1、12016 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 【2016 年山东，文 1，5 分】设集合 ，则 （ ）1,2345,61,35,4UAB()UAB（A） （B） （C） （D）2,661,246【答案】A【解析】 ， ，故选 A=,34BU， ()=,UA【点评】考查集合的并集及补集运算，难度较小（2） 【2016 年山东，文 2，5 分】若复数 ，其中 为虚数单位，则 （ ）21iziz（A） （B） （C） （D ）2ii 2【答案】B【解析】 ， ，故选 B(1i
2、)=i2ziz【点评】复数的运算题目，考察复数的除法及共轭复数，难度较小（3） 【2016 年山东，文 3，5 分】某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 ，样本17.5,30数据分组为 ， ， ， ， 根据直方图，17.,20,.2.5,27.5.,这 200 名学生中每周的自习时间不少于 225 小时的人数是（ ）（A）56 （ B）60 （C）120 （D）140【答案】D【解析】由图可知组距为 25，每周的自习时间少于 225 小时的频率为 ，(0.2.1)50.3所以，每周自习时间不少于 225 小时的人数是
3、人，故选 D201.34【点评】频率分布直方图题目，注意纵坐标为频率/组距，难度较小（4） 【2016 年山东，文 4，5 分】若变量 ， 满足 ，则 的最大值是（ xy90xy2xy）（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】C【解析】由 是点 到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点 ，2xy,x 0,23,1所以 是最优解， 的最大值是 10，故选 C3,12y（5） 【2016 年山东，文 5，5 分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）（A） （B） （C ） （D）23131236216【答案】C【解析】由三视图可知，此几何体是一个正三棱锥
4、和半球构成的，体积为，故选 C314212+=+6（ ）【点评】考察三视图以及几何体的体积公式，题面已知是半球和四棱锥，由三视图可看出是正四棱锥，难度较小（6） 【2016 年山东，文 6，5 分】已知直线 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 和直线 相交”是“平,abab面 和平面 相交”的（ ）2（A）充分不必要条件 （ B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线相交，一定有一个交点，该点一定同时属于两个平面，即两平面相交，所以是充分条件；两平面相交，平面内两条直线关系任意（平行、相交、异面） ，即充分不必要条件，故选 A（7） 【2016
5、年山东，文 7，5 分】已知圆 截直线 所得线段的2:0Mxya0xy长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）2:(1)+=N（A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）相离【答案】B【解析】圆 化成标准形式2:0Mxya22()(0)xya解法 1：圆心 到直线 的距离为 ，由勾股定理得 ， (, )0xyd22a解得 ，圆 与圆 的圆心距为 ，圆2,2M22:(1)+)=Nxy(10)()半径 ，圆 半径 圆 与圆 相交，故选 B1RN21212, ,RRMN解法 2：直线 斜率为 ，倾斜角为 ，可知 ， 点坐标为0xy352,2BOa，,即为圆 的圆心圆心在圆 中，且半径为 1，即两圆相交
6、，故选 B（8） 【2016 年山东，文 8，5 分】 中，角 的对边分别是 ，已知 ， ，则ABC, ,abcc2(1sin)bA=（ ）A（A） （B） （C） （D）34346【答案】C【解析】 又 ， ，222(1sin),cos(1sinA),abbbbc2cosbA2(1sin)，在 中， ，故选 CcosAC(0,)4A（9） 【2016 年山东，文 9，5 分】已知函数 的定义域为 ，当 时， ；当 时，fxR0x3()fxx；当 时， ，则 （ ）()(fxf12x12f6f（A） （ B） （C ）0 （D ）22【答案】D【解析】由 ，知当 时， 的周期为 1，所以 又当
7、 时，12fxfx12xfx61ff1x，所以 于是 ，故选 Dff362f（10） 【2016 年山东，文 10，5 分】若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互yf相垂直，则称 具有 性质下列函数具有 性质的是（ ）yfxTT（A） （B） （C ） （D）sinlnxxye3yx【答案】A【解析】因为函数 ， 的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数 的图象上任何一点的lxe 切线的斜率都是非负数都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有 性质，故选 AT第 II 卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分（11） 【2016 年山东，文 11
8、，5 分】执行右边的程序框图，若输入 的值为 3，则输出的 的值为 nS【答案】1【解析】根据题目所给框图，当输入 时，依次执行程序为： ，3n1,0iS3， 021=S不成立， ， ， 不成立， ，3i12i1321S23i13i， 成立，故输出的 的值为 14iS（12） 【2016 年山东，文 12，5 分】观察下列等式：22sinsi3322224iisinsi355222264sinsiiin777222238iisinsi599932222sinsisisin1111 【答案】 43+【解析】由题干中各等式左端各项分母的特点及等式右端所表现出来的规律经过归纳推理即得（13） 【20
9、16 年山东，文 13，5 分】已知向量 ， 若 ，则实数 的值为 1,a6,4batbt【答案】 5【解析】由已知条件可得 ，又因 可得 ，6,4tabt ta+=t0即 ，即得 6141210t t5（14） 【2016 年山东，文 14，5 分】已知双曲线 ，若矩形 的四个顶点在 上，:,xyEbABCDE的中点为 的两个焦点，且 ，则 的离心率为 ,ABCDE3ABC【答案】2【解析】由题意 ，所以 ，于是点 在双曲线 上，代入方程，得 ，2c,2cE2914cab在由 得 的离心率为 2abEcea（15） 【2016 年山东，文 15，5 分】在已知函数 ，其中 ，若存在实数 ，使
10、2,4,xmf x0m得关于 的方程 有三个不同的根，则 的取值范围是 xfxb【答案】 3,【解析】因为 的对称轴为 ，所以 时 单调递增，只要 大24gmxx24fxxb于 的最小值 时，关于 的方程 在 时有一根；又 在xx2mbmhx， 时，存在实数 ，使方程 在 时有两个根，只需 ；故只需0bfb0b即可，解之，注意 ，得 ，故填 2403，三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分（16） 【2016 年山东，文 16，12 分】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿 童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设指24314
11、CEFABDGH两次记录的数分别为 ， 奖励规矩如下：若 ，则奖励玩具一个；若 ，则奖xy3xy8xy励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此活动（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解：（1）设获得玩具记为事件 ，获得水杯记为事件 ，获得一瓶饮料记为事件 ，转盘转动两次后ABC获得的数据记为 ，则基本事件空间为,xy1,2,3142,324、 、 、 、 、 、 、 、共 16 种，事件 为 ，共 5 种，3,34,124,3、 、 、 、 、 、 、 A1,1、 、 、 、故小亮获得玩具的概率 ()5
12、6AP（2）事件 为 共 6 种，故小亮获得水杯的概率 ，获得饮料B2,43,42,34、 、 、 、 、 ()6318BP的概率 因为 ，所以小亮获得水杯比获得饮料的概率大()()()5116CABP()()BCP（17） 【2016 年山东，文 17，12 分】设 223sini(sinco)fxxx（1）求 的单调递增区间；fx（2）把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把得到的图象向左平移y个单位，得到函数 的图象，求 的值3ygx6yg解：（1） 2sinsiincosinsicosinco()cos2in13fxxxxxx33co2122121， ，2k
13、xkZ5kxkZ所以单调递增区间为 5,12（2）经变换 ， sin3gx36g（18） 【2016 年山东，文 18，12 分】在如图所示的几何体中， 是 的中点， DAC/EFB（1）已知 ， 求证： ；ABCEACFB（2）已知 ， 分别是 和 的中点求证： GHFB/GH平 面解：（1）连接 ， ， 和 为等腰三角形 DE又 是 的中点， ， ； 平面 又 ，D/平面 与平面 为相同平面； 平面 平面 ； FBEAFB（2）取 中点 ，连接 和 在 中 和 为中点；EIICI ； 四边形 为梯形 和 分别/IGC/EFBIH为 和 中点； 又 和 交与 点， 与D/HGCDB交与 点；
14、 平面 平面 又 平面 ；IDI平面 /HAB（19） 【2016 年山东，文 19，12 分】已知数列 的前 项和 ，na238nS是等差数列，且 nb1nnab（1）求数列 的通项公式；nCEFABDGHICEFABDGH5（2）令 求数列 的前 项和 1()2nnacbncnT解：（1）因为数列 的前 项和 ，所以 ，当 时，238S1a2n，又 对 也成立，所以 138(1)()65nnS65165na又因为 是等差数列，设公差为 ，则 当 时， ；当 时，d1nnbd 12bd2，解得 ，所以数列 的通项公式为 27bdn 32na（2）由 ，于是 ，111()(6)(3)2nnna
15、c 41691(3)2nnT两边同乘以，得 ，两式相减，得41229(3)nnT 234126 )nnnT 2()()1n 21()(3)n（20） 【2016 年山东，文 20，13 分】设 ， 2(l()fxaxxaR（1）令 ， 求 的单调区间；()gxfg（2）已知 在 处取得极大值，求实数 取值范围解：（1）定义域 ， ， 0,ln121xfxa2gxa当 时， 恒成立， 在 上单调递增；a0gg0,当 时，令 ，得 在 上单调递增，在 上单调递减 ,1,综上所述，当 时，单调递增区间为 ，当 时，单调递增区间为 ， 单调递减区,0a0,2a间为 1,2a（2） 在 处取得极大值，
16、， 在 a 取任何值时恒成立fx10gln120a当 时， 在 上单调递增，即 时， ； 时， ，0gx0, ,xgx1,0gx此时 在 处取得极小值，不符合题意；f1当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减只需令 ，即 a,2a,2a2a12综上所述， 的取值范围为 ,（21） 【2016 年山东，文 21，14 分】已知椭圆 的长轴长为 4，焦距为 2:1xyCab0a（1）求椭圆 的方程；C（2）过动点 的直线交 轴于点 ，交 于点 ， （ 在第一象限） ，且0,MmNAP是线段 的中点，过点 做 轴的垂线交 于另一点 ，延长 交 于点 PNPxQMCB（i）设直线 ， 的斜率分别为
17、， ，证明 为定值；Qkk（ii）求直线 的斜率的最小值ABxyOMAPNQB6解：（1）由题意得 ，解得 ，所以椭圆的方程为 224acb2abc214xy（2） （i）设 直线 ，因为点 为直线 与 轴的交点，所以 ，(,0)(,)NPxy:+AykxmNPANmxk因为点 为线段 的中点，所以 ，得 ，,MmN0,2Pym,2Pxyk所以点 ，所以 ，故 为定值,2Qk=30kk 3（ii）直线 与椭圆方程联立 ，得： ，:+PAyx214yx22(1)440kxk所以 ，2222164(1)3860kmkm 1212,1mxyk所以 ，直线 与椭圆方程联立 ，22,()kA:+QMyx34k得 ，所以 ，218140kx1212,881kyk所以 ， ，22916,8mkB2634BAAyx因为点 在椭圆上，所以 ，得 将代入得 恒成立，P241k2281km 240k+1所以 ，所以 ，所以 （当且仅当 时取“=”） ，20k336=4ABk6所以当 时， 的最小值为 6ABk62
