1、33第 3 章 （之 1）第 13 次作业教学内容：3.1 微分*1. 求，设 dyxxy ),40(2tan)(cos)i 解: d.xx 2sectsil(sin *2. 设 求 yedyxx)()241解:.uudyux 22 1, 则 令 dxe42 *3. 设 且 处 处 可 微 求(),(),ln()xxdx0解: ， )(lnxu记则 dud)( dxx)(ln)(2.xlln1)(2 *4. 的 微 分所 确 定 隐 函 数求 由 方 程 dyxyayx )(,)0(33 解: 由 , 得 0ay 0d3d22ayx.dd2*5. .)(0)cos(in dyxyyxy 的 微
2、 分所 确 定 隐 函 数求 由 方 程 解: 0)(ins dxx由 .得 dis()*6. .263的 近 似 值用 微 分 方 法 计 算解: 127)()()( 0003 xxfxfxf ，令 34.95271326*7. .1cos,0的 值计 算用 微 分 代 替 增 量解: ,fxxx()s ，00618.743628)5(inc1500 *8. cmcm05 一 层 厚的 空 心 铁 球 的 表 面 上 镀外 半 径 为在 一 个 内 半 径 为 量 。个 金 球 中 含 铁 和 金 的 质 ， 试 用 微 分 法 分 别 求 这， 金 的 密 度 为已 知 铁 的 密 度 为
3、的 金 33g/c9.1g/6.7,解: ， 86.72.0534111rrV，)(49386.721 gm， 22.)(49.*9. ， 要 使 周 期， 摆 长， 其 中单 摆 振 动 周 期 cm8.9c/s9802lglT?,01.摆 长 需 增 长 多 少增 大 s解: lgdT.)(31.0.14398cml *10.设扇形的圆心角 ，半径 ，如果 保持不变， 减少6RR，问扇形面积约改变多少？如果 不变， 增加 ，问扇形面积03 6c1约改变多少？解：扇形面积公式为 ，21S（1） 视 为变量，则 。63.4)0(21)d( RS（2） 视 为变量，则 .R 71*11.测得一个
4、角大小为 ，若已知其相对误差为 ，问由此计算这个角的正弦函数值所45%3产生的绝对误差和相对误差各是多少？解：设角度为 ，于是 ，由微分近似计算，有xxysin35（1） ；016.%342345coss xxy（2） .%36.2in第 3 章 （之 2）第 14 次作业教学内容：3.2 微分中值定理*1. .arcsin)(1, 的 值时应 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理内 对 函 数试 求 在 xf解 ： 在 上 连 续 在 内 可 导fx()arcsin,(,)11即 在 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 条 件,又 f12令 f()()12得 到 内 的 解,4,使即
5、存 在 1221,.),1()() iffi ，*2. 成 立内 使则 在设 )()(,(,0, abfafbxaxab （ ）的 点的 具 体 数 值 有 关与是 否 存 在 不 存 在 有 两 点 只 有 一 点 DCBA,)(,)(答 *3.设 （其中 ），不用求 ，说明方程dxcbxaxf dcbaxf有几个实根，指出它们所在的区间。0f解：显然， 在 三个闭区间上连续，且在 内可导，又因f, dcb,为有 ，由罗尔中值定理，至少存在三点0dfcba，c,321使得 .ff36又 是一个实系数一元三次多项式函数，所以方程 在实数范围内最多只有xf 0xf三个根，亦即 。它们的所在区间为
6、 .321, dcba,321*4.若已知方程 有一个正根 ，证明方程01xxann 0121n至少有一个小于 的正根.0证：考虑闭区间 ，显然函数 在 上连续，在,x xaxaxFnn11 0,内可导，且有 。所以由罗尔中值定理值必存在一个 ，使得0,x0 x.F*5.设 在 上连续，在 内可导，试证：存在 ，使xf2,2,2,.sincoff证：令 ，显然 在 上连续，在 内可导，且xfgcosg, ,2。由罗尔中值定理知，存在 ，使得 ，即02,0g.sincff*6.证明下列不等式：.baba0,1ln1证：令 ，显然 在 上连续,在 内可导，故由拉格朗日定理，知必存xflnf,在一个
7、 ，使得 ba,1fbf *由 式，显然有 ， 即*afb11， 亦即 ，证毕.afbaln 1lnab*7.设 在 上可微，且 。试证明：在 上恒成立xf1,Mxff,0,（其中 是常数）。Mf0证： 对任意的 ，显然 在由 与 构成的闭区间 或 上满足拉,)(xf 0,x,格朗日条件,所以，在 与 之间必存在一个 ，使得, )0(0(xf *由已知， ，及 ，代入 式，即得 ；f1*Mff37而当 时， ，0xMf0)(于是可得对任意的 ，都有 .1,xf*8. 使证 明 存 在上 可 导在设 ),(,)( babaf ，)(3)(23fffa 其中 .)(3bfa)(3ff 中 值 定
8、理 ，上 可 导 ， 利 用 拉 格 朗 日在， 则证 明 ： 令 ,)(3baxFfxF)(),(a， 使则 至 少 存 在，323 ffbf 即.)()(13f 即*9. 若 ，计算极限 .axxlimxfxfx10lim解：依题意，函数 在闭区间 上必连续，在 内必可导，故符合)(f, 10,Lagrange 中值定理的条件。所以， ，使)10,(x，(li)10(li xffxfx 其中 ，当 时，有 ，.af)(lim上 式*10.设 在 上具有 1 阶连续导数， 在 内存在，且 。xfb, xfba,0bfa又存在常数 ，使 。试证，至少存在一点 ，使 .ac0cf f证：依题意，
9、 在 及 上均满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在,b,，使得 。又 在b,210,021 cbffacff xf上具有一阶连续导数，且 在 内可导，所以， 在 上必满足拉格朗ba, x, x21,日中值定理的条件。所以，存在 ，使得 .b211fff*选做题. ， 证 明内在且上 可 导在设 函 数 )(),()(0,)( xfexfexf.feln)(,1使内 有 且 仅 有 一 个在38证 明 令:()lnFxfx,(),()(,)(ln(), ,()ln,()(101012 00121221则 在 上 连 续 可 导 由 则利 用 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 零 值 定 理 得
10、至 少 存 在 使 即再 证 在 内 最 多 存 在 一 个 使反 证 设 存 在 使则 在 上 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件则 至 少 存 在 使efxFeFfefxexFFxcc 即 即 这 与 在 内 矛 盾故 在 内 最 多 只 有 一 个 使ffexfef),(,)()!(, ln.1结 合 得 在 内 有 且 仅 有 一 个 使)(,),()l.1f第 3 章 （之 3）第 15 次作业教学内容: 3.3.1 型 3.3.2 型01. 填空题*（1）若 ，则 .ppxxcossin1lm0_解： .*（2） ._)e1ln(ixx解： 。22. 选择题。*（1）若 是 待定型
11、，则“ ”是“ ”的（ B ）)(lim0xgfAxgfx)(lim0 Axgf)(lim0（A）充要条件； (B)充分条件，非必要条件；（C）必要条件，非充分条件； (D) 既非充分条件，也非必要条件.*（2）若 是 的未定型，且 ，则（ B ）)(li0xgfxgfx)(li0 )(lni0xgfx39（A） ； （B） ； (C) ； (D) .ln12A21A*3 求极限 .xxarctn3e2lim20解：原式= 2216elix 20elix.xx3li0314li0xx4 求下列极限:*（1） ； *（2） .0limx )()sinabxxlim)43n(526x解：（1）原式
12、 .xcostli0abxtli01（2） .)431ln(75lim2266xxx原 式 limln()l()nxxx357143622*5. .xex10)(li解： )(lim)(lim1010 xxx 210)1()(lnlixx.2)n(liln(li 020 eeexx*6. 若已知 在 连续，且有 ， ，求极限xff2)0(f.20limxx解： xffffxff xxxx )(lim)(li)()(li)(lim00020 .82)()()(1lili 3200 ffffffxx40*7. 设 具有 2 阶连续导数，且 ，试证 有 1 阶连续导数，其中xf 0fxg.0,xfg
13、证明：依题意，当 时， 均连续.2)()(xffg故只需证明 即可.)(lim0x由导数定义，有 )0(“21)(lim)0(li )()( 020 fxffxffxggxx 又 .)0(21lili)(lim0200 gfxfffgxxx 故命题得证.第 3 章 （之 4）第 15 次作业教学内容: 3.3.3 几点注意 3.3.4 型与 型 3.3.5 型， 型及 型0103.3.6 洛必达法则在求数列极限中的应用1填空题*（1） ；_elim210xx解： .*（2） ，其中 a， b， c 为正的常数；xxxcba103li _答案 3c*（3） ，其中 a， b， c 为正的常数；x
14、xc1lim答案 ),a(b41*（4）若 ，则 311limeaxx _a答案-22选择题*（1） （ B ）xli2sin（A）等于 ； (B)等于 ； (C)为无穷大；0（D）不存在，也不为无穷大.*（2）求极限 时，下列各种解法中正确的是 （C）xxsinlim120（A）因为 不存在，所以原极限不存在；xcosil10（B）因为 ，而其中 不存在，所以原极限不xx 102120 inlmiisnil xx10sinl存在；（C）因为 ，而 是有界量，所以原极限为 0；ilim20x x1i）时 （ （D）因为 时，分子是二阶无穷小，而分母是一阶无穷小，所以原极限为 0.3求下列极限。
15、*（1） （ 为常数， ）；xli)1ln(e(xbaxa,0解： lm)原 式 )1ln(el(l(li xbxbaaxx.0*（2） ；xlim)1cs(2解：原式 )sin(li20tt 42020 )cos1(limsinl tttt .31co43tt*（3） .)1ln(im0xx42解：原式= = = = .0limx)1n(lx0li2)1ln(x0limx210lix21)(4. 求下列极限：*（1） ;)(cosli10xx解： )21.cosin(lexp)cosln(iep000 xxxx.210esinlm21expxx*（2） ;sil2cs0解： 2020cs0
16、lnsilmexpsinlmexpinlm2 30201sinco0 sincoli1expsincolie2le0 .613slixp20 *（3） ;arcsin2limarcos101xx解：.220101arcos101 e1arcsinlimexparcos)in2l(imexpinli 0 xx5. 求下列极限：*（1） .xxln10im43解： ；200ln10 e1limexpln1imexpi xx*（2） .101)(lixx解：原式 )1ln(iep1)ln(ep 0uxuux .elim00u6. 求下列极限：*（1） ;xx1)e2(li解：原式 .)eln(px
17、xxe2limp1*（2） .)2l(302talimxx解：原式 2tansec3liep)ln(taiep20202 xxxx .37求下列极限：*（1） ；),1,0,(lim210 babaxbx 解： 原 式 li)xxx0112xbaxx xba)()(0(1li .eln*（2） ；)1ln(23imxx解：原式 .3230 e12limexp)l(iep xx44*8. 求极限 。1)(lim2xx解： eliln12xx原 式 lilnxx21.li()l()xx1ttt )l()l(i012()*9. ， ；xlim)(12xa()1a解： 原 式 li()xx21axaa
18、xxxx ln)1(lim1li 2)(2 .ln*10. ；3cossi0elmxxx解： ，xuxuuff sinco)1()( 2 ，令 之 间与介 于， 1212eu)0,(cossinlme)(lisin3003cosi xxxxx x当.1312i*11. 求极限 ；2)sin(l解：首先可求： 2210)sin(lm)1i(lmttxx ttt ttt 21sincolmexplilepsinliep 0202045 3020 2sincolimexpsincolimexptttt，61il6sli etttt.12)si(lenn也可直接用公式.61303010 )(!1lim
19、exp)sinlexp()si(lm2 ettottt ttt第 3 章 （之 5）第 17 次作业教学内容: 3.4.1 泰勒公式*1. )()(),(21cos33 则 xRxx 之 间与介 于式 中 )0( !4cos(!4s)inin(xxDCBA答: C*2. 日 型 余 项中 拉 格 朗的 泰 勒 展 开 式设 nknkxRxaff 00)()() )(xRn( )。 ； ； ； )10()()!1()()()10(!1)()()1000)( 100(1( nnnnxxfDCxxfBfA答: D*3. 求 使当 时,有,320a.)1()()()( 33210 xoaxx解: ln
20、)(1e46)1(0ln)1(!30ln)1(!20ln)1(0 332 xoxxx,5,5, aa设 , 可知给定式子为函数 在基点 处带皮亚诺余项的三阶泰勒公式, xf)( )(f0则根据泰勒公式的系数计算公式有 1ln,10)(0f.35!)(ln5!232 faa*4. (带皮亚诺余项).阶 麦 克 劳 林 展 开 式的求 rct)(xf解: ， 0)(anfx， 11)(2f ， )()fx，32422)1(6)1()( xxf ，20.3!3)( 33oxoxf *5. 求函数 的 阶麦克劳林公式（带拉格朗日余项）.xfen解：由 ，知xnxfxfx n 1e,2e,1)1()()
21、( !00!00 fxff ， .132 e1!1 nnxx 之 间，在 x0说明:其中 也可以表示为 .)(x*6.求函数 在基点 处带拉格朗日余项的四阶泰勒公式.xf)(30解: ,27)3(,)(,91)(,)(,13, 2 fxffxf6)5()4(5)4(4 !8!)( xxf 47其中 在 3,)3(1)(2431)(81)3(27)(913)( 5642 xxxxxxf 与 之间.第 3 章 （之 6）第 18 次作业教学内容：3.4.2 几个常用函数的泰勒公式 3.4.3 泰勒公式的应用1. 利用泰勒公式求下列极限：*（1） .420ecoslimxx 解: ()ox142!e
22、22x44240 )(81)(1limxxooxx 原 式.40)(812lixox12 *（2） ；30)(sinelmx解： 3232030 )()!)(!1lim)(il xxooxxx .1li)(!2li 30320 xoxx*（3） ；2ecos1lim20xx解：原式48222 4201!18limxoxox.2238li240xox* (4) .)1ln(1limx 解: 令 , 根据 , 可得t)(323tott原式 33220 200 )(1lim1lnlimln1littot tttt tt .3*2. 设 在 点连续， ， ，求 .)(xfa0)(af)(f axaxf1)(lim解： xfax 1)(limep原 式 2ax)(liepxffax)(2f*3. ,)1()( 00 阶 导 数处 有 连 续 的在阶 导 数的 某 邻 域 内 有在设 nxnxf 。， 求且 fxf )(lim00)(0 0 解: nnxnx xxfff )(!lim)(li 00)(000 49( )之 间与在 0x.!(lim)nf)(10xfn
