1、1解析几何题汇总 2（2013 年北京模拟- 理科）19 （14 分） （2013 海淀区一模）已知圆 M：（x ） 2+y2=r2=r2（r0） 若椭圆 C： + =1（a b0）的右顶点为圆 M 的圆心，离心率为 （I）求椭圆 C 的方程；（II）若存在直线 l：y=kx，使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，与圆 M 分别交于 G，H 两点，点 G 在线段AB 上，且|AG|=|BH|，求圆 M 半径 r 的取值范围考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程803738 专题： 综合题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （I）设椭圆的焦距为 2c，由椭圆右顶点为圆
2、心可得 a 值，进而由离心率可得 c 值，根据平方关系可得 b值；（II）由点 G 在线段 AB 上，且|AG|=|BH|及对称性知点 H 不在线段 AB 上，所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，设 A（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，联立直线方程与椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程，利用韦达定理及弦长公式可得|AB|，在圆中利用弦心距及勾股定理可得|GH|，根据|AB|=|GH|得 r，k 的方程，分离出 r后按 k 是否为 0 进行讨论，借助基本函数的范围即可求得 r 范围；解答： 解：（I）设椭圆的焦距为 2c，由椭圆右顶点为圆 M 的圆心（ ，0） ，得
3、 a= ，又 ，所以 c=1，b=1所以椭圆 C 的方程为： （II）设 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A，B ，则 ，所以（1+2k 2）x 22=0，则 x1+x2=0， ，所以 = ，点 M（ ，0）到直线 l 的距离 d= ，则|GH|=2 ，显然，若点 H 也在线段 AB 上，则由对称性可知，直线 y=kx 就是 y 轴，矛盾，2所以要使|AG|=|BH|，只要|AB|=|GH|，所以 =4 ，= =2 ，当 k=0 时，r= ，当 k0 时， 2（1+ ）=3，又显然 2，所以 ，综上， 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系
4、、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础知识，要熟练掌握19 （14 分） （2013 海淀区二模）已知椭圆 的四个顶点恰好是一边长为 2，一内角为 60的菱形的四个顶点（）求椭圆 M 的方程；（）直线 l 与椭圆 M 交于 A，B 两点，且线段 AB 的垂直平分线经过点 ，求 AOB（O 为原点）面积的最大值考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程1119409专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）依题意，可求得 a= ，b=1，从而可得椭圆 M 的方程；（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）
5、 ，依题意，直线 AB 有斜率，可分直线 AB 的斜率 k=0 与直线 AB 的斜率 k0 讨论，利用弦长公式，再结合基本不等式即可求得各自情况下 SAOB 的最大值解答：解：（）因为椭圆 + =1（ab0）的四个顶点恰好是一边长为 2，一内角为 60的菱形的四个顶点，a= ，b=1 ，椭圆 M 的方程为： +y2=14 分（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，因为 AB 的垂直平分线经过点（0， ） ，显然直线 AB 有斜率，当直线 AB 的斜率为 0 时，AB 的垂直平分线为 y 轴，则 x1=x2，y 1=y2，所以 SAOB= |2x1|y1|=|x1|y1|=|x1
6、| = = ，3 = ，SAOB ，当且仅不当 |x1|= 时，S AOB 取得最大值为 7 分当直线 AB 的斜率不为 0 时，则设 AB 的方程为 y=kx+t，所以 ，代入得到（3k 2+1）x 2+6ktx+3t23=0，当=4（9k 2+33t2）0，即 3k2+1t 2，方程有两个不同的实数解；又 x1+x2= ， = 8 分所以 = ，又 = ，化简得到 3k2+1=4t代入，得到 0t4，10 分又原点到直线的距离为 d= ，|AB|= |x1x2|= ，所以 SAOB= |AB|d|= ，化简得：S AOB= 12 分0 t4，所以当 t=2 时，即 k= 时，S AOB 取
7、得最大值为 综上，S AOB 取得最大值为 14 分点评： 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查椭圆的标准方程，着重考查方程思想分类讨论思想与弦长公式，基本不等式的综合运用，考查求解与运算能力，属于难题19 （14 分） （2013 西城区一模）如图，椭圆 的左焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于A，B 两点当直线 AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 60（）求该椭圆的离心率；4（）设线段 AB 的中点为 G，AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D，E 两点记GFD 的面积为 S1，OED（ O 为原点）的面积为 S2，求 的取值范围考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质80
8、3738 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）由题意知当直线 AB 经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为 60，设 F（c，0） ，由直线斜率可求得 b，c 关系式，再与 a2=b2+c2 联立可得 a，c 关系，由此即可求得离心率；（）由（）椭圆方程可化为 ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 由题意直线 AB 不能与x，y 轴垂直，故设直线 AB 的方程为 y=k（x+c） ，将其代入椭圆方程消掉 y 变为关于 x 的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用 k，c 表示出中点 G 的坐标，由 GDAB 得 kGDk=1，则 D 点横坐标也可表示出来，易知G
9、FD OED，故 = ，用两点间距离公式即可表示出来，根据式子结构特点可求得的范围；解答： 解：（）依题意，当直线 AB 经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为 60设 F（c，0） ，则 将 代入 a2=b2+c2，得 a=2c所以椭圆的离心率为 （）由（） ，椭圆的方程可设为 ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 依题意，直线 AB 不能与 x，y 轴垂直，故设直线 AB 的方程为 y=k（x+c） ，将其代入 3x2+4y2=12c2，整理得 （4k 2+3）x 2+8ck2x+4k2c212c2=0则 ， ，所以 5因为 GDAB，所以 ， 因为GFD OED，所以 =所
10、以 的取值范围是（9，+） 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆的简单性质，考查学生分析解决问题的能力，运算量大，综合性强，对能力要求较高18 （13 分） （2013 西城区二模，石景山区二模）如图，椭圆 的左顶点为 A，M是椭圆 C 上异于点 A 的任意一点，点 P 与点 A 关于点 M 对称（）若点 P 的坐标为 ，求 m 的值；（）若椭圆 C 上存在点 M，使得 OPOM，求 m 的取值范围考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质803738 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）由题意知 M 是线段 AP 的中点，由中点坐标公式可得 M 坐标，代入椭圆方
11、程即可得到 m 值；6（）设 M（x 0，y 0） （ 1x 01） ，则 ，由中点坐标公式可用 M 坐标表示 P 点坐标，由OPOM 得 ，联立 消去 y0，分离出 m 用基本不等式即可求得 m 的范围；解答： 解：（）依题意，M 是线段 AP 的中点，因为 A（1，0） ， ，所以 点 M 的坐标为 由于点 M 在椭圆 C 上，所以 ，解得 （）设 M（x 0，y 0） （ 1x 01） ，则 ，因为 M 是线段 AP 的中点，所以 P（2x 0+1，2y 0） 因为 OPOM，所以 ，所以 ，即 由 ，消去 y0，整理得 所以 ，当且仅当 时，上式等号成立所以 m 的取值范围是 点评：
12、本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为 0 是常用手段，要灵活运用19 （13 分） （2013 东城区一模）已知椭圆 （ab0）的两个焦点分别为 F1，F 2，离心率为 ，过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且 MNF2 的周长为 8（）求椭圆 C 的方程；（）过原点 O 的两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，证明：点 O 到直线 AB 的距离为定值，并求出这个定值7考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程1119409专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由MNF 2 的周长为 8，得 4
13、a=8，由 ，得 ，从而可求得 b；（）分情况进行讨论：由题意，当直线 AB 的斜率不存在，此时可设 A（x 0，x 0） ，B（x 0，x 0） ，再由A、B 在椭圆上可求 x0，此时易求点 O 到直线 AB 的距离；当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+m，代入椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程，知0，由 OAOB，得 x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx 1+m） （kx 2+m）=0，整理后代入韦达定理即可得 m，k 关系式，由点到直线的距离公式可求得点O 到直线 AB 的距离，综合两种情况可得结论，注意检验0解答： 解：（I）由题意知，4a=8，所以
14、a=2因为 ，所以 ，所以 b2=3所以椭圆 C 的方程为 （II）由题意，当直线 AB 的斜率不存在，此时可设 A（x 0，x 0） ，B （x 0，x 0） 又 A，B 两点在椭圆 C 上，所以 ， 所以点 O 到直线 AB 的距离 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+m由 消去 y 得（3+4k 2）x 2+8kmx+4m212=0由已知0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 所以 ， 因为 OAOB，所以 x1x2+y1y2=0所以 x1x2+（kx 1+m） （kx 2+m）=0，即 所以 整理得 7m2=12（k 2+1） ，满足 08所以点
15、 O 到直线 AB 的距离 为定值点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的常用知识，要熟练掌握19 （13 分） （2013 东城区二模）已知椭圆 C： （ab0）的离心率 e= ，原点到过点 A（a，0） ，B（0，b）的直线的距离是 （1）求椭圆 C 的方程；（2）若椭圆 C 上一动点 P（x 0，y 0）关于直线 y=2x 的对称点为 P1（x 1，y 1） ，求 x12+y12 的取值范围（3）如果直线 y=kx+1（k 0）交椭圆 C 于不同的两点 E，F，且 E，F 都在以 B 为圆心的圆上，求 k 的
16、值考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程1119409专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （1）利用椭圆的离心率 ，a 2=b2+c2，及其点到直线的距离公式即可得到 a，b；（2）利用轴对称即可得到点 P（x 0，y 0）与其对称点 P1（x 1，y 1）的坐标之间的关系，再利用点P（x 0，y 0）满足椭圆 C 的方程： 得到关系式，进而即可求出；（3）设 E（x 2，y 2） ，F（x 3，y 3） ，EF 的中点是 M（x M，y M） ，则 BMEF 得到关系式，把直线 EF 的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系即可解答： 解：（1） ，a 2=b2+c2，a=2
17、b原点到直线 AB： 的距离 ，解得 a=4，b=2故所求椭圆 C 的方程为 （2）点 P（x 0，y 0）关于直线 y=2x 的对称点为点 P1（x 1，y 1） ，解得 ， 9点 P（x 0，y 0）在椭圆 C： 上， 4x04， 的取值范围为4，16 （3）由题意 消去 y，整理得（1+4k 2）x 2+8kx12=0可知0设 E（x 2，y 2） ，F（x 3，y 3） ，EF 的中点是 M（x M，y M） ，则 ，则 ，y M=kxM+1= xM+kyM+2k=0即 又 k0， 点评： 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根
18、与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式等知识与方法，熟悉解题模式是解题的关键19 （14 分） （2013 朝阳区一模）已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 ，离心率为 ，点A 为其右顶点过点 B（1，0）作直线 l 与椭圆 C 相交于 E，F 两点，直线 AE，AF 与直线 x=3 分别交于点M，N（）求椭圆 C 的方程；（）求 的取值范围考点： 平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程803738 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设椭圆的方程为 ，依题意可得 a、b、c 的方程组，解之可得方程；10（）由（）可知点 A 的坐标为（ 2，0） （1）当直
19、线 l 的斜率不存在时，不妨设点 E 在 x 轴上方，可得 ；（2）当直线 l 的斜率存在时，写直线的方程，联立方程组，消 y 并整理得（4k 2+1）x28k2x+4k24=0进而由根与系数的关系表示出向量的数量积为 ，由 k 的范围可得其范围，综合可得解答：解：（）由题意，设椭圆的方程为 ，依题意得 解之可得 a2=4，b 2=1所以椭圆 C 的方程为 （4 分）（）由（）可知点 A 的坐标为（ 2，0） （1）当直线 l 的斜率不存在时，不妨设点 E 在 x 轴上方，易得 ， ，所以 （6 分）（2）当直线 l 的斜率存在时，由题意可设直线 l 的方程为 y=k（x1） ，显然 k=0
20、时，不符合题意由 消 y 并整理得（4k 2+1）x 28k2x+4k24=0设 E（x 1，y 1） ，F（x 2，y 2） ，则 直线 AE，AF 的方程分别为： ，令 x=3，则 所以 ， （10 分）所以= =11= = （12 分）因为 k20，所以 16k2+44，所以 ，即 综上所述， 的取值范围是 （14 分）点评： 本题考查平面向量数量积的运算，涉及椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系的应用，属中档题19 （14 分） （2013 朝阳区二模）已知椭圆 C： 的右焦点为 F（1，0） ，短轴的端点分别为 B1，B 2，且 =a（）求椭圆 C 的方程；（）过点 F 且斜率为
21、 k（k0）的直线 l 交椭圆于 M，N 两点，弦 MN 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D设弦MN 的中点为 P，试求 的取值范围考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程803738 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）利用数量积即可得到 1b2=a，又 a2b2=1，即可解得 a、b；（）把直线 l 的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系即可得到线段 MN 的中点 P 的坐标，利用弦长公式即可得到|MN|，利用点斜式即可得到线段 MN 的垂直平分线 DP 的方程，利用两点间的距离公式或点到直线的距离公式即可得到|DP|，进而得出 的关于斜率 k 的表达式，即可得到其取值范
22、围解答： 解：（）由题意不妨设 B1（0， b） ，B 2（0，b） ，则 ， =a，1b 2=a，又a 2b2=1，解得 a=2， 椭圆 C 的方程为 ；（）由题意得直线 l 的方程为 y=k（x 1） 12联立 得（3+4k 2）x 28k2x+4k212=0设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 ， 弦 MN 的中点 P |MN|= = =直线 PD 的方程为 |DP|= = = = 又 k2+11， ， 的取值范围是 点评： 熟练掌握直线与椭圆的相交问题转化为一元二次方程根与系数的关系、线段 MN 的中点坐标公式、弦长公式、点斜式、线段的垂直平分线的方程、两点间的距离公
23、式或点到直线的距离公式、不等式的性质是解题的关键18 （14 分） （2013 通州区一模）已知椭圆的中心在原点 O，短半轴的端点到其右焦点 F（2，0）的距离为 ，过焦点 F 作直线 l，交椭圆于 A，B 两点（）求这个椭圆的标准方程；（）若椭圆上有一点 C，使四边形 AOBC 恰好为平行四边形，求直线 l 的斜率考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程1119456专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程13分析：（）设椭圆方程为 ，由焦点坐标可得 c，由短轴端点到焦点距离可得 a，根据a2=b2+c2 可得 b；（）可判断直线 lx 轴时，不符合题意；设直线 l 的方程为 y=k（
24、x 2） ，点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，把 l 方程代入椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程，由四边形 AOBC 为平行四边形，得 ，根据韦达定理可得点 C 的坐标，代入椭圆方程即可求得 k 值；解答：解：（）由已知，可设椭圆方程为 ，则 a= ，c=2所以 b= = = ，所以椭圆方程为 （）若直线 lx 轴，则平行四边形 AOBC 中，点 C 与点 O 关于直线 l 对称，此时点 C 坐标为（2c，0） 因为 2ca，所以点 C 在椭圆外，所以直线 l 与 x 轴不垂直 于是，设直线 l 的方程为 y=k（x 2） ，点 A（x 1，y 1） ，B （ x2，y 2
25、） ，则 ，整理得， （3+5k 2）x 220k2x+20k230=0，所以 因为四边形 AOBC 为平行四边形，所以 ，所以点 C 的坐标为 ，所以 ，解得 k2=1，所以 k=1点评： 本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查向量的运算，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论思想，属中档题19 （14 分） （2013 顺义区一模）已知椭圆 C： +y2=1（a1）的上顶点为 A，左焦点为 F，直线 AF 与圆M：x 2+y2+6x2y+7=0 相切过点（0， ）的直线与椭圆 C 交于 P，Q 两点（I）求椭圆 C 的方程；14（II）当APQ 的面积达到最大时，求直线的方程考点：
26、 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；椭圆的标准方程1119456专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （I）写出直线 AF 的方程，由直线 AF 与圆 M 相切得关于 c 的方程，解出 c 再由 a2=c2+b2 即可求得 a 值；（II）易判断直线 PQ 的斜率存在，设出其点斜式方程，根据弦长公式表示出 PQ，根据点到直线的距离公式表示出点 A（0，1）到直线 PQ 的距离，由三角形面积公式可表示出APQ 的面积，根据该函数的结构特点转化为二次函数即可求得面积最大时 k 的值；解答： 解：（I）将圆 M 的一般方程 x2+y2+6x2y+7=0 化为标准方程（x+3） 2+
27、（y1） 2=3，则圆 M 的圆心M（3，1） ，半径 由 得直线 AF 的方程为 xcy+c=0由直线 AF 与圆 M 相切，得 ，解得 或 （舍去） 当 时，a 2=c2+1=3，故椭圆 C 的方程为 （II）由题意可知，直线 PQ 的斜率存在，设直线的斜率为 k，则直线 PQ 的方程为 因为点 在椭圆内，所以对任意 kR，直线都与椭圆 C 交于不同的两点由 得 设点 P，Q 的坐标分别为（ x1，y 1） ， （x 2，y 2） ，则，所以 = =又因为点 A（0，1）到直线 的距离 ，所以APQ 的面积为 设 ，则 0t 1 且 ， 15因为 0t1，所以当 t=1 时， APQ 的面
28、积 S 达到最大，此时 ，即 k=0故当APQ 的面积达到最大时，直线的方程为 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及直线与圆方程的求解，考查学生综合运用知识解决问题的能力，有关的基本公式、常用方程是解决问题的基础19 （14 分） （2013 顺义区二模）已知椭圆 的两个焦点分别为 F1，F 2，且|F 1F2|=2，点 P 在椭圆上，且 PF1F2 的周长为 6（I）求椭圆 C 的方程；（II）若点 P 的坐标为（2， 1） ，不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M，点 P到直线 l 的距离为 d，且 M， O，P 三点共线求 的最大值考
29、点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程1119456专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （I）利用椭圆的定义和焦距的定义可得 2c=2，2a+2c=6解得 a，c ，再利用 b2=a2c2 解出即可；（II）设直线 l 的方程为 y=kx+m（m 0） 与椭圆的方程联立，得到判别式 0 及根与系数的关系，由中点坐标公式得到中点 M 的坐标，利用 M，O，P 三点共线，得到 kOM=kOP，解得 k，再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到|AB| 2 及 d2，利用二次函数的单调性即可得出最值解答： 解：（I）由题意得 2c=2，2a+2c=6 解得 a=2，c=1，又 b2=a2
30、c2=3，所以椭圆 C 的方程为 （II）设 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） 当直线 l 与 x 轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点 M 在 x 轴上，且与 O 点不重合，显然 M，O，P 三点不共线，不符合题设条件故可设直线 l 的方程为 y=kx+m（m0） 由 消去 y 整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4m212=0则=64k 2m24（3+4k 2） （4m 212）0， ， 16所以点 M 的坐标为 M，O，P 三点共线，kOM=kOP， ，m0， 此时方程为 3x23mx+m23=0，则=3（12m 2）0，得 x1+x2=m， |AB|2= ，又 = ， =
31、 = ，故当 时， 的最大值为 点评： 熟练掌握椭圆的定义和焦距的定义及 b2=a2c2、直线与椭圆相交问题转化为把直线 l 的方程与椭圆的方程联立得到判别式0 及根与系数的关系、中点坐标公式、三点共线得到 kOM=kOP、弦长公式和点到直线的距离公式、二次函数的单调性是解题的关键本题需要较强的计算能力19 （14 分） （2013 石景山一模）设椭圆 C： 的左、右焦点分别为 F1、F 2，上顶点为A，在 x 轴负半轴上有一点 B，满足 ，且 ABAF2（）求椭圆 C 的离心率；（）若过 A、B、F 2 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆 C 的方程； （）在（）的条件下，过右焦点 F2 作斜
32、率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点，若点 P（m，0）使得以PM， PN 为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围17考点： 圆与圆锥曲线的综合；直线与圆的位置关系；椭圆的简单性质1119435专题： 综合题分析： （）由题意知 F1（ c，0） ， F2（c，0） ，A（0，b） ，由 知 F1 为 BF2 的中点，由 ABAF2，知 RtABF2 中，BF 22=AB2+AF22 ，由此能求出椭圆的离心率（）由 ，知 ， ， ，Rt ABF2 的外接圆圆心为（ ，0） ，半径 r=a，所以 ，由此能求出椭圆方程（）由 F2（1，0） ，l ：y=k（x1） ，设 M（x 1
33、，y 1） ，N （x 2，y 2） ，由 ，得（3+4k 2）x28k2x+4k212=0，由此能求出 m 的取值范围解答： 解：（）由题意知 F1（ c， 0） ，F 2（c，0） ，A（0，b） 知 F1 为 BF2 的中点，ABAF2RtABF2 中， BF22=AB2+AF22 ，又 a2=b2+c2a=2c故椭圆的离心率 （3 分）（）由（）知 得 ，于是 ， ，RtABF2 的外接圆圆心为（ ，0） ，半径 r=a，所以 ，解得 a=2，c=1， ，18所求椭圆方程为 （6 分）（）由（）知 F2（1，0） ，l：y=k（x1） ，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2）
34、 ，由 ，代入得（3+4k 2）x 28k2x+4k212=0则 ，y1+y2=k（x 1+x22）（8 分）由于菱形对角线垂直，则故 x1+x22m+k（y 1+y2）=0即 x1+x22m+k2（x 1+x22）=0，（10 分）由已知条件知 k0， 故 m 的取值范围是 （12 分）点评： 本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想19 （13 分） （2013 门头沟区一模）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到直线 l：x=2 的距离是到点 F（1，0）的距离的 倍（）求动
35、点 P 的轨迹方程；（）设直线 FP 与（）中曲线交于点 Q，与 l 交于点 A，分别过点 P 和 Q 作 l 的垂线，垂足为 M，N，问：是否存在点 P 使得 APM 的面积是 AQN 面积的 9 倍？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系803738 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （I）设点 P 的坐标为（ x，y） ，根据点到直线的距离公式和两点间的距离公式，结合题意建立关于 x、y19的等式，化简整理可得 x2+2y2=2，所以动点 P 的轨迹方程为椭圆 +y2=1；（II）设点 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y
36、2） 将直线 FP 方程 x=ty+1 与椭圆消去 x，得到关于 y 的一元二次方程，结合根与系数的关系得到 y1+y2 和 y1y2 关于 t 的表达式若 APM 的面积是AQN 面积的 9 倍，由平几知识可得AQNAPM，则 PM=3QN，结合椭圆的性质得 PF=3QF因此得到 y1=3y2 结合前面的等式，解出 t=1，从而得到存在点 P（0， 1）使得APM 的面积是AQN 面积的 9 倍解答： 解：（）设点 P 的坐标为（x，y） 由题意知 =|2x|（3 分）化简得 x2+2y2=2，动点 P 的轨迹方程为 x2+2y2=2，即 +y2=1（5 分）（）设直线 FP 的方程为 x=
37、ty+1，点 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2）因为AQNAPM，所以 PM=3QN，由已知得 PF=3QF，所以有 y1=3y2（1） （7 分）由 ，消去 x 得（t 2+2）y 2+2ty1=0，0 且 y1+y2= （2） ，y 1y2= （3）（10 分）联解（1） （2） （3） ，得 t=1， y1=1，y 2= 或 t=1，y 1=1，y 2=存在点 P（0，1）使得APM 的面积是 AQN 面积的 9 倍（13 分）点评： 本题给出动点 P 的轨迹是椭圆，探索椭圆的焦点弦所在直线与准线相交构成三角形的面积问题着重考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系和三角形
38、相似等知识，属于中档题19 （13 分） （2013 丰台区一模）已知以原点为对称中心、F（2，0）为右焦点的椭圆 C 过 P（2， ） ，直线l：y=kx+m（k 0）交椭圆 C 于不同的两点 A，B （）求椭圆 C 的方程；（）是否存在实数 k，使线段 AB 的垂直平分线经过点 Q（0，3）？若存在求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程1119456专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）设出椭圆方程，由给出的椭圆焦点和椭圆过点 P（2， ） ，联立列出关于 a，b 的方程组，求解后20则椭圆方程可求；（）存在实数 k，使线段 AB 的
39、垂直平分线经过点 Q（0，3） ，由给出的椭圆方程和直线 AB 方程联立，化为关于 x 的方程后有根与系数关系写出 AB 中点坐标，由 AB 的中点和 Q（0，3）的连线和直线 AB 垂直得到直线 AB 的斜率和截距的关系，代入判别时候不满足判别式大于 0，说明假设不成立，得到结论解答：解：（）设椭圆 C 的方程为 （a b0） ，c=2，且椭圆过点 P（2， ） ，所以 ，解得 a2=8，b 2=4，所以椭圆 C 的方程为 ；（）假设存在斜率为 k 的直线，其垂直平分线经过点 Q（0，3） ，设 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，AB 的中点为 N（x 0，y 0） ，由 ，得
40、（1+2k 2）x 2+4mkx+2m28=0，则=16m 2k24（1+2k 2） （2m 28）=64k 28m2+320，所以 8k2m2+40，又 ， ， ，线段 AB 的垂直平分线过点 Q（0，3） ，k NQk=1，即 ， m=3+6k2，代入0 整理，得 36k4+28k2+50，此式显然不成立不存在满足题意的 k 的值点评： 本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了设而不求的解题方法，属中档题19 （14 分） （2013 丰台区二模）已知椭圆 C： 的短轴的端点分别为 A，B，直线 AM，BM 分别与椭圆C 交于 E，F 两点，其中点 M （m ， ） 满
41、足 m0，且 （）求椭圆 C 的离心率 e；（）用 m 表示点 E，F 的坐标；（）若BME 面积是AMF 面积的 5 倍，求 m 的值考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质111945621专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）利用椭圆的离心率计算公式 ；（）利用点斜式分别写出直线 AM、BM 的方程，与椭圆的方程联立即可得到点 E、F 的坐标；（）利用三角形的面积公式及其关系得到 ，再利用坐标表示出即可得到 m 的值解答： 解：（）依题意知 a=2， ， ； （）A（0， 1） ，B （0，1） ，M （m ， ） ，且 m0，直线 AM 的斜率为 k1= ，直线 BM 斜率
42、为 k2= ，直线 AM 的方程为 y= ，直线 BM 的方程为 y= ，由 得（m 2+1） x24mx=0， ， ，由 得（9+m 2）x 212mx=0， ， ； （） ， ， AMF=BME，5S AMF=SBME，5|MA|MF|=|MB|ME|， ， ，m0， 整理方程得 ，即（m 23） （m 21）=0 ，又 ， m230，m 2=1，m=1 为所求点评： 熟练掌握椭圆的离心率、点斜式、直线与椭圆的相交问题的解题模式、三角形的面积计算公式、比例式如何用坐标表示是解题的关键19 （14 分） （2013 房山区一模）已知抛物线 C：y 2=2px 的焦点坐标为 F（1，0） ，过
43、 F 的直线 l 交抛物线 C 于A，B 两点，直线 AO，BO 分别与直线 m：x=2 相交于 M，N 两点（）求抛物线 C 的方程；22（）证明ABO 与MNO 的面积之比为定值考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程803738 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （I）根据焦点的坐标，求得 P 即可；（II）根据直线 L 与 x 轴是否垂直，分两种情况求解ABO 与MNO 的面积之比，验证即可解答： 解：（）由焦点坐标为（1，0）可知 ，p=2抛物线 C 的方程为 y2=4x（）当直线 l 垂直于 x 轴时， ABO 与 MNO 相似， 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直
44、线 AB 方程为 y=k（x 1） ，设 M（2，y M） ，N（2，y N） ，A （x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，解 整理得 k2x2（4+2k 2）x+k 2=0，x1x2=1 综上 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的关系及抛物线的标准方程19 （14 分） （2013 房山区二模）已知椭圆 C： 的离心率为 ，且过点 直线 交椭圆 C 于 B，D （不与点 A 重合）两点（）求椭圆 C 的方程；（）ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程803738 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析：
45、（）利用椭圆的标准方程、离心率及 a2=b2+c2 即可得出；（2）把直线 BD 的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|BD|，利用点到直线的距离公式即可得到点 A 到直线 BD 的距离，利用三角形的面积公式得到ABD 的面积，再利用基本不等式的性质即可得出其最大值23解答：解：（）由题意可得 ，解得 ，椭圆 C 的方程为 ；（）设 B（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） 由 消去 y 得到 ，直线与椭圆有两个不同的交点，=82m 20，解得2 m2 ， = 点 A 到直线 BD 的距离 d= = = = = 当且仅当 m= （ 2，2）时取等号当 时，ABD 的
46、面积取得最大值 点评： 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题的解题模式、根与系数的关系、判别式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、基本不等式的性质是解题的关键19 （14 分） （2013 大兴区一模）已知动点 P 到点 A（2，0）与点 B（2，0）的斜率之积为 ，点 P 的轨迹为曲线 C（）求曲线 C 的方程；（）若点 Q 为曲线 C 上的一点，直线 AQ，BQ 与直线 x=4 分别交于 M、N 两点，直线 BM 与椭圆的交点为D求证：A、D、N 三点共线考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程1119456专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析：
47、 （I）设 P 点坐标（ x，y） ，利用斜率计算公式即可得到 ，化简即可得到曲线 C 的方程；（II）由已知直线 AQ 的斜率存在且不等于 0，设方程为 y=k（x+2） ，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到 D，N 的坐标，证明 kAD=kAN即可得到 A、D、N 三点共线24解答： 解：（I）设 P 点坐标（x，y） ，则 （x 2） ， （x2） ，由已知 ，化简得： 所求曲线 C 的方程为 （x2） （II）由已知直线 AQ 的斜率存在且不等于 0，设方程为 y=k（x+2 ） ，由 ，消去 y 得：（1+4k 2）x 2+16k2x+16k24=0（1） 因为2， xQ 是方程（1）的两个根，所以 ，得 ，又 ，所以 当 x=4，得 yM
