1、几何证明压轴题（中考）1、如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，BCD=90,且 AB=1，BC=2 ，tanADC=2.(1) 求证：DC=BC;(2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且 EDC=FBC，DE=BF，试判断ECF 的形状，并证明你的结论；(3) 在（2）的条件下，当 BE：CE=1：2，BEC=135时，求 sinBFE 的值. 解析 （1 ）过 A作 DC的垂线 AM交 DC于 M,则 AM=BC=2.又 tanADC=2,所以 .即 DC=BC.12DM(2)等腰三角形.证明：因为 .,EFCBDC所以，DECBFC所以， .,C所以， 90BEEB即ECF 是等腰
2、直角三角形.（3）设 ,则 ，所以 .Ek2Fk2k因为 ，又 ，所以 .135C45F所以 22()BF所以 .sink2、已知：如图，在 ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AGDB 交 CB 的延长线于 G（1）求证：ADECBF；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论解析 （1 ）四边形 ABCD 是平行四边形，1C，ADCB ，AB CD 点 E 、F 分别是 AB、CD 的中点，AE AB ，CF CD 221AECFADE CBF （2）当四边形 BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形四边形 A
3、BCD 是平行四边形，ADBC EBFCDAAGBD ，四边形 AGBD 是平行四边形 四边形 BEDF 是菱形，DEBE AEBE ，AEBEDE 12，341234180，22231802390即ADB90 四边形 AGBD 是矩形3、如图 131，一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O（点 O 也是 BD 中点）按顺时针方向旋转（1）如图 132，当 EF 与 AB 相交于点 M，GF 与 BD 相交于点 N 时，通过观察或测量 BM，FN 的 长度，猜想 BM，FN 满足的
4、数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺 GEF 旋转到如图 133 所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相交于点 M，线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N，此时， （1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由解析 （1） BM=FN 证明：GEF 是等腰直角三角形，四边形 ABCD 是正方形， ABD =F =45，OB = OF又BOM=FON， OBMOFN BM=FN （2） BM=FN 仍然成立 （3） 证明：GEF 是等腰直角三角形，四边形 ABCD 是正方形，DBA=GFE =45，OB=OF MBO=NFO=135 又MOB=NOF
5、， OBM OFN BM=FN 图 132EA BDGFOMNC图 133A BDGEFOMNC图 131A( G ) B( E )COD( F )4、如图，已知O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于 E，连结 AD、BD、OC、OD ，且 OD5。（1）若 ，求 CD 的长；sin BAD35（2）若 ADO：EDO4：1，求扇形 OAC（阴影部分）的面积（结果保留 ） 。解析 （1 ）因为 AB 是O 的直径，OD5所以ADB90，AB10 在 RtABD 中， sin BAD又 ，所以 ，所以sin 351035B6AD2268因为ADB90，ABCD所以 EBDCE， 所以 1086所以
6、 245所以 C（2）因为 AB 是O 的直径，ABCD所以 BDA ，所以BADCDB，AOC AOD因为 AODO，所以BADADO所以CDBADO设ADO4x，则CDB4x由ADO：EDO4：1，则EDO x因为ADOEDOEDB90所以 90x所以 x10所以AOD180（OADADO）100所以AOCAOD 100SOAC扇 形 136051285、如图，已知：C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，CHAB 于点 H，直线 AC 与过B 点的切线相交于点 D，E 为 CH 中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F，直线 CF 交直线 AB于点 G.（1）求证：点 F 是 BD
7、中点；（2）求证：CG 是O 的切线；（3）若 FB=FE=2，求O 的半径解析 (1)证明：CHAB，DBAB，AEHAFB，ACEADF ，HE EC，BFFD FDCEABH(2)方法一：连接 CB、OC，AB 是直径，ACB 90F 是 BD 中点，BCF= CBF=90- CBA= CAB= ACOOCF=90,CG 是O 的切线-6 方法二：可证明OCFOBF(参照方法一标准得分)(3)解：由 FC=FB=FE 得：FCE=FEC可证得：FAFG ，且 ABBG由切割线定理得：（2FG） 2BGAG=2BG 2 1在 Rt BGF 中，由勾股定理得：BG 2FG 2BF 2 2由
8、、 得：FG 2-4FG-12=0 1 2解之得：FG 16，FG 22（舍去）ABBG 4O 半径为 26、如图，已知 O 为原点，点 A 的坐标为（4，3） ，A 的半径为 2过 A 作直线 平行于 轴，点 P 在直线 上运动lxl（）当点 P 在O 上时，请你直接写出它的坐标；（）设点 P 的横坐标为 12，试判断直线 OP 与A 的位置关系，并说明理由.解析解: 点 P 的坐标是（2,3）或（6,3）作 ACOP, C 为垂足.ACP=OBP= ,1= 190ACPOBP AOB在 中, ,又 AP=12-4=8, PRt2153OBP8315ACAC= 1.94 241531.942
9、OP 与A 相交 . 7、如图，延长O 的半径 OA 到 B，使 OA=AB，DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点 B 作 DE 的垂线，垂足为点 C.求证：ACB= OAC.31解析证明：连结 OE、AE ，并过点 A 作 AFDE 于点 F， （3 分）DE 是圆的一条切线，E 是切点，OEDC，又BCDE,OEAFBC . 1= ACB，2=3.OA=OE，4=3. 4=2. 又点 A 是 OB 的中点，点 F 是 EC 的中点. AE=AC. 1=2. 4=2= 1. 即ACB= OAC.38、如图，一架长 4米的梯子 AB 斜靠在与地面 OM 垂直的墙壁 ON 上，梯子与地面的倾斜
10、角 为 60求 AO 与 BO 的长；若梯子顶端 A 沿 NO 下滑，同时底端 B 沿 OM 向右滑行 .如图 2，设 A 点下滑到 C 点，B 点向右滑行到 D 点，并且 AC:BD=2:3，试计算梯子顶端 A 沿 NO 下滑多少米；如图，当 A 点下滑到 A点，B 点向右滑行到 B点时，梯子 AB 的中点 P 也随之运CA BDOE动到 P点若POP ，试求 AA的长15解析 中,O= ,=ABRt906,OAB= ，又4 米，3 米.12米. - (3 分)3sin60设 在 中,ACxBDCORt2324Ox根据勾股定理: 2 - (5 分) 3 2180xx 012 - (7 分)3AC=2x= 641即梯子顶端 A 沿 NO 下滑了 米. 16324- (8 分)点 P 和点 分别是 的斜边OBRtAB 与 的斜边 的中点BRt ， - (9 分) - (10 分),PAOAO 15P 30 - (11 分)45 - (12 分)2cos45AOB 米. - (13 分)(3)
