1、极坐标与参数方程 一、极坐标知识点1.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示 ,在平面内取一个定点 ,叫做极点,自极点 引一条射OO线 ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆Ox时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设 M 是平面内一点,极点 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ;以极轴 为始OOx边,射线 为终边的角 叫做点 M 的极角
2、,记为 .有序数对 叫做点 M 的极坐Ox(,)标,记作 .(,)一般地,不作特殊说明时,我们认为 可取任意实数.0,特别地,当点 在极点时,它的极坐标为 (0, )( R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 表示;0,2 (,)同时,极坐标 表示的点也是唯一确定的.()2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设 是坐标平面内任意一点 ,它的直角坐标是 ,极坐标是 (M()xy,),于是极坐标与直角坐标的互化公式
3、如表:0点 直角坐标 (,)xy极坐标 (,)互化公式cosiny22tan(0)xy在一般情况下,由 确定角时,可根据点 所在的象限最小正角.tanM3.常见圆与直线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为 的圆r(02)r圆心为 ,半径(0)为 的圆r2cos()2r圆心为 ,半()2径为 的圆r）（ 0sinr过极点,倾斜角为的直线(1)()()RR或(2) 00和过点 ,与极轴(0)a垂直的直线cos()2a过点 ,与极()2a轴平行的直线sin(0)a注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的()2),(),()唯一性明显不同.所以
4、对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程 点 可以表示为,(,)4M等多种形式,其中,只有 的极坐标满足方5(,2)(,2)444或 或 - (,)4程 .二、考点阐述考点 1、极坐标与直角坐标互化例题 1、在极坐标中，求两点 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方)4,2(),QP程。解：两点的直角坐标为 它们之间的距离 .),(),( 2PQ由于直线 垂直于极轴，且距离极点 ，所以直线的极坐标方程为PQ2cos练习 1.1、已知曲线 的极坐标方程分别为 ，12C， cos3，求曲线 与 交点的极坐标4cos0， 1C2解：我们通过联立解方
5、程组 解得 ,即两曲线的cos3(0,)4236交点为 。(23,)612. 已知圆 C： ，则圆心 C 的极坐标为_22(1)(3)1xy(0,2)答案：（ ）3练习 1.3 已知点 c 极坐标为 ，求出以 C 为圆心，半径 r=2 的圆的极坐标方程（写出(2,)3解题过程） ；解 ：1M（ ） 如 图 所 示 ， 设 为 圆 上 一 点 ， (,)2OC4cos()43 3 则 或 ， 由 余 弦 定 理 得4cos()极 坐 标 方 程 为 =。考点 2、极坐标与直角坐标方程互化例题 2、已知曲线 的极坐标方程是 以极点为平面直角坐标系的原4sin点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标
6、系，直线 的参数方程是x l参数） ，点 是曲线 上的动点，点 是直线 上的动点，求| |(24tty为 PCQlPQ的最小值解：曲线 的极坐标方程 可化为 ,C4sin24sin其直角坐标方程为 ，即 . （3分）20xy()xy直线 的方程为 .所以圆心到直线 的距离 （6分）l4l24d所以， 的最小值为 . （10分）PQ32练习 2.1、设过原点 O的直线与圆 C： 2(1)xy的一个交点为 P，点 M为线段的中点。(1) 求圆 C 的极坐标方程；(2) 求点 M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线解：圆 2(1)xy的极坐标方程为 2cos4 分设点 P的极坐标为 1(,)，点
7、的极坐标为 (,)，点 M为线段 OP的中点， 12， 1 7 分 将 12， 1代入圆的极坐标方程，得 cos点 轨迹的极坐标方程为 cos，它表示圆心在点 1(,0)2，半径为 12的圆 10 分练习 2.2（2015理数）(23)(本小题满分 10 分) 选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中.直线 1C:x2，圆 2：( x1) 2(y2) 21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I） 求 1， 2的极坐标方程；（II） 若直线 3的极坐标方程为 4R，设 2C与 3的交点为 M， N ，求C2MN 的面积 （23）解：（I）因为 cosx， sin
8、y，所以 1的极坐标方程为 cos2，2的极坐标方程为 240。 5 分（II）将 4代入 2cosin4，得 2340，解得12， 2。故 12，即 MN。由于 C的半径为 1，所以 C的面积为 12。 10分二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数,xyt,并且对于 的每一个允许值 ,由方程组所确定的点 都在这条曲线上,那()xftygt ()M么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 的变数 叫做参变数,简称参数,相对于,xyt参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参
9、数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数 中的一个与参数 的关系,例如 ,把它代入普通方程,求,xyt()xft出另一个变数与参数的关系 ,那么 就是曲线的参数方程,在参数方程与()ygt()xftyg普通方程的互化中,必须使 的取值范围保持一致.,x注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆 的半径为 ，点 从初始位置 出发，按逆时针方向在圆 上作OrM0 O匀速圆周运动，设 ，则 。(,)
10、xycos()in为 参 数这就是圆心在原点 ，半径为 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 转过的角r0M度。圆心为 ，半径为 的圆的普通方程是 ，(,)abr22()()xaybr它的参数方程为： 。cosinxay为 参 数4椭圆的参数方程以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 其Ox21(0),xyab参数方程为 ，其中参数 称为离心角；焦点在 轴上的椭圆的标cos()inxayb为 参 数 准方程是 其参数方程为 其中参数 仍为离21(0),acos(),inxbya为 参 数 心角，通常规定参数 的范围为 0，2 ） 。注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点
11、的离心角，要把它和这一点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 到 0的范围内） ，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当 时，相应地也2 02有 ，在其他象限内类似。05双曲线的参数方程（了解）以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的双曲线的标准议程为Ox其参数方程为 ，其中21(0,),xyabsec()tanxyb为 参 数3,),.2且焦点在 轴上的双曲线的标准方程是 其参数方程为y21(0,),yxabcot(0,).sxbea为 参 数 ， 其 中 且以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线 的参数方
12、程为2(0)ypx2().xpty为 参 数7直线的参数方程经过点 ，倾斜角为 的直线 的普通方程是0(,)Mxy()2l而过 ，倾斜角为 的直线 的参数方程为0tany0,xyl。0cosixt()t为 参 数注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 ，倾斜角为 的直线 的参0(,)Mxyl数方程为 ，其中 表示直线 上以定点 为起点，任一点0cosinxty()t为 参 数 tl0为终点的有向线段 的数量，当点 在 上方时， 0；当点 在(,)M00tM下方时， 0；当点 与 重合时， =0。我们也可以把参数 理解为以 为原0tMt 0点，直线 向上的方向为正方向的数轴上的点 的坐标，其单
13、位长度与原直角坐标系中的l单位长度相同。考点 3、参数方程与直角坐标方程互化例题 3：已知曲线 1C的参数方程为 sin10co2yx（ 为参数） ，曲线 2C的极坐标方程为 sin6co2（1）将曲线 1C的参数方程化为普通方程，将曲线 2C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线 1， 2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由解：（1）由 sin0coyx得 10)2(yx曲线 1C的普通方程为 si6co2 sin6co2 sin,co,2yxy x2，即 10)3()1(22曲线 2C的直角坐标方程为 yx（分）（2）圆 1的圆心为 )0,2(，圆 2C的圆心为 ),(
14、 103(两圆相交设相交弦长为 d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段 21C 222)10()3() 2d 公共弦长为 （10 分）练习 3.1（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程.已知曲线 C： 为参数，0 2)，(sin21coyx（）将曲线化为普通方程；（）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点， 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极x坐标方程（） 5 分032yxyx（） 10 分sinco练习 3.2 已知曲线 C1： ，曲线 C2： 。()iy为 参 数 2()xty为 参 数（1）指出 C1，C 2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数；（2）若把 C1
15、，C 2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 ， 。写1C2出 ， 的参数方程。 与 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相 12同？说明你的理由。练习 3.3(2014II)（23）(本小题满分 10 分) 选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C的极坐标方程为 2cos,02.（1）求 C得参数方程；（2）设点 D在 上， 在 处的切线与直线 :32lyx垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定 的坐标.（23）解： （I）C 的普通方程为 2(1)(0)x. 可得 C 的参数方程为 1cos,
16、inxty（t 为参数， 0t）（）设 D (s,in)t.由（I ）知 C 是以 G（ 1,0）为圆心，1 为半径的上半圆。因为 C 在点 D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同, tan3,t. 故 D 的直角坐标为 (1cos,in)3，即 3(,)2。练习 3.4（2013） （23） （本小题 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 45sinxty( 为参数） ，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2sin。（）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1 与 C2 交点的极坐标（0
17、,02） 。【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.【解析】将 45cosinxty消去参数 t，化为普通方程 22(4)(5)xy，即 1C： 28106，将 cosinxy代入 28106x得，2cosin， 1的极坐标方程为 28cos10i60；（） 2C的普通方程为 xy，由 2106xy解得 1x或 2y， 1C与 2的交点的极坐标分别为（ ,4） ， (,).练习 3.5(2015II)23 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy中，曲线 1cos,:inxt
18、Cy（ t为参数， 0t） ，其中 ，在以 O为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2:sinC，曲线3:2cosC（）.求 与 1交点的直角坐标；（）.若 2与 相交于点 A， 3C与 1相交于点 B，求 A的最大值【答案】 （） (0,)和 ,)2；（） 4解：（）曲线 2的直角坐标方程为 20xy，曲线 3C的直角坐标方程为230xyx联立2,30xyx解得 ,xy或,2,所以 2与 1C交点的直角坐标为 (0,)和 3,)2（）曲线 1C的极坐标方程为 (,0)R，其中 因此 A得到极坐标为 (2sin,)， B的极坐标为 3cos所以 2sin3cosAB4i3，当 56时，
19、AB取得最大值，最大值为 4考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值考点 4：利用参数方程求求值域例题 4、在曲线 ： 上求一点，使它到直线 ：1C）yx为 参 数(sinco2C的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。2(1xty为 参 数 ）解：直线 C2 化成普通方程是 x+y-2 -1=02 分2设所求的点为 P（1+cos ,sin ),3 分则 C 到直线 C2 的距离 d= 5 分2|1sinco1| =|sin( + )+2|7 分4当 时，即 = 时，d 取最小值 19 分2345此时，点 P 的坐标是（1- ，- ） 10 分2练习 4.1.在平面直角坐
20、标系 xOy 中，动圆 的圆2 28cos6in7cos80xyy+-+=心为 ，求 的取值范围 (,)xyxy-【解】由题设得 （ 为参数）.3 分sin3co4于是 ， 6 分28cosi7()xy所以 . 10 分73 练习 4.2 （本小题满分 10 分）已知曲线 C的极坐标方程是 sin2，设直线 L的参数方程是,5423tyx（ t为参数） （）将曲线 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（）设直线 L与 x轴的交点是 M， N曲线 C上一动点，求 MN的最大值.答案：（本小题满分 10 分）解：（1）曲线 C的极坐标方程可化为： sin2又 ,cos,22yyx.所以，曲线 的直角坐
21、标方程为： 02x.（2）将直线 L的参数方程化为直角坐标方程得：)2(34x令 0y 得 2x即 M点的坐标为 ),2(又曲线 C为圆，圆 的圆心坐标为 10，半径 r，则 5M 5rCN练习 4.3（2014理数）3. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 ：2149xy，直线 l： 2xty（ 为参数）.()写出曲线 C的参数方程，直线 l的普通方程；（）过曲线 上任一点 P作与 夹角为 o30的直线，交 l于点 A，求 |P的最大值与最小值.【解析】：.() 曲线 C 的参数方程为： 2cs3inxy （ 为参数） ， 直线 l 的普通方程为： 260xy 5
22、分 （） （2）在曲线 C 上任意取一点 P (2cos,3sin )到 的距离为l54cos3ind，则 025| si6siPA，其中 为锐角且 4tan3.当 in1时， |PA取得最大值，最大值为 25；当 sin1时， |PA取得最小值，最小值为 25. 10 分考点 5：直线参数方程中的参数的几何意义考点易错点二：直线参数方程中 的几何意义的应用t表示直线上任意一点到定点 的距离.为 参 数 ）（ tyxsinco0t 0(,)Pxy直线参数方程 （ 为参数） ，椭圆方程 ，相交于为 参 数 ）（ tyxsic0t 2:1Cab+=两点，直线上定点,AB0(,)P将直线的参数方程带
23、入椭圆方程，得到关于 的一元二次方程，则：t21211()4ttt=-+- 0 21121tttPBA若 为 的中点，则 21tPBA MPM+=例题 5：已知直线 l经过点 (1,)P,倾斜角 6，写出直线 的参数方程;设 l与圆 42yx相交与两点 ,AB，求点 P到 ,两点的距离之积.解 （1）直线的参数方程为1cos6inxty，即312xty 3 分（2）把直线312xty代入 42x，得 2231(1)()4,(31)20ttt， 12t， 6 分则点 P到 ,AB两点的距离之积为 10 分练习 5.1 求直线 （ ）被曲线 所截的弦长.153xty为 参 数 2cos()4解：将
24、方程 ， 分别化为普通方程：4153xty2cos()4， -(5 分)340x20,xy217.05dd1 1圆 心 C（ ， ） ， 半 径 为 圆 心 到 直 线 的 距 离 ， 弦 长 2r0-10 分练习 5.2 已知直线 ).3cos(2.3),21( 圆 方 程的 直 线倾 斜 角 为是 过 点 Pl（I）求直线 l 的参数方程；（II）设直线 l 与圆相交于 M、N 两点，求|PM|PN|的值。解：（） l的参数方程为1cos,3()2in.xtty为 参 数，即1,2()3.xty为 参 数。 5 分（）由 cos,in.xy可将 2cos()3，化简得 230xy。将直线 l的参数方程代入圆方程得 6.tt 1263t， 12|PMNA。 10 分
