1、简单曲线的极坐标方程1.在极坐标系中，求出满足下列条件的圆的极坐标方程圆心位置 极坐标方程 图 形圆心在极点(0，0)半径为 rr(02)圆心在点(r，0)半径为 r2rcos_( )2 2圆心在点(r， )2半径为 r2rsin_(0)圆心在点(r，)半径为 r2rcos_( )2 32圆心在点(r， )32半径为 r2rsin_( 0)圆心 C(0， 0)，半径为 r22 0cos( 0) r 20.202.在极坐标系中，求出满足下列条件的直线的极坐标方程直线位置 极坐标方程 图 形过极点，倾斜角为 (1)(R) 或 ( R) (2)(0) 和 (0)过点(a，0)，且与极轴垂直cos_a
2、 (22)过点 ，且与极轴平行(a，2)sin_a(0)过点(a，0) 倾斜角为 sin()asin (0)过点 P(0， 0)，倾斜角为 sin( ) 0sin( 0)3.将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程xy0；x 2y 22ax0(a0)(2)将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；并判定曲线形状：cos 2；2cos ； 2cos 22； .11 cos 思路点拨 (1)先把公式 xcos ，y sin 代入曲线(含直线) 的直角坐标方程，再化简(2)先利用公式 cos x，sin y， 2x 2y 2 代入曲线的极坐标方程，再化简解 (1)将 x cos ，y sin 代入 xy
3、 0 得 cos sin 0，即 (sin cos )0，tan 1， (0) 和 (0)，34 74直线 xy0 的极坐标方程为 (0) 和 ( 0)34 74将 xcos ，ysin 代入 x2y 22ax0 得22acos 0，0 或 2acos .又 0 表示极点，而极点在圆 2acos 上所求极坐标方程为 2 acos (2)cos 2，x 2，即直线 cos 2 的直角坐标方程为 x2，它表示过点(2，0)且垂直于 x 轴的直线，2cos ， 22cos ，即 x2y 22x.(x1) 2y 2 1，即 2cos 的直角坐标方程它表示圆心为(1，0)，半径为 1 的圆 2cos 2
4、2， 2(cos2sin 2)2，即 2cos2 2sin22，x 2y 22，故曲线是中心在原点，焦点在 x 轴上的等轴双曲线 ，1cos ，11 cos 1x ，x2 y2两边平方并整理得 y22 ，(x 12)故曲线是顶点为 ，焦点为 F(0，0)，准线方程为 x1 的抛物线( 12，0)4.曲线 x2y 22 的极坐标方程是 _x2 y2解析：x 2y 2 2，0， ，x2 y2x 2y 22 可化为 22，即 (2) 0.x2 y2答案：( 2)05.曲线 sin 0 的直角坐标方程是 _( 4)解析：sin 0， sin cos 0，( 4) 22 22sin cos 0，即 xy
5、0.答案：xy06.圆 5cos 5 sin 的圆心坐标是( )3A. B.(5， 23) (5， 23)C. D.(5，3) (5， 53)解析：选 D.5cos 5 sin ，3 25cos 5 sin ，3x 2y 25x 5 y，3 25，(x 52)2 (y 532)2 圆心 C ， 5，(52， 532) 254 754tan ，yx 3 53圆心 C 的极坐标为 C .(5，53)7.极坐标方程 cos( )表示的曲线是( )4A双曲线 B椭圆C抛物线 D圆解析：选 D.cos ，即 (cos sin )，(4 ) 22 2 (cos sin )，22x 2y 2 x y，即 .
6、22 22 (x 24)2(y24)2148.曲线的极坐标方程为 tan ，则曲线的直角坐标方程为 _1cos 解析：tan ，1cos cos 2sin ， 2cos2 sin，x 2y.答案：x 2y9.直线 2cos 1 与圆 2cos 相交的弦长为_解析 (1)由公式 x cos ，ysin ，得直线 2cos 1 的直角坐标方程为2x1，圆 2cos 22cos 的直角坐标方程为 x2y 22x0(x 1) 2y 21，由于圆心(1，0)到直线的距离为 1 ，所以弦长为 2 .12 12 1 (12)2 310.已知圆的极坐标方程为 4cos ，圆心为 C，点 P 的极坐标为 ，则(
7、4，3)|CP|_(2)由圆的极坐标方程 4cos 得 24 cos ，化为直角坐标方程为 x2y 24x 0，所以(x 2)2y 24，所以圆心 C(2，0)，半径 r |OC|2，如图，在OCP 中，POC ，|OP|4.3由余弦定理，得|PC| 2|OP| 2 |OC|22|OP|OC |cos POC4 22 2242cos 12，3所以|PC |2 .3答案 (1) (2)23 311.(2015高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C2：(x1)2(y 2)21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C 2 的极坐标方程；(2)若直线 C3 的极坐标方程为 (R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求4C2MN 的面积解 (1)因为 x cos ，y sin ，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2，C 2 的极坐标方程为 22cos 4 sin 40.(2)将 代入 22cos 4 sin 40，得423 40，解得 12 ， 2 .2 2 2故 1 2 ，即|MN| .2 2由于 C2 的半径为 1，所以C 2MN 的面积为 .12
