1、第 16 讲 转化灵活的圆中角知识纵横角是几何图形中最重要的元素， 证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化。根据圆心角与圆周角的倍半关系，可 实现圆心角与圆周角的 转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不 变的情况下，改 变顶点在 圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对焦互补和外角等于内对角，可将于 圆有关的角互相 联系起来。熟悉以下基本图形、基本结论 。例题求解【例 1】 如图，圆 是 的外接圆， 是直径， ，则 的度数是OABCD40BACD_ （2011 年荆州市中考题）思路点拨 略【例 2】 如图
2、， 为圆 的直径， 交圆 于 点， 交圆 于 点， ，ABOACEBCODBC，现给 出以下四个结论： ； ；弧 =弧 ；70C45AE其中正确的结论的序号是（ ）2DE .A.BD（苏州市中考题）思路点拨 充分运用于圆有关的角， 寻找特殊三角形、相似三角形，逐一 验证。【例 3】 如图，已知四边形 外接圆 的半径为 5，对角线 与 的交点为 ，且ABCDOACBDE，求 的面积。8,2AEB思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、 圆中角可推得 为弧 中点，这是解本例的关ABD键。【例 4】 如图，圆 中 是直径， 是圆 上一点， ，等腰直角三角形OABCO45ABC中 是直角，点 在线段 上
3、。DCED（1）证明： 、 、 三点共线；BE（2）若 是线段 的中点， 是线段 的中点，证明： ；MNOMN2（3）将 绕点 逆时针 旋转 后，记为 （如图 ），若 是C)90(1CED1线段 的中点， 是线段 的中点， 是否成立？若是，请证明；若不1BE11AD112M是，说明理由。 （2011 年广州市中考题）思路点拨 对于（2），充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系于位置关系。【例 5】 如图， 是圆 中的三条弦，点 在 上，且ADCB、 OEADAECB求证：（1） ；（2） ECB2（浙江省竞赛题）分析 对于（2）， DEAEAABAD )()()(需证 ，从构造相似三
4、角形入手。DCE)(【例 6】 如图，已知 是圆 的直径， 平分 ，求 证：ABOCDABCD2分析与解 如图，补短构造 或联想角平分线性质等。CBA学力训练基础夯实1.如图， 为圆 的直径， 为圆 上一点，且 ，点 在圆 上（不与ABOC80AOCDO重合），则 的度数是 _. CB、 BD（抚顺市中考题）2.如图，已知 均在圆 上，且 为圆 的直径，则EDCBA、 OAC_.（河南省中考题）3.如图，已知 两点的坐标分别为 ， 是 外接圆上一点，且BA、 )2,0(3PAOB，则点 的坐标为_.45OP（苏州市中考题） 4.如图，已知圆 的内接四边形 的对角线 平分 ， ，OABCDABC
5、DA于 ，给出下列结论： ； ；CBAEE2。其中，正确结论的序号是_.D5.如图， 是圆 的内接正三角形，四边形 是圆 的内接正方形， ，PQROABCDOQRBC则 （ ）。AOQ60. 65.B72.C75.D（安徽省中考题）6.如图， 是圆内接三角形 的高， 是圆的直径， ， ，则ADABCE6AB3C等于（ ）。E23. 2. 3. 2.D（南充市中考题）7.如图，在圆 中， 为弧 的中点， ， 交圆 于 ，若 ，OPBACDPCOA1DC则 的长为（ ）。AB5.23.5.34.8.如图，正 内接于圆 ， 是劣弧 上任意一点， 于 交于点 ，有如下结ABCOPBCPABCE论： ；
6、 ； .其中，正确 结论的个P1E数为（ ）。.3 个 .2 个 .1 个 .0 个 （天津市中考题）D9.如图，已知等边 内接于 圆 ， 是弧 上任一点（点 不与 重合），连接ABCOPABPBA、，过 作 交 的延长线于点 。PA、 M M（1（求证： 为等边三角形；（2（若 ， ，求梯形 的面积。2（2011 年孝感市中考题）10.正方形 的四个顶点都在圆 上， 是圆 上的以点。ABCDOE（1（如图，若点 在弧 上，求 证： ；EABD2（2（如图，若点 在弧 上，求 证： 为定值。C（三明市中考题）能力拓展11.已知在半径为 2 的圆 中，圆内接 的边 ，则 的度数为OABC32C_
7、. （广东省竞赛题） 12.如图，已知圆 的直径 长为 10，弦 长为 6， 的平分线交圆 于 ，则OABCABOD长为_. （武汉市中CD考提）13.如图，圆内接四边形 中， ， ， ， ，则ABCD609B3AD2C_. BC（江苏省竞赛题）DCBA14.如图， 是半 圆直径，半径 于点 ， 平分 分别交 于点 ，交ABABOCDAOE弧 于点 ，连接 ，给出以下四个结论：CD、 ； ； ； .其中正确EOS22E2 B2结论的序号是_.（2011 年嘉兴市中考题）15.如图， 是半 圆的直径， 是弧 的中点， ，则 等于（ ）。ABDAC40BA60. 50. 80. 7.D（重庆市竞赛
8、题）16.如图， 的高 相交于点 ，分别延长 于 的外接圆交于ABCGF、 HBGCF、 A两点，则 下列结论： ； ；若 为 的外接圆的直ED、 AEDDE径，则 .其中正确的是（ ）。 . 17.如图，已知在 中， ，高 ，则 的外接圆半径是（ ABC344ADBC）。3.A4.5.C6.（四川省竞赛题）18.如图， 内接于圆 ， 于点 ， 于点 ， 相交于点ABCOBCADACEBED、。若 ， ，则圆 的半径为（ ）。H645. 132. 13. 21.（2011 年“数学周报杯”全国初中数学竞赛题）19.如图，已知四边形 外接圆圆 的半径为 2，对角线 与 的交点为 ，ABCDOAC
9、BDE， ，且 ，求四边形 的面积。EA23（全国初中数学联赛题）20 如图 ，已知圆 于 轴 交于 两点，与 轴正半轴交于 点， 是圆 上一点，MxDA、 yBCM且 ， ， 。)0,2(A4,(BC（1（求圆心 的坐标；（2（求四边形 的面积 ；（3（如图，过 点作弦 交 于 点，当 是，求 的长。FBECF综合创新21.如图， 内接于圆 ， ，点 为弧 的中点，求证：ABCOBCADAB. 22D（天津市竞赛题）22.如图，已知半圆 的直径 ，将一个三角形的直角顶点固定在圆心 上，当三角板O4ABO绕着 点转动时 ，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于 两点，连接 交DC、 BCA、于点 。E（1（求证： ；ACBDE（2（求证： ；（3（设 ，求 的面积 与 的函数关系，并写出自变量 的取值范围。xyxx（广东省中考题）
