1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1） 【2015 年安徽，文 1】设 是虚数单位，则复数 （ ）i 1i2（A） （B） （C） （D）3i13i3i 1i【答案】C【解析】 ，故选 C22i（2） 【2015 年安徽，文 2】设全集 ， ， ，则 （ ）,45,6U1,2A,4BRAB（A） （ B） （C ） （D ）1,561 1,234【答案】B【解析】 ， ，故选 B,URA（3） 【2015 年安徽，文 3】设
2、， ，则 是 成立的（ ）:3px:3qxpq（A）充分必要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 ， ， ，但 ，则 是 成立的必要不充分条件，故选 C:px:1q（4） 【2015 年安徽，文 4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A） （B ） （C） （D）lny21yxsinyxcosyx【答案】D【解析】选项 A：的定义域为 ，故 不具备奇偶性，故 A 错误；选项 B：是偶lx0,lnyx 21函数，但 无解，即不存在零点，故 B 错误；选项 C：是奇函数，故 C 错；选项21 siD：是偶函数，且 ，故选 Dcosyc
3、os,2yxkz（5） 【2015 年安徽，文 5】已知 ， 满足约束条件 ，则x041y2xy的最大值是（ ）（A）-1 （B）-2 （C）-5 （D）1【答案】A【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令 ，22zxyxz可知在图中 处， 取到最大值-1 ，故选 A1,A2zxy（6） 【2015 年安徽，文 6】下列双曲线中，渐近线方程为 的是（ ）y（A） （ B） （C） （D）24yx21421yx21xy【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项 A 的渐进线方程为 ，故选 A（7） 【2015 年安徽，文 7】执行如图所示的程序框图（算法流程图） ，输出的 为（
4、 ）n（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B2【解析】由题意，程序框图循环如下： ， ； ， ；1an132an ， ； ， ，此时，17352a3n7254，所以输出 故选 B7.4014n（8） 【2015 年安徽，文 8】直线 与圆 相切，则 （ ）34xyb210xyb（A）-2 或 12 （B ）2 或-12 （ C）-2 或-12 （D）2 或 12【答案】D【解析】直线 与圆心为 ，半径为 1 的圆相切， 2 或 12，34xyb1, 234故选 D （9） 【2015 年安徽，文 9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A） （B） （C） （D）
5、123【答案】C【解析】由题意，该四面体的直观图如下， ， 时直角三角形， ， 是ABDABC等边三角形，则 ，11BCDAS，所以四面体的表面积132sin602ABCS，故选 C13DABCADS（10） 【2015 年安徽，文 10】函数 的图像如图所示，则下列结论 32fxabcxd成立的是（ ）（A） ， ， ， （B ） ， ， ， 0ab0cd0ab0cd（C） ， ， ， （D ） ， ， ， 【答案】A【解析】由函数 的图像可知 ，令 ，又 ，可知 ，fxaxd23fxabxc1x2是 的两根，由图可知 ， ， ，故选 A0fx10x21203ccxa第卷（非选择题 共 10
6、0 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡的相应位置（11） 【2015 年安徽，文 11】 = 1lg2l()【答案】-1【解析】 15lg2l()l5llg521（12） 【2015 年安徽，文 12】在 中， ， ， ，则 ABC67A45BAC【答案】2【解析】由正弦定理可知： 62sin45si0insin18075C（13） 【2015 年安徽，文 13】已知数列 中， ， ，则数列 的前 9 项和等于 na11(2)nana3【答案】27【解析】 时， ，且 ， 是以 为首项， 为公差的等差数列2n12na21ana129897S（14）
7、 【2015 年安徽，文 14】在平面直角坐标系 中，若直线 与函数 的图像只有一个交点，xOyya1yxa则 的值为 a【答案】 12【解析】在同一直角坐株系内，作出 与 的大致图像，如下图：由题意，可知2ya1xa（15） 【2015 年安徽，文 15】 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 、 满足 ， ，ABCab2ABaCb则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论得序号） 为单位向量； 为单位向量； ； ； abab/BC(4)【答案】【解析】等边三角形 的边长为 2， ， ，故正确；ABAB21a，2ACaC，故错误，正确；由于 ， 与 夹角为 ，故错误；又b2aBCba120，故
8、 正确因此，正确2144440aBabb B的编号是三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答写在答题卡上的指定区域内（16） 【2015 年安徽，文 16】 （本小题满分 12 分）已知函数 2()sinco)sfxx（）求 最小正周期；fx（）求 在区间 上的最大值和最小值0,2解：（）化简可得 ，即可求出 的最小正周期 ()sin14fxxfx2T（） 时， ， ， ， 0,2x5,2sin2,14max1fmin0fx（17） 【2015 年安徽，文 17】 （本小题满分 12 分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50 名
9、职工，根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示） ，其中样本数据分组区间为 ， ， ， 40,5,608,90,1（）求频率分布图中 的值；a（）估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；（）从评分在 的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在,6的概率 40,5解：（）因为 ，所以 .0.18.20.81a0.6a4（）由所给出频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为，所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.40.2.180.4（）受访职工中评分在 的有： (人)，记为 ；受访职工中评分在 的5,650.61
10、3123,A40,5有： (人) ，记为 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有5.212,B10种，它们是 ，1,A， ， ， ， ， ， ， ，13,A1,B223,21,A2,31,B32,，又因为所抽取 2 人的评分都在 的结果又 1 种，即 ，故所求的概率2 4051B为 0p（18） 【2015 年安徽，文 18】 （本小题满分 12 分）已知数列 是递增的等比数列，且 ， na149a238a（）求数列 的通项公式；na（）设 为数列 的前 项和， ，求数列 的前 项和 Sn1nabSnbnT解：（）由题设知： ，又 ，可解得 或 （舍去） 14238a149
11、148a14由 得公比 ，故 34q2naq（） ， ，12nnnS112nn nnb 11113752n nnnnT（19） 【2015 年安徽，文 19】 （本小题满分 13 分）如图，三棱锥 中， 平面PABC， ， ， ， ABCPABC60BA（）求三棱锥 的体积；（）证明：在线段 上存在点 M，使得 ，并求 的值M解：（）由题设 ， ， ，可得 126013sin6022ABCS由 平面 ，可知 是三棱锥 的高，又 ，PABCPAP所以三棱锥 的体积 133ABCVSP（）在平面 内，过点 作 ，垂足为 在平面 内，过点 作NNN交 于点 ，连接 由 平面 知 由于/MNMAC，故
12、 平面 ，又 平面 ，所以 在直BAMBBM角 中， ，从而 由 ，得 1cos2B32/PA13NC（20） 【2015 年安徽，文 20】 （本小题满分 13 分）设椭圆 的方程为 ，点 为坐标原点，E10xyabO点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 在线段 上，满足 ，直线 的斜率为A0a， 0b， AB510（）求 的离心率 ；Ee（）设点 的坐标为 ， 为线段 的中点，证明 C0b， NACMN解：（）由题设条件知，点 的坐标为 ，又 ，从而 ，M21(,)3ab510Ok5210ba5进而得 ，故 25,abcab25cea（）由 是 的中点知，点 的坐标为 ，可得 又 ，NACN
13、,b5,6abNM,ABab从而有 2215166BMab由（）的计算结果可知 ，所以 ，故 0AB（21） 【2015 年安徽，文 21】 （本题满分 13 分）已知函数 2()(0)axf rr，（）求 的定义域，并讨论 的单调性；fxfx（）若 ，求 在 内的极值40arfx0,解：（）由题意知 ，所求的定义域为 ，r,r22axxf rr，所以当 或 时， ，2224axaxaxf rr0f当 时， r0f因此， 的单调递减区间为 和 ， 的单调递增区间为 fx,fx,r（）由（）的解答可知 ， 在 上单调递增，在 上单调递减，frfx0r,r因此， 是 的极大值点所以 在 内的极大值为 r, 2401afr所以 在 内极大值为 100，无极小值fx0,
