O是正方形A 1B1C1D1的中心，点P在棱CC 1上，且CC 1=4CP.()求直线AP与平面BCC 1B1所成的角的大小（结
11、果用反三角函数值表示） ；()设O点在平面D 1AP上的射影是H，求证：D 1HAP；()求点P到平面ABD 1的距离.解: ()如图建立坐标系D-ACD 1, 棱长为4 A（4，0，0） ，B（4，4，0） ，P（0，4，1） = (-4, 4, 1) , 显然AP=（0，4，0）为平面BCC 1B1的一个法向量DC直线AP与平面BCC 1B1所成的角的正弦值sin= |cos|=226434为锐角，直线AP与平面BCC 1B1所成的角为arcsin 43() 设平面ABD 1的法向量为 =（x, y, 1)，n =（0，4，0） ， =（-4，0，4）AB1AD由 ， 得 =（1, 0,
12、1)，n1yxn点P到平面ABD 1的距离 d = 32APn第 9 页 共 12 页例 4：在长、宽、高分别为 2，2，3 的长方体 ABCD-A1B1C1D1中，O 是底面中心，求 A1O 与 B1C 的距离。解：如图，建立坐标系 D-ACD1，则 O（1，1，0） ，A1（2，2，3） ，C（0，2，0） (,)O1(2,03)B1(,2)AB设 A1O 与 B1C 的公共法向量为 ，则(,nxy13(,),13)030222xnxyxy 3(,)2n A 1O 与 B1C 的距离为d = 1230,1| 321n例 5：在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别
13、是B1C1、C 1D1的中点，求 A1到面 BDFE 的距离。解：如图，建立坐标系 D-ACD1，则 B（1，1，0） ，A 1（1，0，1） ，E（ ，1，1）2 (,10)B(,)2BE1(,)设面 BDFE 的法向量为 ，则,nxy(,),)0211022xynDxyBE (,)A BCDA1 B1 D1 C1 OFEA BCDA1 B1 D1 C1 第 10 页 共 12 页 A1到面 BDFE 的距离为 d =1220,1,| |3ABn五、课后练习: 1、如图,已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1, AB=1,AA1=2,点 E 为 CC1中点,点F 为 BD1中点. （1）
14、证明 EF 为 BD1与 CC1的公垂线; （2）求点D1到面 BDE 的距离.2、已知正方形 ABCD，边长为 1，过 D 作 PD平面 ABCD，且PD=1，E、F 分别是 AB 和 BC 的中点， （1）求 D 到平面 PEF 的距离；（2）求直线 AC 到平面 PEF 的距离1AB1C1D第 11 页 共 12 页3、在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC 1=2（如图）（1）求证：平面 A1BC1/平面 ACD1；（2）求（1）中两个平行平面间的距离；（3）求点 B1到平面 A1BC1的距离。4、如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD 底面ABCD，AB/DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC 平面 SBC .（）证明：SE=2EB；（）求二面角 A-DE-C 的大小 .D CC1AA1BB1D1第 12 页 共 12 页
