1、- 1 -真题汇编：解析几何3、解答题部分19.【2012 高考江苏 19】 （16 分）如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ，xoy21(0)xyab1(0)Fc，已知 和 都在椭圆上，其中 为椭圆的离心率2(0)Fc， (1)e， 32， e（1）求椭圆的方程；（2）设 是椭圆上位于 轴上方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点 P,ABx1AF2B2A1B（i）若 ，求直线 的斜率；（ii）求证： 是定值126A1F12P20.【2012 高考真题浙江理 21】(本小题满分 15 分)如图，椭圆 C： (ab0)的2+1xy
2、离心率为 ，其左焦点到点 P(2，1)的距离为 不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A，B1210两点，且线段 AB 被直线 OP 平分()求椭圆 C 的方程；() 求 ABP 的面积取最大时直线 l 的方程21.【2012 高考真题辽宁理 20】(本小题满分 12 分)如图，椭圆 ：0，a，b 为常数)，动圆 ， 。点 分别为 的左，右顶点，21(0xyab2211:Cxyt1bta12,A0C与 相交于 A，B，C，D 四点。10()求直线 与直线 交点 M 的轨迹方程;12()设动圆 与 相交于 四点，其中 ，2:xyt0/,ABD2bta。若矩形 与矩形 的面积相等，证明： 为定
3、值。12t/ 21t22.【2012 高考真题湖北理】 （本小题满分 13 分）设 是单位圆 xy上的任意一点， l是过点 A与 x轴垂直的直线，D是直线 l与 x 轴的交点，点 在直线 l上，且满足 |(0,1)mA且 . 当点 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C（）求曲线 的方程，判断曲线 C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为 k的直线交曲线 于 P， Q两点，其中 P在第一象限，它在 y轴上的射影为点 N，直线 Q交曲线于另一点 H. 是否存在 m，使得对任意的 0k，都有 H？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 23.【2012 高考真题北京理 19】 （
4、本小题共 14 分）- 2 -24.【2012 高考真题广东理 20】 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1： 的2(0)xyab离心率 e= ，且椭圆 C 上的点到 Q（0，2）的距离的最大值为 3.23（1）求椭圆 C 的方程；（2）在椭圆 C 上，是否存在点 M（m,n）使得直线 ：mx+ny=1 与圆 O：x 2+y2=1 相交于不同的两点 A、B，且OAB 的面积最l大？若存在，求出点 M 的坐标及相对应的 OAB 的面积；若不存在，请说明理由25.【2012 高考真题重庆理 20】 （本小题满分 12 分（）小问 5 分（）小问 7 分）如图，设椭圆
5、的中心为原点 O，长轴在 x轴上，上顶点为 A，左右焦点分别为 ，线段 的中点分别为 ，且 是面积为 4 的直角三角形.21,F21,B21（）求该椭圆的离心率和标准方程；（）过 做直线 交椭圆于 P，Q 两点，使 ，求直线 的方程l 2Bl26.【2012 高考真题四川理 21】(本小题满分 12 分) 如图，动点 到两定点 、 构成 ，且M(1,0)A(2,)BMAB，设动点 的轨迹为 。2MBAMC（）求轨迹 的方程；C（）设直线 与 轴交于点 ，与轨迹 相交于点 ，且 ，求 的取值范围。yxmyPQR、 |P|RQ yxBAOM27.【2012 高考真题新课标理 20】 （本小题满分
6、12 分）设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ，2:(0)CxpyFlAC已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 两点；FFl,BD（1）若 ， 的面积为 ；求 的值及圆 的方程；09BDA24pF（2）若 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公共点，,Amnn求坐标原点到 距离的比值.n28.【2012 高考真题福建理 19】如图，椭圆 E： 的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 .过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点，且ABF2 的周长为 8.- 3 -（）求椭圆 E 的方程.（）设动直线 l：y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x=4 相较于点
7、Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.29.【2012 高考真题上海理 22】 （4+6+6=16 分）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： xOy1C122yx（1）过 的左顶点引 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 轴围成的三角形的面积；1C1（2）设斜率为 1 的直线 交 于 、 两点，若 与圆 相切，求证： ；lPQl12OQP（3）设椭圆 ： ，若 、 分别是 、 上的动点，且 ，求证： 到直线 的距242yxN1CNMMN离是定值.30.【2012 高考真题陕西理 19】本小题满分 1
8、2 分）已知椭圆 ，椭圆 以 的长轴为短轴，且与 有相21:4xy2C11C同的离心率。（1）求椭圆 的方程；2C（2）设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 和 上， ，求直线 的方程。1C2OBAB31.【2012 高考真题山东理 21】 （本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 中， 是抛物线 的焦点，xyF2:(0)Cxpy是抛物线 上位于第一象限内的任意一点，过 三点的圆的圆心为 ，点 到抛物线 的准线的距离为 .M,MFQ34（）求抛物线 的方程；C（）是否存在点 ，使得直线 与抛物线 相切于点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由；QCM（）若点 的横坐标为 ，直线
9、与抛物线 有两个不同的交点 ， 与圆 有两个不同的交点21:4lykx,ABl，求当 时， 的最小值.,DE1k2ABDE32.【2012 高考真题江西理 21】 （本题满分 13 分）已知三点 O（0,0 ） ，A （-2,1 ） ，B（2,1） ，曲线 C 上任意一点 M（x ，y）满足 .()MABO（1） 求曲线 C 的方程；（2） 动点 Q（x 0，y 0） （-2x 02）在曲线 C 上，曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向：是否存在定点 P（0，t ） （t0） ，使得 l与 PA，PB 都不相交，交点分别为 D,E，且QAB 与PDE 的面积之比是常数？若存在，求 t 的值。
10、若不存在，说明理由。33.【2012 高考真题全国卷理 21】 （本小题满分 12 分） （注意：在试卷上作答无效）已知抛物线 C：y=(x+1) 2 与圆 M：（x-1）2+( )2=r2(r0)有一个公共点，且在 A 处两曲线的切线为同一直线 l.1y（）求 r；（）设 m、n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线，m、n 的交点为 D，求 D 到 l 的距离.34.【2012 高考真题天津理 19】 （本小题满分 14 分）设椭圆21(0)xyab的左、右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上且异于 A，B 两点，O 为坐标原点.（）若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 21，求
11、椭圆的离心率；（）若|AP|=|OA|，证明直线 OP 的斜率 k 满足 .335.【2012 高考真题湖南理 21】 （本小题满分 13 分）www.z%zstep.co*&m在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的点均在 C2：（x-5） 2y 2=9 外，且对 C1上任意一点 M，M 到直线 x=2 的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（）求曲线 C1的方程；（）设 P(x0,y0)（y 03）为圆 C2外一点，过 P 作圆 C2的两条切线，分别与曲线 C1相交于点 A，B 和 C，D.证明：当 P 在- 4 -直线 x=4 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为定值.19.
12、【2012 高考江苏 19】 （16 分） 【答案】解：（1）由题设知， ，由点 在椭圆上，得22=cabea， (1)e， 。由点 在椭圆上，得22221=1ecbcaaba232，椭圆的方程为 。22224224433131 =0ecaaabaa21xy（ 2） 由 （ 1） 得 ， ，又 ，设 、 的方程分别为 ，(0)F， 2()， 1AF2B1AF2B1=my，。 。1212AxyBy， ， ， ， ， 2111 =0=xymy 。2222222111=0=Fxymy 同理， 。（i）由得， 。解 得22B2121mAFB216=m=2。m注意到 ， 。 直线 的斜率为 。0=1AF
13、=2m（ii）证明： ， ，即 。1AF2B21P12111BFPFBAA。 由点 在椭圆上知， ， 。同理。12=PB2 122=BF。211FAFAB2 22121 1+= 2AFBPBF 由得， ， ， 。 是定值。1mAF2=mA123+=P12PF20.【2012 高考真题浙江理 21】 【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。 【答案】() 由题： ； (1)左焦点(c，0) 到点 P(2，1)的距离为：12cea 2()dc (2)由(1) (2)可解得： 所求椭圆 C 的方程为： ()易得直线 OP 的方程：y
14、1022243ab， ， 2+143xyx，设 A(xA，y A)，B (xB，y B)，R(x 0，y 0)其中 y0 x0A，B 在椭圆上，2 1- 5 - 设直线 AB 的方程为 l：y (m0) ，2 0+1 2334344AABABBBxy xyxkxyy 32x代入椭圆： 显然 222+143330xyxm - 222(3)4(3)(1)0m m 且 m0 由上又有： m， 12ABxABy23|AB| | | 点 P(2，1)到直线 l 的距离表示为：ABkx1Bk2()4x1Ak24mS ABP d|AB| |m2| ，当| m2| ，即 m3 或 m0(舍去)312ABABd
15、1232时，(S ABP)max 此时直线 l 的方程 y 32x21.【2012 高考真题辽宁理 20】 【答案】【点评】在求解点 的轨迹方程时，要注意首先写出直线 和直线 的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。M1AB222.【2012 高考真题湖北理】 【答案 】 （）如图 1，设 (,)Mxy， 0(,)，则由 |(0,1)DMmA且 ，可得 0x， 0|ym，所以 0x， 0|ym. 因为 点在单位圆上运动，所以 2xy. 将式代入式即得所求曲线 C的方程为2 (,1)且. 因为 (,),)，所以当1时，曲线 是焦点在 x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为 2(,0m， 2(1,0；当
16、1m时，曲线 C是焦点在 y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为 2(0,1)， 20,). （）解法 1：如图 2、3， k，设 1Pkx， 2(Hy，则 1(,)Qxk， 1(,)Nkx，直线 QN的方程为2kx，将其代入椭圆 C的方程并整理可得 2224) 0mk.，依题意可知此方程的两根为1， ，于是由韦达定理可得 1122x，即 122k.，因为点 H 在直线 QN 上，所以21224kmykx.- 6 -于是 1(2,)PQxk，221121214(,)(,)4kxmxPHxykxk. 而 PQH等价于2140mH，即 0m，又 ，得 ，故存在 ，使得在其对应的椭圆21yx上，对任意的 k
17、，都有 Q. 解法 2：如图 2、3， 1(0,)x，设 1(,)Pxy， 2(,)Hxy，则 1(,)Qxy， 1(0,)N，因为 P， H两点在椭圆 C上，所以212,my两式相减可得 221m. ，依题意，由点 在第一象限可知，点 H也在第一象限，且 P， H不重合，故 1212()0xx. 于是由式可得 21212()yymxx. ，又 Q，N， 三点共线，所以 QNk，即 12y. 于是由式可得21122()PQHyk x.而 PQ等价于 PH，即2m，又 0，得 2m，故存在 2m，使得在其对应的椭圆2yx上，对任意的 k，都有 . 23.【2012 高考真题北京理 19】 【答案
18、】解：（1）原曲线方程可化简得：22185xym，由题意可得：852082m，解得： 75m（2 ）由已知直线代入椭圆方程化简得：(1)6240kxk， 2=3()k，解得： 23k由韦达定理得： 216MN， 241MNx，设 (,4)Nxk， (,4)Mxk， (1)Gx，B方程为： kxy，则 36Gk， ， 31MAG， 2NA，POxyNQ图 2 HPOxyN图 3 ()mH图1O D xyAM第 21 题解答图- 7 -欲证 AGN， ， 三点共线，只需证 AG， N共线，即 3(2)6MNNxkx成立，化简得：(3)6()MNkxx， 将代入易知等式成立，则 AG， ， 三点共线
19、得证。24.【2012 高考真题广东理 20】 【答案】本题是一道综合性的题目，考查直线、圆与圆锥曲线的问题，涉及到最值与探索性问题，意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。25.【2012 高考真题重庆理 20】 【答案】- 8 -26.【2012 高考真题四川理 21】27.【2012 高考真题新课标理 20】 【答案】 （1）由对称性知： 是等腰直角 ，斜边 ，点 到准线 的距BFD2BDpAl离 ， ， 圆 的方程为2dFABp 14242ABDSdF22(1)8xy（2）由对称性设 ，则 ， 点 关于点 对称得：20(,)x(0,)p, 222000(,)3xpBpx得： ，直线
20、 3(,pA33: 02myxy切点 直线22xxyp(,)6pP33:()066ppnxy坐标原点到 距离的比值为 .,m:228.【2012 高考真题福建理 19】 【答案】本题主要考查椭圆的简单几何性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系、平面向量的应用等基础知识，考查推理论证能力、基本运算能力，以及函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想.29.【2012 高考真题上海理 22】 【答案】- 9 -，过点 A 与渐近线平行的直线方程为xy22,1.yxyx即， ,则 到直线 的距离为 .设 到直线 的距离为 .1ON2MON3OMNd【点评】在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它
21、的离心率为 ，它的渐近线为 ，并且相互垂直2xy30.【2012 高考真题陕西理 19】 【 答案】31.【2012 高考真题山东理 21】 【答案】- 10 -32.【2012 高考真题江西理 21】 【 答案】33.【2012 高考真题全国卷理 21】 【答案】- 11 -34.【2012 高考真题天津理 19】 【答案】35.【2012 高考真题湖南理 21】 【答案】 （）解法 1 ：设 M 的坐标为 ，由已知得 ，易(,)xy2(5)3xy知圆 上的点位于直线 的右侧.于是 ，所2C0x以 .化简得曲线 的方程为251C.解法 2 ：由题设知，曲线 上任意一点 M 到圆心0yx的距离
22、等于它到直线 的距离，因此，曲线2(,)5x是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，故其方1程为 .（）当点 P 在直线 上运动时，P 的4坐标为 ，又 ，则过 P 且与圆 相切得直线0(4,)y32C的斜率 存在且不为 0，每条切线都与抛物线有两个交点，切k线方程为 .于是(4),x0即 k-y+=02543.1ky整理得 ，设过 P 所作的两条切线 的斜率分别为 ，则 是方程的两个20789.ky,APC12,12,实根，故 ，由 得 0127410124,kxyk210(4).yyk设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 ，则是方程的两个实根，所以 ，同理可得1234,y 12.，于是由，三式得0234().yky 010212342()()yky.所以，当 P 在直线 上运动时，四点2101226k2016k 4xA，B，C，D 的纵坐标之积为定值 6400.
