1、含参函数单调性教学案例河北省昌黎汇文二中 李建文设计思路：本节课是学生学习了导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数 ，基本掌握了利用导数知识判断函数的单调性及求函数的单调区间的方法，了解了导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具。为进一步加深对知识的理解和运用，设计一个微专题，对含有参数的函数的单调性问题进行多维探究，从对函数单调性研究，到已知函数单调性确定参数问题，来理解函数单调性与导数的关系，以及导数作为研究函数性质的工具性和重要性。【典例 1】已知函数 ,若函数 是 R 上的增函数，求实数 的取值范3()1fxa()fxa围；【解析】由已知 上恒成立 2()0f在 （ ， ）(
2、方法一) = =-a0 a0minx(方法二) 恒成立。而 23aR对 23x0a变式 1：函数 不变，若函数 在区间 上为增函数，求 的取值范围；()fx()f1（ ， ） a【解析】等价于 在 恒成立，即 在 恒成立，即01（ ， ） 2x1（ ， ）的最小值 3，所以 的取值范围为2axa,3变式 2：若函数 在区间 上为减函数，求 的取值范围；()fx(,)a【解析】等价于 在 恒成立，即 ，由 恒成立得 ，0120x23x3a所以 的取值范围为a3,变式 3：若函数 的单调递减区间为 ，求 的值；()fx(,)a【解析】 的两个根，即 所以 .1,0f是 方 程 313变式 4：若函
3、数 在区间 上不单调，求 的取值范围()fx(1,)a【解析】等价于 在 有解且非偶次重根，从而 ，又0f, 301a且时， ， 单调，从而 的取值范围为 。0a 2()3fx()fxa,变式 5：讨论 的单调性。【解析】 . 2()3fxa1) 当 时， ， 在 R 上单调递增；0()0fx()f2) 当 时，令 ，得 ；当 或 时，a23a3axx3a3ax；当 时， 。()0fx()0f所以， 在（ ）上为减函数，在（ ） ， 上为()f3,a3,a(,)增函数。综上， 时， 在 R 上单调递增； 时， 在（ ）上为0a()fx0a()fx3,a减函数，在（ ） ， 上为增函数。3,a(
4、,)【反思感悟】1、已知函数的单调性求参数的问题，通常转化为含参数的不等式恒成立问题，基本思想一是将参数视作常数直接求解，二是分离变量变为不含参数的间接求解，即转化为新产生的函数的“最值或值域”问题（本质是“确界”问题） 。特别是超越函数，利用导数研究是很普遍的。2、含参数的函数的单调性，通常归结为含参数不等式的解集问题，需要针对具体情况进行讨论，并始终要注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准。【典例 2】 （感悟高考-2016 全国卷 21 题第一问）已知函数. 讨论 的单调性；2)1()(xaexf）（ ()fx【解析】 () 12)xf ea （ i ）当 时，则当 时， ；当
5、时，0x()0f1()0fx故函数 在 单调递减，在 单调递增()fx,1),（ ii ）当 时，由 ，解得： 或a()fxxln(2)a若 ，即 ，则 ，ln(2)2eR)10xfe故 在 单调递增)fx,若 ，即 ，则当 时， ；当l()1ae(,ln2)(,)xa()fx时，n2,x(0fx故函数在 ， 单调递增；在 单调递减(,ln2)a(1,)(ln2),1a若 ，即 ，则当 时， ；l)e,x()0fx当 时， ；(1,x(0fx故函数在 ， 单调递增；在 单调递减(,1)ln2),a(1,ln2)a【巩固练习】1、若函数 的单调减区间为 ，则 32()fxbcxd(,)bc【答案
6、】 （转化为-1,2 是导函数的两个零点，利用韦达定理即可求解）,622、已知函数 （ ） ，在 处取得极值，直线 与3()1fxa01xym的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围。 yf【答案】 (3,1)解析： ，由已知， ，解得 . ，利用 2fxa(1)0f1a3()1fx导数求单调区间进而求得 .结合图象可知 m 的(),fx的 极 大 值 极 小 值取值范围为 .(3,1)3、 （ 2016 年高考新课标卷文科 12 题）若函数 在 单1()sin2i3fxxa(,)调递增，则 的取值范围是 。a（A） （B） （ C） （D）1,1,31,3,【答案】C解析： .由已知，须
7、在 R 2245()1coscos333fxxaxa()0fx上恒成立，令 ，转化成 在 恒成立，即 =t250t1,ht恒成立，进而只需 ，解得 ，选 C.24503ta(1)()h且 1a4、 （ 2017 全国卷 11）已知函数 有唯一零点，则 a=21)xfxaeA B C D1123【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足 ，21xxae解法 1、设 ，则 ，1xge2111xxxeg 当 时， ，当 时， ，函数 单调递减，0x 0g当 时， ，函数 单调递增，1ggx时，函数取得最小值 ，x当 (1)2，当 时，函数取得最小值-1，2()hx设若 函数 与函数 没有交点，0,a
8、()()agx若 ， 时，函数 与函数 有一个交点，即1hh()agx.故选 C.2,2解 得解法 2、令 ，则 .tx2()()1,ttfxteR易知 为偶函数，因为有唯一零点， .选 C()0,2a从 而5、（2016 年山东高考）设 f(x)=xlnxax2+(2a1)x，aR.()令 g(x)=f(x)，求 g(x)的单调区间；()已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围.解析：()由 ln2,可得 ，l,0gax则 ，1x当 时，0a时， ，函数 单调递增；,0gxgx当 时，时， ，函数 单调递增，10,2xaxx时， ，函数 单调递减.1,2xa0gxgx所
9、以当 时，函数 单调递增区间为 ；0,当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 . agx10,2a1,2a()由()知， .10f当 时， ， 单调递减.0axfx所以当 时， ， 单调递减.,当 时， ， 单调递增.1x0fxfx所以 在 x=1 处取得极小值，不合题意.f当 时， ，由()知 在 内单调递增，02a1fx10,2a可得当当 时， ， 时， ，,x0fx,fx所以 在(0,1) 内单调递减，在 内单调递增，f 1,2a所以 在 x=1 处取得极小值，不合题意.fx当 时，即 时， 在(0,1)内单调递增，在 内单调递减，12a1afx1,所以当 时， ， 单调递减，不
10、合题意.0,x0f当 时，即 ，当 时， ， 单调递增,12a1a,12xa0fxfx当 时， ， 单调递减，,x0ff所以 f(x)在 x=1 处取得极大值，合题意.综上可知，实数 a 的取值范围为 .12a6、（2016 年全国 I 卷高考）已知函数 .2()2)(1)xfxea(II)若 有两个零点，求 的取值范围.()fxa【解析】（）（i）当 时，由（）知，函数 在 单调递减，在0()fx,1)单调递增(1,)又 ，取实数 满足 且 ，则(,2)fefab0ln2ab23)(1()b 有两个零点(fx（ii）若 ，则 ，故 只有一个零点0a()2xfxe()f（iii ）若 ，由（I
11、）知，当 ，则 在 单调递增，又当 时，ax(1,)1x，故 不存在两个零点；()fx()fx当 ，则函数在 单调递增；在 单调递减又当 时，2ea(ln2),(,ln2)ax，故不存在两个零点()0fx综上所述， 的取值范围是 0,【教学反思】1、本节课通过一个不太复杂的含参数三次函数的单调性问题的探究，充分调动学生思维，以较少的运算量，较多的思维量完成本课题的教学任务，让学生掌握导数解决函数单调性相关问题的方法。典例 1 通过不断改变设问，让学生全方位了解高考命题角度、概念的理解和应用，逐步引导学生对问题的观察、思考、比较、猜想和探究，帮助学生经历数学概念和方法的形成、发展过程，形成正确的数学学习观。典例 2 是 2016 年高考新课标文科21 题第一问，考查的是超越函数。通过高考原题，让学生感悟高考。2、倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，变式练习让学生独立思考之后通过投影、板书形式展示解题成果，锻炼了学生表达能力，展示讲解的过程能同时暴露学生思维过程及书写是否规范，期间发现学生多种思考角度，及时给予指正表扬，激发学生思考积极性。3、巩固练习第 4 题的解法 2 会让人耳目一新，通过观察函数结构特点，采取换元的方法，构造出一个偶函数，回避了复杂的分类讨论。但是不具有普适性。4、学生对多项式函数掌握情况较好，对超越函数心存畏惧，需加强指导。
