1、第 1 页（共 43 页）一解答题（共 30 小题）1 （2016 模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A（4，0） ，B（0， 4） ，C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m， AMB 的面积为 S求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=x 上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标2 （2015 ）如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6（a 0）相交于 A（ ， ）和 B
2、（4，m） ，点 P 是线段AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标3 （2015 ）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4） ，B（1，0） ，C（5，0） ，其对称轴与 x 轴相交于点 M （1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接 AC，在直线 AC 的下方
3、的抛物线上，是否存在一点 N，使NAC 的面积最大？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由4 （2015 ）如图，抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于点 A（3，0）和点 B，交 y 轴于点 C（0，3） 第 2 页（共 43 页）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 P 在抛物线上，且 SAOP=4SBOC，求点 P 的坐标；（3）如图 b，设点 Q 是线段 AC 上的一动点，作 DQx 轴，交抛物线于点 D，求线段 DQ 长度的最大值5 （2015 ）如图， E 的圆心 E（3，0） ，半径为 5，E 与 y 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的上方） ，与 x
4、轴的正半轴交于点 C，直线 l 的解析式为 y= x+4，与 x 轴相交于点 D，以点 C 为顶点的抛物线过点 B（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线 l 与E 的位置关系，并说明理由；（3）动点 P 在抛物线上，当点 P 到直线 l 的距离最小时求出点 P 的坐标及最小距离6 （2015荆门）如图，在矩形 OABC 中，OA=5，AB=4，点 D 为边 AB 上一点，将BCD 沿直线 CD 折叠，使点 B 恰好落在边 OA 上的点 E 处，分别以 OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系（1）求 OE 的长及经过 O，D，C 三点抛物线的解析式；（2）一动点 P 从点 C
5、 出发，沿 CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，同时动点 Q 从 E 点出发，沿 EC以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当点 P 到达点 B 时，两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，DP=DQ ；（3）若点 N 在（1）中抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M 与点 N，使 M，N ，C ，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 M 点坐标；若不存在，请说明理由第 3 页（共 43 页）7 （2015盘锦）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+3 交 x 轴于 A（1，0）和 B（5，0）两点，交 y 轴
6、于点 C，点 D 是线段 OB 上一动点，连接 CD，将线段 CD 绕点 D 顺时针旋转 90得到线段 DE，过点 E作直线 lx 轴于 H，过点 C 作 CFl 于 F（1）求抛物线解析式；（2）如图 2，当点 F 恰好在抛物线上时，求线段 OD 的长；（3）在（2）的条件下：连接 DF，求 tanFDE 的值；试探究在直线 l 上，是否存在点 G，使EDG=45？若存在，请直接写出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由8 （2015益阳）已知抛物线 E1：y=x 2 经过点 A（1，m） ，以原点为顶点的抛物线 E2 经过点 B（2，2） ，点A、B 关于 y 轴的对称点分别为点 A，B（1
7、）求 m 的值及抛物线 E2 所表示的二次函数的表达式；（2）如图 1，在第一象限内，抛物线 E1 上是否存在点 Q，使得以点 Q、B 、B 为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，P 为第一象限内的抛物线 E1 上与点 A 不重合的一点，连接 OP 并延长与抛物线 E2 相交于点 P，求PAA 与 PBB的面积之比9 （2015徐州）如图，在平面直角坐标系中，点 A（10，0） ，以 OA 为直径在第一象限内作半圆，B 为半圆上一点，连接 AB 并延长至 C，使 BC=AB，过 C 作 CDx 轴于点 D，交线段 OB 于点 E，已知 C
8、D=8，抛物线经过 O、E、A 三点（1）OBA= （2）求抛物线的函数表达式（3）若 P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以 P、O、A、E 为顶点的四边形面积记作 S，则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有 3 个？第 4 页（共 43 页）10 （2015乌鲁木齐）抛物线 y= x2 x+2 与 x 轴交于 A，B 两点（OAOB） ，与 y 轴交于点 C（1）求点 A，B，C 的坐标；（2）点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，同时点 E 也从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，设点 P 的运动时间为 t 秒（0t2） 过点 E
9、 作 x 轴的平行线，与 BC 相交于点 D（如图所示） ，当 t 为何值时， + 的值最小，求出这个最小值并写出此时点 E，P 的坐标；在满足的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点 F，使EFP 为直角三角形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由11 （2015佛山）如图，一小球从斜坡 O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数 y=x2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数 y= x 刻画（1）请用配方法求二次函数图象的最高点 P 的坐标；（2）小球的落点是 A，求点 A 的坐标；（3）连接抛物线的最高点 P 与点 O、A 得POA ，求POA 的面积；（4）在 OA 上方的抛物线
10、上存在一点 M（M 与 P 不重合） ，MOA 的面积等于POA 的面积请直接写出点M 的坐标12 （2015天水）在平面直角坐标系中，已知 y= x2+bx+c（b、c 为常数）的顶点为 P，等腰直角三角形 ABC的顶点 A 的坐标为（0，1） ，点 C 的坐标为（4，3） ，直角顶点 B 在第四象限（1）如图，若抛物线经过 A、B 两点，求抛物线的解析式（2）平移（1）中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC 上并沿 AC 方向滑动距离为 时，试证明：平移后的抛物线与直线 AC 交于 x 轴上的同一点（3）在（2）的情况下，若沿 AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线 AC 的另一交点为 Q，取
11、 BC 的中点 N，试探究 NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由第 5 页（共 43 页）13 （2015常德）如图，曲线 y1 抛物线的一部分，且表达式为：y 1= （x 22x3） （x3）曲线 y2 与曲线 y1 关于直线 x=3 对称（1）求 A、B、C 三点的坐标和曲线 y2 的表达式；（2）过点 D 作 CDx 轴交曲线 y1 于点 D，连接 AD，在曲线 y2 上有一点 M，使得四边形 ACDM 为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形） ，请求出点 M 的横坐标；（3）设直线 CM 与 x 轴交于点 N，试问
12、在线段 MN 下方的曲线 y2 上是否存在一点 P，使PMN 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由14 （2015自贡）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）的对称轴为直线 x=1，且抛物线经过 A（1，0） ，C（0，3）两点，与 x 轴交于点 B（1）若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴 x=1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标；（3）设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标15 （2015凉山
13、州）如图，已知抛物线 y=x2（m+3 ）x+9 的顶点 C 在 x 轴正半轴上，一次函数 y=x+3 与抛物线交于 A、B 两点，与 x、y 轴交于 D、E 两点（1）求 m 的值（2）求 A、B 两点的坐标（3）点 P（a，b） （3a 1）是抛物线上一点，当PAB 的面积是ABC 面积的 2 倍时，求 a，b 的值第 6 页（共 43 页）16 （2015铜仁市）如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B 与 y 轴交于点C（0，3） ，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点 P，使PB
14、C 为等腰三角形？若存在请求出点 P 的坐标） ；（3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点 M、N 同时停止运动，问点M、N 运动到何处时，MNB 面积最大，试求出最大面积17 （2015资阳）已知直线 y=kx+b（k 0）过点 F（0，1） ，与抛物线 y= x2 相交于 B、C 两点（1）如图 1，当点 C 的横坐标为 1 时，求直线 BC 的解析式；（2）在（1）的条件下，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作
15、y 轴的平行线，与抛物线交于点 D，是否存在这样的点 M，使得以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，设 B（mn） （m0） ，过点 E（0 1）的直线 lx 轴，BR l 于 R，CSl 于 S，连接FR、FS试判断RFS 的形状，并说明理由18 （2015苏州）如图，已知二次函数 y=x2+（1m ）xm（其中 0m 1）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 l设 P 为对称轴 l 上的点，连接 PA、PC ，PA=PC（1）ABC 的度数为 ；（2）求
16、 P 点坐标（用含 m 的代数式表示） ；第 7 页（共 43 页）（3）在坐标轴上是否存在着点 Q（与原点 O 不重合） ，使得以 Q、B 、C 为顶点的三角形与PAC 相似，且线段 PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由19 （2015临沂）在平面直角坐标系中，O 为原点，直线 y=2x1 与 y 轴交于点 A，与直线 y=x 交于点 B，点B 关于原点的对称点为点 C（1）求过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；（2）P 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为 Q当四边形 PBQC 为菱形时，求点 P 的坐标；若点 P 的横坐标为 t（1t 1
17、） ，当 t 为何值时，四边形 PBQC 面积最大？并说明理由20 （2015巴中）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx4（a0）的图象与 x 轴交于 A（2，0） 、C（8，0）两点，与 y 轴交于点 B，其对称轴与 x 轴交于点 D（1）求该二次函数的解析式；（2）如图 1，连结 BC，在线段 BC 上是否存在点 E，使得 CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，若点 P（m ，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中 m0，n0） ，连结 PB，PD，BD，求BDP 面积的最大值及此时点 P 的坐标21
18、 （2015黔东南州）如图，已知二次函数 y1=x2+ x+c 的图象与 x 轴的一个交点为 A（4，0） ，与 y 轴的交点为 B，过 A、B 的直线为 y2=kx+b（1）求二次函数 y1 的解析式及点 B 的坐标；第 8 页（共 43 页）（2）由图象写出满足 y1y 2 的自变量 x 的取值范围；（3）在两坐标轴上是否存在点 P，使得ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 的坐标；若不存在，说明理由22 （2015孝感）在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B ，与 y 轴交于点 C，直线y=x+4 经过 A， C 两点（1）求抛物线
19、的解析式；（2）在 AC 上方的抛物线上有一动点 P如图 1，当点 P 运动到某位置时，以 AP，AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点 P 的坐标；如图 2，过点 O，P 的直线 y=kx 交 AC 于点 E，若 PE：OE=3：8，求 k 的值23 （2015眉山）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 D 的坐标为（1， ） ，且与 x 轴交于 A、B 两点，与 y轴交于 C 点，A 点的坐标为（4，0） P 点是抛物线上的一个动点，且横坐标为 m（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）若动点 P 满足PAO 不大于 45，求 P 点的横坐标 m 的
20、取值范围；（3）当 P 点的横坐标 m0 时，过 P 点作 y 轴的垂线 PQ，垂足为 Q问：是否存在 P 点，使QPO=BCO？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由24 （2015桂林）如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A（0，8） 、B （8，0）和点 E，动点 C从原点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 D 从点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 C、D 同时出发，当动点 D 到达原点 O 时，点 C、D 停止运动（1）直接写出抛物线的解析式： ；第 9 页（共 43 页）（2）求CED 的面积 S 与
21、D 点运动时间 t 的函数解析式；当 t 为何值时，CED 的面积最大？最大面积是多少？（3）当CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点 P（点 E 除外） ，使 PCD 的面积等于CED 的最大面积？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由25 （2015遂宁）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（2，0） ，B（4，0） ，C （0，3）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在 y 轴上是否存在点 M，使ACM 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 P（t ，0）为线段 AB 上一动点（不与 A，B 重合） ，过
22、 P 作 y 轴的平行线，记该直线右侧与ABC 围成的图形面积为 S，试确定 S 与 t 的函数关系式26 （2015重庆）如图，抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴交于点 E（1）求直线 AD 的解析式；（2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作 FGAD 于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求FGH 周长的最大值；（3）点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，以 A，M，P
23、，Q 为顶点的四边形是以 AM 为边的矩形若点 T 和点 Q 关于 AM 所在直线对称，求点 T 的坐标27 （2015兰州）已知二次函数 y=ax2 的图象经过点（2，1） （1）求二次函数 y=ax2 的解析式；（2）一次函数 y=mx+4 的图象与二次函数 y=ax2 的图象交于点 A（x 1、y 1） 、B （x 2、y 2）两点当 m= 时（图） ，求证：AOB 为直角三角形；试判断当 m 时（图） ， AOB 的形状，并证明；第 10 页（共 43 页）（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论 （不要求证明）28 （2015丹东）如图，已知二次函数 y=ax2+ x+c 的图象
24、与 y 轴交于点 A（0，4） ，与 x 轴交于点 B、C，点C 坐标为（8，0） ，连接 AB、 AC（1）请直接写出二次函数 y=ax2+ x+c 的表达式；（2）判断ABC 的形状，并说明理由；（3）若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点 N 的坐标；（4）若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B、C 重合） ，过点 N 作 NMAC，交 AB 于点 M，当 AMN 面积最大时，求此时点 N 的坐标29 （2015潍坊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=mx28mx+4m+2（m 0）与 y 轴的交点为 A，与 x 轴的交点分
25、别为 B（x 1，0） ，C（x 2，0） ，且 x2x1=4，直线 ADx 轴，在 x 轴上有一动点 E（t ，0）过点 E 作平行于 y 轴的直线 l 与抛物线、直线 AD 的交点分别为 P、Q （1）求抛物线的解析式；（2）当 0t8 时，求APC 面积的最大值；（3）当 t2 时，是否存在点 P，使以 A、P、Q 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由第 11 页（共 43 页）30 （2015珠海）如图，折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点 C 落在 OA 边的点 D 处，已知折痕 BE=5 ，且= ，以 O 为原点， OA 所在的直线为 x
26、 轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线 l：y= x2+ x+c 经过点E，且与 AB 边相交于点 F（1）求证：ABD ODE；（2）若 M 是 BE 的中点，连接 MF，求证：MFBD；（3）P 是线段 BC 上一点，点 Q 在抛物线 l 上，且始终满足 PDDQ，在点 P 运动过程中，能否使得 PD=DQ？若能，求出所有符合条件的 Q 点坐标；若不能，请说明理由第 12 页（共 43 页）2015 年中考数学压轴题汇编（1）参考答案与试题解析一解答题（共 30 小题）1 （2016贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A（4，0） ，B（0， 4） ，C（2，0）三点（1）求抛
27、物线的解析式；（2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m， AMB 的面积为 S求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=x 上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式（2）设出 M 点的坐标，利用 S=SAOM+SOBMSAOB 即可进行解答；（3）当 OB 是平行四边形的边时，表示出 PQ 的长，再根据
28、平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当 OB是对角线时，由图可知点 A 与 P 应该重合【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a 0） ，将 A（4，0） ，B （0，4） ，C（2，0）三点代入函数解析式得：解得 ，所以此函数解析式为：y= ；（2）M 点的横坐标为 m，且点 M 在这条抛物线上，M 点的坐标为：（ m， ） ，S=SAOM+SOBMSAOB= 4（ m2m+4）+ 4（m） 44=m22m+82m8=m24m，=（m+2） 2+4，4m 0，当 m=2 时，S 有最大值为：S= 4+8=4答：m=2 时 S 有最大值 S=4（3）设 P（x，
29、x2+x4） 当 OB 为边时，根据平行四边形的性质知 PQOB，且 PQ=OB，Q 的横坐标等于 P 的横坐标，又 直线的解析式为 y=x，则 Q（x，x） 由 PQ=OB，得| x（ x2+x4）|=4，解得 x=0， 4，2 2 x=0 不合题意，舍去如图，当 BO 为对角线时，知 A 与 P 应该重合，OP=4四边形 PBQO 为平行四边形则 BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入 y=x 得出 Q 为（4，4） 由此可得 Q（4，4）或（ 2+2 ，22 ）或（22 ，2+2 ）或（4， 4） 第 13 页（共 43 页）【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的
30、求解方法2 （2015枣庄）如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6（a 0）相交于 A（ ， ）和 B（4，m） ，点 P 是线段AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】几何综合题；压轴题【分析】 （1）已知 B（4，m）在直线 y=x+2 上，可求得 m 的值，抛物线图象上的 A、B 两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通
31、过联立方程组即可求得待定系数的值（2）要弄清 PC 的长，实际是直线 AB 与抛物线函数值的差可设出 P 点横坐标，根据直线 AB 和抛物线的解析式表示出 P、C 的纵坐标，进而得到关于 PC 与 P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 PC 的最大值 （3）当PAC 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解【解答】解：（1）B （4，m）在直线 y=x+2 上，m=4+2=6，B（4，6） ，A（ ， ） 、B （4，6）在抛物线 y=ax2+bx+6 上， ，解得 ，抛物线的解析式为 y=2x28x+6（2）设动点 P 的坐标为（n，n+2） ，则
32、C 点的坐标为（n，2n 28n+6） ，PC=（n+2）（2n 28n+6） ，=2n 2+9n4，=2（n ） 2+ ，PC0，当 n= 时，线段 PC 最大且为 （3）PAC 为直角三角形，i）若点 P 为直角顶点，则APC=90 由题意易知，PC y 轴，APC=45，因此这种情形不存在；ii）若点 A 为直角顶点，则PAC=90如答图 31，过点 A（ ， ）作 ANx 轴于点 N，则 ON= ，AN= 过点 A 作 AM直线 AB，交 x 轴于点 M，则由题意易知， AMN 为等腰直角三角形，MN=AN= ，OM=ON+MN= + =3，M（3，0） 设直线 AM 的解析式为：y=
33、kx+b，则： ，解得 ，直线 AM 的解析式为：y=x+3 又抛物线的解析式为：y=2x 28x+6 联立式，解得：x=3 或 x= （与点 A 重合，舍去）C（3，0） ，即点 C、M 点重合当 x=3 时，y=x+2=5，P1（ 3，5） ；iii）若点 C 为直角顶点，则 ACP=90y=2x28x+6=2（x2） 22，抛物线的对称轴为直线 x=2如答图 32，作点 A（ ， ）关于对称轴 x=2 的对称点 C，则点 C 在抛物线上，且 C（ ， ） 当 x= 时，y=x+2= 第 14 页（共 43 页）P2（ ， ） 点 P1（3，5） 、P 2（ ， ）均在线段 AB 上，综上
34、所述， PAC 为直角三角形时，点 P 的坐标为（3，5）或（ ， ） 【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识3 （2015酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4） ，B（1，0） ，C（5，0） ，其对称轴与 x 轴相交于点 M （1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使NAC 的面积最大？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说
35、明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）抛物线经过点 A（0，4） ，B（1，0） ，C（5，0） ，可利用两点式法设抛物线的解析式为 y=a（x 1）（x5） ，代入 A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点 A 关于对称轴的对称点 A的坐标为（6，4） ，连接 BA交对称轴于点 P，连接 AP，此时PAB 的周长最小，可求出直线 BA的解析式，即可得出点 P 的坐标（3）在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最大设 N 点的横坐标为 t，此时点N（t， t2 t+4） （0t5） ，再求得直线 AC 的解析式，即
36、可求得 NG 的长与ACN 的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 y=a（x1） （x 5） ，把点 A（0，4）代入上式得： a= ，y= （x 1） （x 5）= x2 x+4= （x3） 2 ，抛物线的对称轴是：x=3 ；（2）P 点坐标为（3， ） 理由如下：点 A（0，4） ，抛物线的对称轴是 x=3，点 A 关于对称轴的对称点 A的坐标为（6，4）如图 1，连接 BA交对称轴于点 P，连接 AP，此时PAB 的周长最小设直线 BA的解析式为 y=kx+b，把 A（6，4） ，B（1，0）代入得 ，解得 ， y= x ，点 P
37、的横坐标为 3，y= 3 = ，P（ 3， ） （3）在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最大设 N 点的横坐标为 t，此时点 N（t， t2 t+4） （0t 5） ，如图 2，过点 N 作 NGy 轴交 AC 于 G；作 ADNG 于 D，由点 A（0，4）和点 C（5，0）可求出直线 AC 的解析式为：y= x+4，把 x=t 代入得： y= t+4，则 G（t， t+4） ，此时：NG= t+4（ t2 t+4）= t2+4t，AD+CF=CO=5，SACN=SANG+SCGN= ADNG+ NGCF= NGOC= （ t2+4t）5= 2t2+10t=2（t ）
38、 2+ ，第 15 页（共 43 页）当 t= 时， CAN 面积的最大值为 ，由 t= ，得：y= t2 t+4=3， N（ ，3） 【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用4 （2015阜新）如图，抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于点 A（3，0）和点 B，交 y 轴于点 C（0，3） （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 P 在抛物线上，且 SAOP=4SBOC，求点 P 的坐标；（3）如图 b，设点 Q 是线段 AC 上的一动点，作 DQx 轴，交抛物线于点 D，求线段 DQ 长度的最大值【考点】二次函数综合题菁优网
39、版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）把点 A、C 的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；（2）设 P 点坐标为（x， x22x+3） ，根据 SAOP=4SBOC 列出关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，进而得到点P 的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y=x+3，再设 Q 点坐标为（x，x+3） ，则 D 点坐标为（x，x 2+2x3） ，然后用含 x 的代数式表示 QD，根据二次函数的性质即可求出线段 QD 长度的最大值【解答】解：（1）把 A（3，0） ，C（0，3）代入 y=x2+bx+c，得：，解得 故该抛物线的解析式为
40、：y=x 22x+3（2）由（1）知，该抛物线的解析式为 y=x22x+3，则易得 B（1，0） SAOP=4SBOC， 3|x22x+3|=4 13整理，得（x+1） 2=0 或 x2+2x7=0，解得 x=1 或 x=12 则符合条件的点 P 的坐标为：（1，4）或（1+2 ，4）或（ 12 ， 4） ；（3）设直线 AC 的解析式为 y=kx+t，将 A（3，0） ，C （0，3）代入，得 ，解得 即直线 AC 的解析式为 y=x+3设 Q 点坐标为（x，x+3 ） ， （ 3x0） ，则 D 点坐标为（x，x 22x+3） ，QD=（x 22x+3） （x+3）= x23x=（x+ ）
41、 2+ ，当 x= 时，QD 有最大值 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想第 16 页（共 43 页）5 （2015济宁）如图， E 的圆心 E（3，0） ，半径为 5， E 与 y 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的上方） ，与 x 轴的正半轴交于点 C，直线 l 的解析式为 y= x+4，与 x 轴相交于点 D，以点 C 为顶点的抛物线过点 B（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线 l 与E 的位置关系，并说明理由；（3）动点 P 在抛物线上，当点 P 到直线 l
42、 的距离最小时求出点 P 的坐标及最小距离【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）连接 AE，由已知得： AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出 OA 的长，结合垂径定理求出 OC 的长，从而得到 C 点坐标，进而得到抛物线的解析式；（2）求出点 D 的坐标为（ ，0） ，根据 AOEDOA，求出 DAE=90，判断出直线 l 与E 相切与 A（3）过点 P 作直线 l 的垂线段 PQ，垂足为 Q，过点 P 作直线 PM 垂直于 x 轴，交直线 l 于点 M设M（m， m+4） ，P（m， m2+m4） ，得到 PM= m+4（ m2+m4）= m2 m+8= （
43、m2） 2+ ，根据PQM 的三个内角固定不变，得到 PQ 最小=PM 最小 sinQMP=PM 最小 sinAEO= = ，从而得到最小距离【解答】解：（1）如图 1，连接 AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，在 RtAOE 中，由勾股定理得， OA= = =4，OCAB，由垂径定理得，OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，A（ 0， 4） ，B（0，4） ，C（ 8，0） ，抛物线的定点为 C，设抛物线的解析式为 y=a（x8） 2，将点 B 的坐标代入上解析的式，得 64a=4，故 a= ，y= （x 8） 2，y= x2+x4 为所求抛物线的解析式，（2）在直线 l 的解
44、析式 y= x+4 中，令 y=0，得 x+4=0，解得 x= ，点 D 的坐标为（ ，0） ，当 x=0 时，y=4，点 A 在直线 l 上，在 RtAOE 和 RtDOA 中， = ， = ， = ，AOE=DOA=90，AOEDOA，AEO=DAO，AEO+EAO=90，DAO+EAO=90，即DAE=90，因此，直线 l 与E 相切与 A（3）如图 2，过点 P 作直线 l 的垂线段 PQ，垂足为 Q，过点 P 作直线 PM 垂直于 x 轴，交直线 l 于点 M设 M（m， m+4） ，P（m， m2+m4） ，则 PM= m+4（ m2+m4）= m2 m+8= （m2） 2+ ，当
45、 m=2 时，PM 取得最小值 ，此时，P（2， ） ，第 17 页（共 43 页）对于PQM ，PMx 轴，QMP= DAO=AEO，又PQM=90，PQM 的三个内角固定不变，在动点 P 运动的过程中，PQM 的三边的比例关系不变，当 PM 取得最小值时，PQ 也取得最小值，PQ 最小=PM 最小 sinQMP=PM 最小 sinAEO= = ，当抛物线上的动点 P 的坐标为（ 2， ）时，点 P 到直线 l 的距离最小，其最小距离为 【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及勾股定理、待定系数法求二次函数解析式、切线的判定和性质、二次函数的最值等知识，在解答（3）时要注意点 P、点 M 坐标
46、的设法，以便利用二次函数的最值求解6 （2015荆门）如图，在矩形 OABC 中，OA=5，AB=4，点 D 为边 AB 上一点，将BCD 沿直线 CD 折叠，使点 B 恰好落在边 OA 上的点 E 处，分别以 OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系（1）求 OE 的长及经过 O，D，C 三点抛物线的解析式；（2）一动点 P 从点 C 出发，沿 CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，同时动点 Q 从 E 点出发，沿 EC以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动，当点 P 到达点 B 时，两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，DP=DQ ；（
47、3）若点 N 在（1）中抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M 与点 N，使 M，N ，C ，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 M 点坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）由折叠的性质可求得 CE、CO，在 RtCOE 中，由勾股定理可求得 OE，设 AD=m，在 RtADE中，由勾股定理可求得 m 的值，可求得 D 点坐标，结合 C、O 两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）用 t 表示出 CP、BP 的长，可证明DBPDEQ，可得到 BP=EQ，可求得 t 的值；（3）可设出 N 点坐标，分三种情况 EN 为对角线，EM 为对角线，EC 为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得 M 点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得 M 点的坐标【解答】解：（1）CE=CB=5，CO=AB=4，在 RtCOE 中， OE= = =3，设 AD=m，则 DE=BD=4m，OE=3，
