1、12011 年2017 年新课标全国卷文科数学分类汇编3导数及其应用一、选择题【2016，12】若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）1()sin2ifxxa,aA B C D1,31,31,3【2014，12】已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围2()fxa()fx0xa是A B C D(2,)(1,)(,2)(,1)二、填空题【2017，14】曲线 在 处的切线方程为 2yx,【2012，13】13曲线 在点（1，1）处的切线方程为_(3ln)三、解答题【2017，21】已知函数 2xfeax（1）讨论 的单调性；（2）若 ，求 的取值范围()fx()0fa【20
2、16，21】已知函数 22e1xfxa（1）讨论 的单调性；（2）若 有两个零点，求 的取值范围f fa2【2015，21】设函数 2elnxfa（1）讨论 的导函数 零点的个数;（2）求证：当 时， xf 0a2lnfxa【2014，21】设函数 ，曲线 在点(1, f(1)处的切线斜2(1)()lnafxxb(1)()yfx率为 0()求 ; ()若存在 x01，使得 ，求 的取值范围b0()af【2013，20】已知函数 f(x)e x(axb) x 24x，曲线 yf (x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4(1)求 a，b 的值；(2) 讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)
3、的极大值3【2012，21】21设函数 ()2xfea（1）求 的单调区间；)(xf（2）若 ， 为整数，且当 时， ，求 的最大值ak0x()(10kfxk【2011，21】已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ln()1axbf()yfx1,()f 230xy（1）求 ， 的值；（2）证明：当 0，且 时， lnxfab42011 年2017 年新课标全国卷文科数学分类汇编3导数及其应用（解析版）一、选择题【2016，12】若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）1()sin2ifxxa,aA B C D1,31,31,3解析：选 C 问题转化为 对 恒成立，21cos0fxxax
4、R故 ，即 恒成立21cos1cos03xa2453令 ，得 对 恒成立st2453t1,t解法一：构造 ，开口向下的二次函数 的最小值的可能值为端点值，2gttagt故只需保证 ，解得 故选 C103ga13a解法二：当 时，不等式恒成立；当 时， 恒成立，由 在0t01t543ty1543t上单调递增，所以 ，故 ；当 时，01t 1543t1a0t恒成立由 在 上单调递增， ，所以543atyt10t514433t1综上可得， 故选 C13a【2014，12】已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围32()1fx()fx0xa是（ ）5A B C D(2,)(1,)(,2)
5、(,1)解：依题 a0，f (x)=3ax2-6x，令 f (x)=0，解得 x=0 或 x= ，a当 a0 时，在(-, 0)与( ,+)上，f (x)0，f(x)是增函数在 (0, ) 上，f (x)0，f(x)有小于零的零点，不符合题意当 a0，f(x) 是增函数要使2 2af(x)有唯一的零点 x0，且 x00，只要 ，即 a24，所以 a0，g( t)是增函数要使 a=-t3+3t 有唯一的正零根，只要 alnlminl laxfe2ln0，得 当 时， 满足条件ln0a1a020x当 时，lnl 22minl ln a afxfe，23l04a，又因为 ，所以 ln2a3e34ea
6、3420ea综上所述， 的取值范围是 a342,1【2016，21】已知函数 2exfxa（1）讨论 的单调性；（2）若 有两个零点，求 的取值范围f fa解析：（1）由题意 1e21xx =e2x当 ，即 时， 恒成立令 ，则 ，20a0a0f1所以 的单调增区间为 同理可得 的单调减区间为 fx,x,当 ，即 时，令 ，则 或 fx1ln2a7（）当 ，即 时，令 ，则 或 ，ln21ae20fx1ln2xa所以 的单调增区间为 和 同理 的单调减区间为 ；fx,ln,af 1,ln2a（）当 ，即 时，ln21ae2当 时， ， ，所以 同理 时， 1x010x0fx1x0fx故 的单调
7、增区间为 ；f,（）当 ，即 时令 ，则 或 ，ln21ae02a0fxln2a1x所以 的单调增区间为 和 ，同理 的单调减区间为 fx,ln1,fxln2,a综上所述，当 时， 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；e2afx,ln2,a1,l当 时， 的单调增区间为 ；efx,当 时， 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ； 02af ,ln2a1,ln2,1a当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 fx1,（2）解法一（直接讨论法）：易见 ，如（1）中讨论，下面先研究（） （） （）三种e0f情况当 时，由 单调性可知， ，故不满足题意；e2afxln20faf当 时， 在 上单调递
8、增，显然不满足题意；f,当 时，由 的单调性，可知 ，e02afx1ln2fa且 ，故不满足题意；lnl2lfaa2l0a下面研究 ，0a8当 时， ，令 ，则 ，因此 只有 个零点，故舍去；0a2exfx0f2xfx1当 时， ， ，所以 在 上有 个零点；10af,（i）当 时，由 ，而 ，0aln2 2lnl2ln1af23lnl0a所以 在 上有 个零点；fx,1（i i）当 时，由 ，而 ，a202244e90efa所以 在 上有 个零点；fx,1可见当 时 有两个零点所以所求 的取值范围为 0af a0,解法二（分离参数法）：显然 不是 的零点，1xfx当 时，由 ，得 1x0f
9、2ea1设 ，则问题转化为直线 与 图像有两个交点，2exg1yagx对 求导得 ，x241x所以 在 单调递增，在 单调递减g,1,当 时，若 ， ，直线 与 图像没有交点，0a,x0gxyagx若 ， 单调递减，直线 与 图像不可能有两个交点，,x故 不满足条件；若 时，取 ，则 ，0a113min,2xa12gxa而 ，结合 在 单调递减，2gg,可知在区间 上直线 与 图像有一个交点，1,xyx取 ， ，2min,0a32a9则 ， ，221gxa332xga结合 在 单调递增，可知在区间 上直线 与 图像有一个交点，,32ygx综上所述， 时直线 与 图像有两个交点，函数 有两个零点
10、0ayagxf【2015，21】设函数 2elnxf（1）讨论 的导函数 零点的个数;（2）求证：当 时， xf 0a2lnfxa解：() f (x)=2e2x ， x0 2 分a(1)若 a0 时，f (x)0 在(0,+)恒成立，所以 f (x)没有零点； 3 分(2)若 a0 时，f (x)单调递增当 x 0, f (x) -；当 x + ,f (x) +，所以 f (x) 存在一个零点 6 分() 设 f (x)的唯一零点为 k，由 ()知(0, k)上，f (x)0，f( x)单调递增所以 f(x)取最小值 f(k) 8 分所以 f(x)f(k)= e2k-alnk，又 f (k)=
11、 2e2k =0，所以 e2k= ， ，aa2lnk所以 f(k)= ，(ln)lnla所以 f(x) 12 分2la21 解析 （1） ， 2eln0xf2exaf显然当 时， 恒成立， 无零点0a0fx当 时，取 ，则 ，即 单调递增2eagxf 24e0xgfx令 ，即 2eagxfx画出 与 的图像，如图所示2yx由图可知， 必有零点，所以导函数 存在唯一零点f fx10yxOy=2exy=a（2）由（1）可知 有唯一零点，设零点为 ，f 0x由图可知，当 时， ，即 单调递减；0,xfxf当 时， ，即 单调递增0,f所以 在 处取得极小值，即 fx0020minelnxfxfa又
12、，解得 020exaf02ea两边分别取自然对数，得 ，即 00lnxx00ln2ax所以 000l22l2aafx（当且仅当 ，即 时取等号） lnl0x12【2014，21】设函数 ，曲线 在点(1, f(1)处的切线斜2(1)()lnafxb()()yfx率为 0()求 ; ()若存在 x01，使得 ，求 的取值范围b0()1afx解：() (x0)，依题 f (1)=0，解得 b=1， 3 分1afxb()由()知 ， ，2)()lnaf 2()(1)axax因为a1，所以 f (x )=0有两根：x=1或 。 4分1x11(1)若 ，则 ， 在(1,+) 上，f (x)0，f (x)
13、单调递增.12a1a所以存在x 01，使得 ，的充要条件为 ，即 ，0()fx1a12a解得 。 6分(2)若 ，则 ，在 (1, )上，f (x) 0，f (x)单调递增.,所以存在x 01，使得 ，的充要条件为 ，01()1af而 ，所以不合题意. 9分2()ln1aaaf(3) 若 a1，则 。存在 x01，符合条件。11 分()1f综上，a 的取值范围为： 。 12 分(2,)(,)【2013，20】已知函数 f(x)e x(axb) x 24x，曲线 yf (x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4(1)求 a，b 的值；(2) 讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值解
14、：(1)f(x)e x(axab)2x 4，由已知得 f(0)4，f(0)4，故 b4，ab8从而 a4，b4(2)由(1)知，f(x)4e x(x1) x 24x，f (x)4e x(x2)2x44(x2) 1e2x令 f(x)0 得， xln 2 或 x2从而当 x(，2)(ln 2，) 时，f (x)0；当 x( 2，ln 2)时，f (x)0故 f(x)在(，2)，( ln 2 ，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当 x2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f(2)4(1e 2 )【2012，21】21设函数 xfea（1）求 的单调区间；)(xf（2）若 ， 为整数，且
15、当 时， ，求 的最大值ak0x()(10kfxk【解析】 （1）函数 的定义域为（，+） ，且 )(xf ea当 时， ， 在（，+）上是增函数；0f)(xf当 时，令 ，得 a()0ealn令 ，得 ，所以 在 上是增函数，()xfelx)(xf,)a令 ，得 ，所以 在 上是减函数，l（2）若 ，则 ， 1a()2xfe()1xfe12所以 ，()(1()1xxkfxke故当 时， 等价于0)0f，(111xxxekee即当 时， （ ） 0x0令 ，则 ()1xge22()()1)xxeeg由（1）知，函数 在 单调递增，而 ，xh(0,(1)30he，所以 在 存在唯一的零点2()4
16、0he()故 在 存在唯一的零点设此零点为 ，则 gx(,)(,2)当 时， ；当 时， gx(,)0gx所以 在 的最小值为 ()x0,)g又由 ，可得 ，所以 ，2e1()(2,3)e由于式等价于 ，故整数 的最大值为 2()1,3kk【2011，21】已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 lnaxbf()yfx1,()f 230xy（1）求 ， 的值；（2）证明：当 0，且 时， lnxfab【解析】 （1） ，由于直线 的斜率为 ，21lnxbf x230xy12且过点 ，故 ，即 ，解得 ， 1,12f12ab1ab（2）由（1） 知 ，所以 ln1xf22ln1ln1xxf考虑函数 ，则 2lhxx02hxx 2x13所以当 时， 而 ，故当 时， ，可得 ；1x0hx1h0,1x0hx210hx当 时， ，可得 ,2从而当 ，且 时， ，即 0xln1fxln1fx
