1、南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考 试时间120分钟)参考公式: 样本数据 12,nx 的方差221()niisx, 其中 1nix.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知集合 , , 则 UA= .210U1A2.复数2(1)i的共轭复数是 3.已知某人连续 次投掷飞镖的环数分别是 , , , , , 则该组数据的方差为 .5890184.袋中装有2 个红球 , 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出2个小球 , 则摸出的两球颜色不同的概率为 .5.在等差数列 中,
2、若 , 则其前9 项和 9S的值na753a为 6.设 ,xy满足约束条件0,26yx, 则目标函数 23zxy的最大值为 7.如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是 .8.将函数sin(2)3yx的图像向左平移 个单位后, 所0得到的图像对应的函数为奇函数, 则 的最小值为 .9.现有如下命题：过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；如果两个平行平面和第三个平面相交, 那么所得的两条交线平行；如果两个平面相互垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.则所有真命题的序号是 10. 在 ABC中, 若
3、9cos245AB, 则CA的值为 11.如图 , 在等腰三角形 中, 底边 , , 2D12E, 若1D, 则 = CE12.已知 、 分别是椭圆 的左、右焦点, 点1F21482yxP是椭圆上的任意一点, 则12|PF的取值范围是 13.若 , 满足222log4cs()lnlcos()yexyxy, 则 cos4yx的值为 xy 14.已知函数21(),0,()ffxx, 若关于 x的方程 ()fkx0)有且仅有四个根, 其最大根为 t, 则函数25()674gtt的值域为 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内
4、.15. (本小题满分14分)在直三棱柱 中, ABC, D为棱 1上任一点.1ABC(1)求证：直线 1平面 ；(2)求证：平面 D平面 1.16(本小题满分14分)在ABC 中，角 A，B，C的对边分别为a，b，c(1)若 cos(A) sinA，求A的值；(2)若 cosA，4bc ，求sinB的值17(本小题满分14分)近年来，某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电 , 安装后采用太阳能和电能互
5、补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积 x(单位: 平方米)之间的函数关系是()(0,201kxxk为常数). 记 F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和. (1)试解释 ()C的实际意义, 并建立 关于 x的函数关系式；(2)当 x为多少平方米时, 取得最小值？最小值是多少万元？18. (本小题满分16分)如图, 在平面直角坐标系 中, 已知椭圆2:1(0)xyCab经过点xOy M(32,),椭圆的离心率23e, 、 分别是椭圆的左、右焦点.1F2(1)求椭圆 C的方程；(2)过点 作两直线与椭
6、圆 分别交于相异两点 、 . MAB若直线 A过坐标原点 O, 试求 2M外接圆的方程；若 的平分线与 轴平行, 试探究直线 的斜率是否为定值？若是, 请By给予证明；若不是, 请说明理由.19(本小题满分16分) 对于定义在区间 D上的函数 ()fx, 若任给 0xD, 均有 0()fx, 则称函数()fx在区间 D上封闭.(1) 试判断 ()1fx在区间 2,上是否封闭, 并说明理由；(2) 若函数3ag在区间 3,0上封闭, 求实数 a的取值范围；(3) 若函数3()hx在区间 ()baZ上封闭, 求 ,b的值.20(本小题满分16分)若数列 na是首项为 612t, 公差为6 的等差数
7、列；数列 nb的前 项和为3nSt.(1)求数列 n和 b的通项公式；(2)若数列 是等比数列, 试证明: 对于任意的 (,1)nN, 均存在正整数 nc, 使得 1nca, 并求数列 n的前 项和 T；(3)设数列 d满足 b, 且 d中不存在这样的项 kd, 使得“ 1kd与1k”同时成立（其中 , ）, 试求实数 的取值范围2kNt南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21选做题 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修41 ：几何证明选讲）如图，圆 的直径 , 为
8、圆周上一点, , 过 作圆的切线 , 过 作直O84BClA线 的垂线 , 为垂足, 与圆 交于点 , 求线段 的长l AOEAB.（选修42：矩阵与变换）已知矩阵1 2xM的一个特征值为3, 求 M的另一个特征值及其对应的一个特征向量.C （选修44：坐标系与参数方程）在极坐标系中, A为曲线2cos30上的动点, B为直线cosin70上的动点, 求 B的最小值.D(选修4-5 ：不等式选讲）设 12,na都是正数, 且 12na=1, 求证： 12()()2naa.必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22 （本小题满分 10分）某射击小组有甲、
9、乙两名射手, 甲的命中率为 1P32, 乙的命中率为 2P, 在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一发, 则称该射击小组为“先进和谐组” .(1) 若 2P1, 求该小组在一次检测中荣获 “先进和谐组”的概率；(2) 计划在2013年每月进行 1次检测, 设这12 次检测中该小组获得 “先进和谐组” 的次数为 , 如果 5E, 求 2P的取值范围.23 （本小题满分 10分）已知 , 其中 nxf)2()*N(1)若展开式中含 项的系数为 14, 求 的值；3n(2)当 时, 求证： 必可表示成*1()sN的形式.x)(xf2013届高
10、三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.0,2 2. 34i 3. 5 4. 235. 27 6. 26 7.3 8. 69. 10.2311. 0 12.0,2 13.1 14.41,)5二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15(1)证明: 由直三棱柱 ,1CBA得 1/AB4分而 ,EFD面 面 ,所以直线 EF平面 7分(2)因为三棱柱 为直三棱柱,所以 1AB,又 BC,1CBA而 1B面 1, 面 1,且 1,所以 AB面 1C11分又 D面 ,所以平面 A
11、B平面 114分17解: (1) (0)C的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费2分由(0)241k,得 0 3分所以2401815.50.5,Fxxx7分(2)因为80.().2180.529.755x10分当且仅当1.()x,即 5时取等号 13分所以当 x为55 平方米时, F取得最小值为59.75万元14分(说明: 第(2)题用导数可最值的, 类似给分)18解: (1)由23e，2289cab，得 2ab，故椭圆方程为219xyb3分又椭圆过点 (32,)M，则 2189b，解得 24b，所以椭圆的方程为21364xy5分(2
12、)记 12F的外接圆的圆心为 T.因为13OMk,所以 A的中垂线方程为 3yx,又由 (3,)M, 24,0,得 1F的中点为72,，而 21MFk，所以 2F的中垂线方程为 32yx，由32yx，得39,4T8分所以圆T 的半径为2295404，故 2MAF的外接圆的方程为2391544xy10分(说明:该圆的一般式方程为22390xy)(3)设直线 MA的斜率为 k， 1,， 2,Bx，由题直线 MA与 B的斜率互为相反数，直线 MB的斜率为 k.联立直线 MA与椭圆方程：2321364ykxk，整理得 2 2918213108xkxk，得1283kx，所以22391k，整理得 2123
13、69kx，221086x13分又 212221336ykxkxkxk=322081991kk，所以221936AByxk为定值16分19解: (1) ()fx在区间 2,1上单调递增, 所以 ()fx的值域为-3,02分而-1,0 2,1,所以 ()f在区间 ,上不是封闭的 4分(2)因为33()1xag,当 时,函数 ()的值域为 ,10,适合题意5分当 3a时,函数 ()gx在区间 3,上单调递减,故它的值域为309,14a,由309,14a3,10,得39104a,解得 31a,故 7分当 3a时,在区间 ,上有3()1xg,显然不合题意 8分综上所述, 实数 a的取值范围是 19分(3
14、)因为3()hx,所以2()3(1)hxx,所以 在 上单调递减,在 ,上递增,在 上递增.当 1ab时, ()hx在区间 ,ab上递增,所以()hab,此时无解10 分当 且 时,因 max()(1)2,矛盾,不合题意11分当 1ab且 时,因为 (1)2,(h都在函数的值域内, 故2ab,又3()ha,解得0ab或或,从而 212分当 1ab时, ()hx在区间 ,a上递减,()hba(*),而 ,Z,经检验,均不合(*)式13分当 11ab且 时,因 min()(1)2hxa,矛盾,不合题意14分当 1ba时, ()hx在区间 ,ab上递增,所以()hab,此时无解 15分综上所述,所求
15、整数 ,的值为 2ab16分20解: (1)因为 na是等差数列,所以 (61)(612ntnt2分而数列 b的前 项和为 3S,所以当 2n时, 11(3)nnn,又 1bSt,所以12,nnt4分(2)证明: 因为 n是等比数列,所以 132t,即 t,所以 612na 5分对任意的 (,1)N,由于116(3)nnb,令1*32nc,则 1(2)cab,所以命题成立 7分数列 n的前 项和312nnT9分(3)易得6(3)2,4nntd,由于当 时, 11()34(2)nnntt38()2nt,所以若32t,即74t,则 1nd,所以当 时, nd是递增数列,故由题意得12d,即 6(3
16、)16(2)tt,解得 597744t,13分若t,即794t,则当 3n时, nd是递增数列,故由题意得 23d,即2()()t,解得74t14分若21(,3)mtNm,即5(,3)24tmN,则当 n时, nd是递减数列, 当 1n时, nd是递增数列,则由题意,得 1m,即 4()()tt,解得234t15分综上所述, t的取值范围是597或234t(,2)Nm16分附加题答案21. A、 解：连结 ，则 ACBEO,E , , 即 为正三角形 , 4C4OBC 4分60又直线 切 与 ， 60DA=，lO AD， 93C- 6分而 , 3021COBAOC60EAB8分在RtBAE中，
17、 EBA=30， 10分 421BEB解：矩阵M的特征多项式为= 1分xf2)( 4)(1x因为 方程 的一根，所310)(f以 3分x由 ,4)(得 5分12设 对应的一个特征向量为 ,则 ,2yx02y得 8分yx令 ,所以矩阵M的另一个特征值为-1 ，对应的一个特征向量1,则为 10分C解:圆的方程可化为 214xy,所以圆心为 1,0,半径为23分又直线方程可化为 70xy 5分所以圆心到直线的距离1742d，故 min()AB4210分D解:因为 1a是正数，所以 1a 25分同理 (2,3)jjan ，将上述不等式两边相乘，得 1212()nna ,因为 na ,所以 12()()
18、na 10分22. 解: (1)可得)21(3)1)(3(212CP4分(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为 2221212 948)()()( PP,而 ),1(PB,所以PE,由 5,知512)948(2,解得1432P10分23.解: (1)因为 ,所以 ，故 项的系数为 ，解得281rrrxCT63x1426nC5分7n(2)由二项式定理可知, 0120120(23)232333nnnnnnC,设 xyxy，而若有 ()nab， N，则 (23)nab,abN7分 ()()(23)()1nnab， 令 ,asN，则必有 1b9分 (23)n必可表示成 1s的形式，其中 sN 10分注：用数学归纳法证明的，证明正确的也给相应的分数
