1、1高中数学解析几何解答题汇编一解答题（共 30 小题）1 （2014 江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 1，F 2 分别为椭圆 + =1（a b0）的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b） ，连接 BF2 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连接 F1C（1）若点 C 的坐标为（ ， ） ，且 BF2= ，求椭圆的方程；（2）若 F1CAB，求椭圆离心率 e 的值考点： 椭圆的简单性质；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出 a，b 的值（2）求出 C 的坐标，利用 F1CAB
2、 建立斜率之间的关系，解方程即可求出 e 的值解答： 解：（1）C 的坐标为（ ， ） ， ，即 ， ，a2=（ ） 2=2，即 b2=1，则椭圆的方程为 +y2=1（2）设 F1（c ，0） ，F 2（c ， 0） ，B（0，b） ，直线 BF2：y= x+b，代入椭圆方程 + =1（ab0）得（ ）x 2 =0，2解得 x=0，或 x= ，A（ ， ） ，且 A，C 关于 x 轴对称，C（ ， ） ，则 = = ，F1CAB， （ ）=1，由 b2=a2c2 得 ，即 e= 点评： 本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大2 （20
3、14 安徽）设 F1，F 2 分别是椭圆 E： + =1（a b0）的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B两点，|AF 1|=3|F1B|（）若|AB|=4，ABF 2 的周长为 16，求|AF 2|；（）若 cosAF2B= ，求椭圆 E 的离心率考点： 椭圆的简单性质；三角形的面积公式菁优网版权所有专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）利用|AB|=4，ABF 2 的周长为 16，|AF 1|=3|F1B|，结合椭圆的定义，即可求 |AF2|；（）设|F 1B|=k（k0） ，则|AF 1|=3k，|AB|=4k，由 cosAF2B= ，利用余弦定理，可得
4、a=3k，从而AF1F2 是等腰直角三角形，即可求椭圆 E 的离心率解答： 解：（）|AB|=4，|AF 1|=3|F1B|，|AF1|=3，|F 1B|=1，3ABF2 的周长为 16，4a=16，|AF1|+|AF2|=2a=8，|AF2|=5；（）设|F 1B|=k（k0） ，则|AF 1|=3k，|AB|=4k，|AF2|=2a3k， |BF2|=2akcosAF2B= ，（ 4k） 2=（2a 3k） 2+（2ak） 2 （2a3k） （2a k） ，化简可得 a=3k，|AF2|=|AF1|=3k，|BF 2|=5k|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，AF1AF2，AF1F2
5、是等腰直角三角形，c= a，e= = 点评： 本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题3 （2014 河南）已知点 A（0， 2） ，椭圆 E： + =1（ ab0）的离心率为 ，F 是椭圆 E 的右焦点，直线AF 的斜率为 ，O 为坐标原点（）求 E 的方程；（）设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）设 F（c，0） ，利用直线的斜率公式可得 ，可得 c又 ，b 2=a2c2，即可解得 a
6、，b；（）设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） 由题意可设直线 l 的方程为：y=kx 2与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出 SOPQ通过换元再利用基本不等式的性质即可得出4解答： 解：（）设 F（c，0） ，直线 AF 的斜率为 ， ，解得 c= 又 ，b 2=a2c2，解得 a=2，b=1椭圆 E 的方程为 ；（）设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） 由题意可设直线 l 的方程为： y=kx2联立 ，化为（1+4k 2）x 216kx+12=0，当 =16（4k 23）0 时，即 时， |PQ|= ，
7、点 O 到直线 l 的距离 d= SOPQ= = ，设 0，则 4k2=t2+3， = =1，当且仅当 t=2，即 ，解得 时取等号满足0，OPQ 的面积最大时直线 l 的方程为： 点评： 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题54 （2014 天津）设椭圆 + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，右顶点为 A，上顶点为 B，已知|AB|=|F1F2|（）求椭圆的离心率；（）设 P 为
8、椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1，经过点 F2 的直线 l 与该圆相切于点M，|MF 2|=2 ，求椭圆的方程考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）分别用 a，b，c 表示出|AB| 和|F 1F2|，根据已知建立等式求得 a 和 c 的关系，进而求得离心率 e（）根据（1）中 a 和 c 的关系，用 c 表示出椭圆的方程，设出 P 点的坐标，根据 PB 为直径，推断出BF1PF1，进而知两直线斜率相乘得 1，进而求得 sin和 cos，表示出 P 点坐标，利用 P，B 求得圆心坐标，
9、则可利用两点间的距离公式分别表示出|OB| ，|OF 2|，利用勾股定理建立等式求得 c，则椭圆的方程可得解答： 解：（）依题意可知 = 2c，b2=a2c2，a2+b2=2a2c2=3c2，a2=2c2，e= = （）由（）知 a2=2c2，b2=a2c2=c2，椭圆方程为 + =1，B（0，b） ，F 1（c ，0）设 P 点坐标（ csin，ccos） ，圆心为 OPB 为直径，BF1PF1，kBF1kPF1= =1，求得 sin= 或 0（舍去） ，由椭圆对称性可知，P 在 x 轴下方和上方结果相同，只看在 x 轴上方时，6cos= =P 坐标为（ c， c） ，圆心坐标为（ c， c
10、） ，r=|OB|= = c，|OF 2|= = c，r2+|MF2|2=|OF2|2， +8= c2，c2=3，a2=6， b2=3，椭圆的方程为 + =1点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系第（1）相对简单，主要是求得 a 和 c 的关系；第（2）问较难，利用参数法设出 P 点坐标是关键5 （2014 四川）已知椭圆 C： + =1（ab0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x=3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q 证明： OT 平分线段 PQ（其中
11、O 为坐标原点） ；当 最小时，求点 T 的坐标考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： 第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a 2=b2+c2 及焦距 2c=4 建立方程组求得 a2，b 2；第（2）问中，先设点的坐标及直线 PQ 的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将 表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点 T 的坐标解答：解：（1）依题意有 解得7所以椭圆 C 的标准方程为 + =1（2）设 T（ 3，t） ，P （x 1， y1） ，Q （x 2，y 2） ，PQ 的中点为 N（x 0，y 0） ，证明：由 F
12、（ 2，0） ，可设直线 PQ 的方程为 x=my2，则 PQ 的斜率 由 （m 2+3）y 24my2=0，所以 ，于是 ，从而 ，即 ，则直线 ON 的斜率 ，又由 PQTF 知，直线 TF 的斜率 ，得 t=m从而 ，即 kOT=kON，所以 O，N，T 三点共线，从而 OT 平分线段 PQ，故得证由两点间距离公式得 ，由弦长公式得= = ，所以 ，令 ，则 （当且仅当 x2=2 时，取“=”号） ，所以当 最小时，由 x2=2=m2+1，得 m=1 或 m=1，此时点 T 的坐标为（3，1）或（3， 1） 点评： 本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；82
13、、联立直线与椭圆方程，消去 y 或 x，得到一个关于 x 或 y 一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题6 （2014 辽宁）圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图） ，双曲线 C1： =1 过点 P 且离心率为 （）求 C1 的方程；（）若椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点，直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A，B 两点，若以线段 AB 为直径的圆过点 P，求 l 的方程考点： 直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分
14、析： （）设切点 P（x 0，y 0） ， （x 00，y 00） ，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点 P 的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出；（）由（）可得椭圆 C2 的焦点可设椭圆 C2 的方程为 （b 10） 把 P 的坐标代入即可得出方程由题意可设直线 l 的方程为 x=my+ ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出解答：解：（）设切点 P（x 0，y 0） ， （x 00，y 00） ，则切线的斜率为 ，可得切
15、线的方程为 ，化为 x0x+y0y=4令 x=0，可得 ；令 y=0，可得 9切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形的面积 S= = 4= ，当且仅当 时取等号 此时 P 由题意可得 ， ，解得 a2=1，b 2=2故双曲线 C1 的方程为 （）由（）可知双曲线 C1 的焦点（ ，0） ，即为椭圆 C2 的焦点可设椭圆 C2 的方程为 （b 10） 把 P 代入可得 ，解得 =3，因此椭圆 C2 的方程为 由题意可设直线 l 的方程为 x=my+ ，A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，联立 ，化为 ， ， x1+x2= = ，x1x2= = ， ， ， ， + ， ，解
16、得 m= 或 m= ，因此直线 l 的方程为： 或 点评： 本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关10系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题7 （2014 陕西）已知椭圆 + =1（ab0）经过点（ 0， ） ，离心率为 ，左右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） （）求椭圆的方程；（）若直线 l：y= x+m 与椭圆交于 A、B 两点，与以 F1F2
17、 为直径的圆交于 C、D 两点，且满足 = ，求直线 l 的方程考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由题意可得 ，解出即可（）由题意可得以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线 l 的距离 d 及 d1，可得 m 的取值范围利用弦长公式可得|CD|=2 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 把直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长 |AB|=由 = ，即可解得 m解答：解：（）由题意可得 ，解得 ，c=1，a=2椭圆的方程为 11（）由题意可
18、得以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1圆心到直线 l 的距离 d= ，由 d1，可得 （*）|CD|=2 = = 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 联立 ，化为 x2mx+m23=0，可得 x1+x2=m， |AB|= = 由 = ，得 ，解得 满足（ *） 因此直线 l 的方程为 点评： 本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题8 （2014 陕西）如图，曲线 C 由上半椭圆 C1： + =1（ab0，y0）和部分抛物线 C2：y= x2+1（y0）连接而成
19、，C 1 与 C2 的公共点为 A，B ，其中 C1 的离心率为 （）求 a，b 的值；（）过点 B 的直线 l 与 C1，C 2 分别交于点 P，Q（均异于点 A，B） ，若 APAQ，求直线 l 的方程12考点： 直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题： 向量与圆锥曲线分析： （）在 C1、C 2 的方程中，令 y=0，即得 b=1，设 C1：的半焦距为 c，由 = 及 a2c2=b2=1 得 a=2；（）由（）知上半椭圆 C1 的方程为 +x2=1（y0） ，设其方程为 y=k（x 1） （k0） ，代入 C1 的方程，整理得（k 2+4）x 22k2x+k24=0 （*）设点 P（
20、x p，y p） ，依题意，可求得点 P 的坐标为（ ， ） ；同理可得点 Q 的坐标为（k 1，k 22k） ，利用 =0，可求得 k 的值，从而可得答案解答： 解：（）在 C1、C 2 的方程中，令 y=0，可得 b=1，且 A（1，0） ，B（1，0）是上半椭圆 C1 的左右顶点设 C1：的半焦距为 c，由 = 及 a2c2=b2=1 得 a=2a=2， b=1（）由（）知上半椭圆 C1 的方程为 +x2=1（y0） 易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y=k（x 1） （k0） ，代入 C1 的方程，整理得（k 2+4）x 22k2x+k24=0 （*）设点 P（x
21、p，y p） ，直线 l 过点 B，x=1 是方程（*）的一个根，由求根公式，得 xp= ，从而 yp= ，点 P 的坐标为（ ， ） 同理，由 得点 Q 的坐标为（k1， k22k） ， = （k， 4） ， =k（1，k+2 ） ，APAQ， =0，即 k4（k+2 ）=0，13k0， k4（k+2）=0 ，解得 k= 经检验，k= 符合题意，故直线 l 的方程为 y= （x 1） ，即 8x+3y8=0点评： 本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题9 （
22、2014 福建）已知双曲线 E： =1（a 0，b0）的两条渐近线分别为 l1：y=2x，l 2：y= 2x（1）求双曲线 E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l1，l 2 于 A，B 两点（A ，B 分别在第一、第四象限） ，且OAB的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在，求出双曲线 E 的方程，若不存在，说明理由考点： 直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）依题意，可知 =2，易知 c= a，从而可求双曲线 E 的离心率；（2）由（1）知，双曲线 E 的方程为
23、 =1，设直线 l 与 x 轴相交于点 C，分 lx 轴与直线 l 不与 x 轴垂直讨论，当 lx 轴时，易求双曲线 E 的方程为 =1当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线 l 的方程为y=kx+m，与双曲线 E 的方程联立，利用由 SOAB= |OC|y1y2|=8 可证得：双曲线 E 的方程为 =1，从而可得答案解答： 解：（1）因为双曲线 E 的渐近线分别为 l1：y=2x ，l 2：y=2x，14所以 =2所以 =2故 c= a，从而双曲线 E 的离心率 e= = （2）由（1）知，双曲线 E 的方程为 =1设直线 l 与 x 轴相交于点 C，当 lx 轴时，若直线 l 与双曲线 E
24、 有且只有一个公共点，则 |OC|=a，|AB|=4a，所以 |OC|AB|=8，因此 a4a=8，解得 a=2，此时双曲线 E 的方程为 =1以下证明：当直线 l 不与 x 轴垂直时，双曲线 E 的方程为 =1 也满足条件设直线 l 的方程为 y=kx+m，依题意，得 k2 或 k2；则 C（ ，0） ，记 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 得 y1= ，同理得 y2= ，由 SOAB= |OC|y1y2|得：| | |=8，即 m2=4|4k2|=4（k 24） 因为 4k20，所以=4k 2m2+4（4k 2） （m 2+16）=16（4k 2m216） ，又因为 m2
25、=4（ k24） ，所以=0，即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点因此，存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E，且 E 的方程为 =1点评： 本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想1510 （2014 湖南）如图， O 为坐标原点，双曲线 C1： =1（a 10，b 10）和椭圆C2： + =1（a 2b 20）均过点 P（ ，1） ，且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2 的正方形（）求 C1、C 2 的方程；（）
26、是否存在直线 l，使得 l 与 C1 交于 A、B 两点，与 C2 只有一个公共点，且| + |=| |？证明你的结论考点： 直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （）由条件可得 a1=1，c 2=1，根据点 P（ ，1）在上求得 =3，可得双曲线 C1 的方程再由椭圆的定义求得 a2= ，可得 = 的值，从而求得椭圆 C2 的方程（）若直线 l 垂直于 x 轴，检验部不满足 | + | |若直线 l 不垂直于 x 轴，设直线 l 得方程为 y=kx+m，由 可得 y1y2= 由 可得 （2k 2+3）x 2+4kmx+2m26=0，根据直线 l 和
27、C1 仅有一个交点，根据判别式=0，求得 2k2=m23，可得 0，可得| + | |综合（1） 、 （2）可得结论解答： 解：（）设椭圆 C2 的焦距为 2c2，由题意可得 2a1=2，a 1=1，c 2=1由于点 P（ ，1）在上， =1， =3，双曲线 C1 的方程为：x 2 =1再由椭圆的定义可得 2a2= + =2 ，a 2= ，16 = =2， 椭圆 C2 的方程为： + =1（）不存在满足条件的直线 l（1）若直线 l 垂直于 x 轴，则由题意可得直线 l 得方程为 x= ，或 x= 当 x= 时，可得 A（ ， ） 、B （ ， ） ，求得 | |=2 ，| |=2 ，显然，|
28、 + | |同理，当 x= 时，也有| + | |（2）若直线 l 不垂直于 x 轴，设直线 l 得方程为 y=kx+m，由 可得（3k 2） x22mkxm23=0，x 1+x2= ，x 1x2= 于是，y 1y2=k2x1x2+km（x 1+x2）+m 2= 由 可得 （2k 2+3）x 2+4kmx+2m26=0，根据直线 l 和 C1 仅有一个交点，判别式=16k 2m28（2k 2+3） （m 23）=0 ，2k 2=m23 =x1x2+y1y2= 0， ，| + | |综合（1） 、 （2）可得，不存在满足条件的直线 l点评： 本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线
29、的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题11 （2014 南充模拟）设椭圆中心在坐标原点，A（2，0） ，B（0，1）是它的两个顶点，直线 y=kx（k0）与 AB相交于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点（）若 ，求 k 的值；（）求四边形 AEBF 面积的最大值考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；向量的共线定理菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题17分析： （1）依题可得椭圆的方程，设直线 AB，EF 的方程分别为 x+2y=2，y=kx，D（x 0，kx 0） ，E（x 1，kx 1） ，F（x 2，kx 2） ，且 x1，x 2 满足方程（1+4k 2）x 2=4，
30、进而求得 x2 的表达式，进而根据 求得 x0 的表达式，由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2，进而求得 x0 的另一个表达式，两个表达式相等求得 k（）由题设可知|BO|和|AO|的值，设 y1=kx1，y 2=kx2，进而可表示出四边形 AEBF 的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值解答： 解：（）依题设得椭圆的方程为 ，直线 AB，EF 的方程分别为 x+2y=2，y=kx（k0） 如图，设 D（x 0，kx 0） ，E（ x1，kx 1） ，F （x 2，kx 2） ，其中 x1x 2，且 x1，x 2 满足方程（1+4k 2）x 2=4，故 由 知 x0x1=6（x 2x0
31、） ，得 ；由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2，得 所以 ，化简得 24k225k+6=0，解得 或 （）由题设，|BO|=1，|AO|=2 由（）知，E（x 1，kx 1） ，F（x 2，kx 2） ，不妨设 y1=kx1，y 2=kx2，由得 x20，根据 E 与 F 关于原点对称可知 y2=y10，故四边形 AEBF 的面积为 S=SOBE+SOBF+SOAE+SOAF= （ y1）=x2+2y2= = = ，当 x2=2y2 时，上式取等号所以 S 的最大值为 18点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决
32、具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大12 （2014 重庆）如图，设椭圆 + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 D 在椭圆上DF 1F1F2，=2 ，DF 1F2 的面积为 （）求椭圆的标准方程；（）设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径考点： 直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）设 F1（ c，0） ，F 2（c，0） ，依题意，可求得 c=1，易求得 |DF1|= = ，|DF 2|= ，从而可得 2a=2 ，于是可
33、求得椭圆的标准方程；（）设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交，P 1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知 x2=x1，y 1=y2，|P 1P2|=2|x1|，由 F1P1F2P2，得 x1= 或 x1=0，分类讨论即可求得圆的半径解答： 解：（）设 F1（ c，0） ，F 2（c，0） ，其中 c2=a2b2，由 =2 ，得|DF 1|= = c，从而 = |DF1|F1F2|= c2= ，故 c=1从而|DF 1|= ，由 DF1F1F2，得 = + = ，因此|DF 2|= ，19所以 2a=|DF1|+|DF2|=
34、2 ，故 a= ，b 2=a2c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为 +y2=1；（）设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交，P 1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2）是两个交点，y10，y 20，F 1P1，F 2P2 是圆 C 的切线，且 F1P1F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=x1， y1=y2，|P 1P2|=2|x1|，由（）知 F1（ 1，0） ，F 2（1，0） ，所以 =（x 1+1，y 1） ， =（x 11，y 1） ，再由 F1P1F2P2，得+ =0，由椭圆方程得 1 = ，即 3 +4x1=0，解得 x1= 或 x1=0当 x1=0 时，
35、P 1，P 2 重合，此时题设要求的圆不存在；当 x1= 时，过 P1，P 2，分别与 F1P1，F 2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C由 F1P1，F 2P2 是圆 C 的切线，且 F1P1F2P2，知 CP1CP2，又|CP 1|=|CP2|，故圆 C 的半径|CP 1|= |P1P2|= |x1|= 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题13 （2014 广西）已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|= |PQ|（）求 C
36、的方程；（）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 l 的方程20考点： 直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （）设点 Q 的坐标为（x 0， 4） ，把点 Q 的坐标代入抛物线 C 的方程，求得 x0= ，根据|QF|= |PQ|求得 p 的值，可得 C 的方程（）设 l 的方程为 x=my+1 （m0） ，代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|把直线 l的方程线 l的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式
37、求得 |MN|由于 MN垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，求得 m 的值，可得直线 l 的方程解答： 解：（）设点 Q 的坐标为（ x0，4） ，把点 Q 的坐标代入抛物线 C：y 2=2px（p0） ，可得 x0= ，点 P（0，4） ，|PQ|= 又|QF|=x 0+ = + ，|QF|= |PQ|， + = ，求得 p=2，或 p=2（舍去） 故 C 的方程为 y2=4x（）由题意可得，直线 l 和坐标轴不垂直，设 l 的方程为 x=my+1（m0） ，代入抛物线方程可得 y24my4=0，显然判别式=16m 2+160，y 1+y2=4m，
38、y 1y2=4AB 的中点坐标为 D（2m 2+1，2m） ，弦长|AB|= |y1y2|=4（m 2+1） 又直线 l的斜率为 m，直线 l的方程为 x= y+2m2+3过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点，把线 l的方程代入抛物线方程可得 y2+ y4（2m 2+3）=0 ，y 3+y4= ，y 3y4=4（2m 2+3） 故线段 MN 的中点 E 的坐标为（ +2m2+3， ） ，|MN|= |y3y4|= ，MN 垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|， +DE2= MN2，4（
39、 m2+1） 2+ + = ，化简可得 m21=0，m=1， 直线 l 的方程为 xy1=0，或 x+y1=0点评： 本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题2114 （2014 浙江）如图，设椭圆 C： （ab0） ，动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P，且点 P 在第一象限（）已知直线 l 的斜率为 k，用 a，b，k 表示点 P 的坐标；（）若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直，证明：点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 ab考点： 直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题： 圆锥曲线中的最值
40、与范围问题分析：（）设直线 l 的方程为 y=kx+m（k0） ，由 ，消去 y 得（b 2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2a2b2=0，利用 =0，可求得在第一象限中点 P 的坐标；（）由于直线 l1 过原点 O 且与直线 l 垂直，设直线 l1 的方程为 x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点 P 到直线 l1 的距离 d= ，整理即可证得点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 ab 解答：解：（）设直线 l 的方程为 y=kx+m（k0） ，由 ，消去 y 得（b 2+a2k2）x 2+2a2kmx+a2m2a2b2=0由于直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P，故=
41、0，即 b2m2+a2k2=0，解得点 P 的坐标为（ ， ） ，又点 P 在第一象限，故点 P 的坐标为 P（ ， ） （）由于直线 l1 过原点 O 且与直线 l 垂直，故直线 l1 的方程为 x+ky=0，所以点 P 到直线 l1 的距离22d= ，整理得：d= ，因为 a2k2+ 2ab，所以 =ab，当且仅当 k2= 时等号成立所以，点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 ab点评： 本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力15 （2014 江西）如图，已知双曲线 C： y2=1（a0）
42、的右焦点为 F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线 AFx轴，AB OB，BF OA（O 为坐标原点） （1）求双曲线 C 的方程；（2）过 C 上一点 P（x 0，y 0） （y 00）的直线 l： y0y=1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x= 相交于点 N证明：当点 P 在 C 上移动时， 恒为定值，并求此定值考 直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有23点：专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）依题意知，A（c， ） ，设 B（t， ） ，利用 ABOB，BFOA ，可求得 a= ，从而可得双曲线 C 的方程；（2）易求 A（2， ） ，l 的方程为
43、： y0y=1，直线 l： y0y=1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x=相交于点 N，可求得 M（2， ） ，N（ ， ） ，于是化简 = 可得其值为 ，于是原结论得证解答：（1）解：依题意知，A（c， ） ，设 B（t， ） ，ABOB，BF OA， =1， = ，整理得：t= ，a= ，双曲线 C 的方程为 y2=1；（2）证明：由（1）知 A（2 ， ） ，l 的方程为： y0y=1，又 F（2，0） ，直线 l： y0y=1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x= 相交于点 N于是可得 M（2， ） ， N（ ， ） ， = = = = = 点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合
44、问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题2416 （2014 安徽）如图，已知两条抛物线 E1：y 2=2p1x（p 10）和 E2：y 2=2p2x（p 20） ，过原点 O 的两条直线 l1和 l2，l 1 与 E1，E 2 分别交于 A1、A 2 两点，l 2 与 E1、E 2 分别交于 B1、B 2 两点（）证明：A 1B1A2B2；（）过 O 作直线 l（异于 l1，l 2）与 E1、E 2 分别交于 C1、C 2 两点记A 1B1C1 与A 2B2C2 的面积分别为 S1 与S2，求 的值考点： 直线与圆锥曲线的综合问题
45、菁优网版权所有专题： 向量与圆锥曲线分析： （）由题意设出直线 l1 和 l2 的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到 的坐标，然后由向量共线得答案；（）结合（）可知A 1B1C1 与A 2B2C2 的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案解答： （）证明：由题意可知，l 1 和 l2 的斜率存在且不为 0，设 l1：y=k 1x， l2：y=k 2x联立 ，解得 联立 ，解得 联立 ，解得 联立 ，解得 25 ，A1B1A2B2；（）解：由（）知 A1B1A2B2，同（）可证 B1C1B2C2，A 1C1A2C2A1B1C1A2B2C2，因此
46、，又 ， 故 点评： 本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相似比与面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题17 （2014 山东）已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直线 l交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有丨 FA 丨= 丨 FD 丨当点 A 的横坐标为 3 时， ADF 为正三角形（）求 C 的方程；（）若直线 l1l，且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E，（）证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标；（）ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请
47、说明理由考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程菁优网版权所有专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的 p 值；26（2） （）设出点 A 的坐标，求出直线 AB 的方程，利用直线 l1l，且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E，求出点 E 的坐标，写出直线 AE 的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（） 利用弦长公式求出弦 AB 的长度，再求点 E 到直线 AB 的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值解答： 解：（1）当点 A 的横坐标为 3 时，过点 A 作 AGx 轴于 G， ， ADF 为正三角形， 又 ， ，p=2C 的方程为 y2=4x
