1、数学建模资料竞赛参考书l、中国大学生数学建模竞赛，李大潜主编，高等教育出版社(1998)2、大学生数学建模竞赛辅导教材，(一)( 二)(三)，叶其孝主编，湖南教育 出版社(1993，1997，1998)3、数学建模教育与国际数学建模竞赛 工科数学专辑，叶其孝主编， 工科数学杂志社，1994)国内教材、丛书1、数学模型，姜启源编，高等教育出版社(1987 年第一版，1993 年第二版，2003 年第三版；第一版在 1992 年国家教委举办的第二届全国优秀教材评选中获“全国优秀教材奖“)2、数学模型与计算机模拟，江裕钊、辛培情编，电子科技大学出版社，(1989)3、数学模型选谈(走向数学从书 )，
2、华罗庚，王元著，王克译，湖南教育出版社； (1991)4、数学建模-方法与范例，寿纪麟等编，西安交通大学出版社 (1993)5、数学模型，濮定国、 田蔚文主编，东南大学出版社(1994)6数学模型，朱思铭、李尚廉编，中山大学出版社，(1995)7、数学模型，陈义华编著，重庆大学出版社，(1995)8、数学模型建模分析，蔡常丰编著，科学出版社，(1995)9、数学建模竞赛教程，李尚志主编，江苏教育出版社，(1996)10、数学建模入门，徐全智、杨晋浩编，成都电子科大出版社，(1996).11、数学建模，沈继红、施久玉、高振滨、张晓威编，哈尔滨工程大学出版社，(1996).12、数学模型基础，王树
3、禾编著，中国科学技术大学出版社，(1996).13、数学模型方法，齐欢编著，华中理工大学出版社，(1996)14、数学建模与实验，南京地区工科院校数学建模与工业数学讨论班编，河海大学 出版社，(1996)15、数学模型与数学建模，刘来福、曾文艺编，北京师范大学出版杜(1997)16. 数学建模，袁震东、洪渊、林武忠、蒋鲁敏编，华东师范大学出版社.17、数学模型，谭永基，俞文吡编，复旦大学出版社，(1997)18、数学模型实用教程，费培之、程中瑗层主编，四川大学出版社，(1998)19、数学建模优秀案例选编(工科数学基地建设丛书) ，汪国强主编，华南理工大学出版社，(1998)20、经济数学模型
4、(第二版)( 工科数学基地建设丛书 )，洪毅、贺德化、昌志华 编著，华南理工大学出版社，(1999)21、数学模型讲义，雷功炎编，北京大学出版社(1999)22、数学建模精品案例，朱道元编著，东南大学出版社，(1999)，23、问题解决的数学模型方法，刘来福，曾文艺编著、北京师范大学出版社，(1999)24、数学建模的理论与实践，吴翔，吴孟达，成礼智编著，国防科技大学出版社， (1999)25、数学建模案例分析，白其岭主编，海洋出版社，(2000 年，北京) 26、数学实验(高等院校选用教材系列 )，谢云荪、张志让主编，科学出版社， (2000)27、数学实验，傅鹏、龚肋、刘琼荪，何中市编，科
5、学出版社，(2000)28、数学建模与数学实验，赵静、但琦编，高等教育出版社，(2000).国外参考书(中译本)1、数学模型引论， EA。 Bender 著，朱尧辰、徐伟宣译，科学普及出版社(1982).2、数学模型，门近藤次郎著，官荣章等译，机械工业出版社， (1985)3、微分方程模型，(应用数学模型丛书第 1 卷) ，美WFLucas 主编，朱煜民等 译，国防科技大学出版社，(1988)4、政治及有关模型，(应用数学模型丛书第 2 卷) ，美 WFLucas 主编，王国秋 等译，国防科技大学出版社，(1996)5、离散与系统模型，(应用数学模型丛书第 3 卷) ，美 wFLucas 主编
6、，成礼智 等译，国防科技大学出版社，(1996)6、生命科学模型，(应用数学模型丛书第 4 卷) ，美 1WFLucas 主编，翟晓燕等 译，国防科技大学出版社，(1996)7、模型数学-连续动力系统和离散动力系统， 英 1HBGrif6ths 和 A01dknow 著，萧礼、张志军编译，科学出版社，(1996)8、数学建模-来自英国四个行业中的案例研究，( 应用数学译丛第 4 号)， 英D Burglles等著，叶其孝、吴庆宝译，世界图书出版公司，(1997)专业性参考书(这方面书籍很多，仅列几本供参考) ：1、水环境数学模型，德W KinZE1bach 著，杨汝均、刘兆昌等编纂，中国建筑工
7、 业出版社，(1987)2、科技工程中的数学模型，堪安琦编著，铁道出版社(1988)3、生物医学数学模型，青义学编著，湖南科学技术出版杜(1990)4、农作物害虫管理数学模型与应用，蒲蛰龙主编，广东科技出版社(1990)5、系统科学中数学模型，欧阳亮编著， E 山东大学出版社，(1995)6、种群生态学的数学建模与研究，马知恩著，安徽教育出版社，(1996)7、建模、变换、优化-结构综合方法新进展，隋允康著，大连理工大学出版社， (1986)8、遗传模型分析方法，朱军著，中国农业出版社(1997) (中山大学数学系王寿松编辑，2001 年 4 月)数学建模题目两项题1992 年 (A) 施肥效
8、果分析问题(北京理工大学：叶其孝）(B) 实验数据分解问题（华东理工大学:俞文此; 复旦大学：谭永基）1993 年 (A) 非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁）(B) 足球排名次问题（清华大学：蔡大用）1994 年 (A) 逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可）(B) 锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学: 俞文此）1995 年 (A) 飞行管理问题（复旦大学: 谭永基，华东理工大学 :俞文此）(B) 天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾）1996 年 (A) 最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福）(B) 节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂）1997 年 (A)
9、 零件参数设计问题（清华大学：姜启源）(B) 截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学 :俞文此）1998 年 (A) 投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平）(B) 灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康）四项题1999 年 (A) 自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽）(B) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）(C) 煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）(D) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）2000 年 (A) DNA 序列分类问题（北京工业大学：孟大志）(B) 钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生）(C) 飞越北极问题（复旦大学：谭永基）(D) 空洞探测问题（东北电力学院：关信）2
10、001 年 (A) 血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭）(B) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光）(C) 基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）(D) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光）2002 年 (A) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学: 谭永基，华东理工大学 :俞文此）(B) 彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚）(C) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）(D) 赛程安排问题（清华大学：姜启源）2003 年 (A) SARS 的传播问题（组委会）(B) 露天矿生产的车辆安排问题（吉林大学：方沛辰）(C) SARS 的传播问题（组委会）(D) 抢渡
11、长江问题（华中农业大学：殷建肃）2004 年 (A) 奥运会临时超市网点设计问题(北京工业大学：孟大志)(B) 电力市场的输电阻塞管理问题( 浙江大学: 刘康生)(C) 酒后开车问题（清华大学：姜启源）(D) 招聘公务员问题（解放军信息工程大学：韩中庚）2005 年 (A) 长江水质的评价和预测问题（解放军信息工程大学：韩中庚）(B) DVD 在线租赁问题 (清华大学: 谢金星等)(C) 雨量预报方法的评价问题( 复旦大学: 谭永基)(D) DVD 在线租赁问题 (清华大学:谢金星等)2006 年 (A) 出版社的资源配置问题(北京工业大学：孟大志)(B) 艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题（天
12、津大学：边馥萍）(C) 易拉罐的优化设计问题（北京理工大学：叶其孝）(D) 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（解放军信息工程大学：韩中庚）2007 年 (A) 中国人口增长预测(B) 乘公交，看奥运(C) 手机“套餐”优惠几何(D) 体能测试时间安排2008 年（A）数码相机定位，（B）高等教育学费标准探讨，（C）地面搜索，（D）NBA 赛程的分析与评价2009 年（A）制动器试验台的控制方法分析（B）眼科病床的合理安排（C）卫星和飞船的跟踪测控（D）会议筹备2010 年（A）储油罐的变位识别与罐容表标定（B）2010 年上海世博会影响力的定量评估（C）输油管的布置（D）对学生宿舍设计方案的评价
13、 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）蒙特卡罗法（Monte Carlo method）是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计试验法。蒙特卡罗是摩纳哥的一个城市，以赌博闻名于世界。蒙特卡罗法借用这一城市的名称是为了象征性地表明该方法的概率统计的特点。蒙特卡罗法作为一种计算方法，是由 S.M.乌拉姆和 J.冯诺伊曼在 20 世纪 40 年代中叶为研制核武器的需要而首先提出
14、来的。在此之前，该方法的基本思想实际上早已被统计学家所采用了。例如，早在 17 世纪，人们就知道了依频数来决定概率的方法。20 世纪 40 年代中叶，出现了电子计算机，使得用数学方法模拟大量的试验成为可能。另外，随着科学技术的不断发展，出现了越来越多的复杂而困难的问题，用通常的解析方法或数值方法都很难加以解决。蒙特卡罗法就是在这些情况下，作为一种可行的而且是不可缺少的计算方法被提出和迅速发展起来的。基本原理 考虑一个射击运动员的射击成绩 G。令 x 表示弹着点到靶心的距离，g(x) 表示得分，而 (x)表示该运动员的弹着点的分布密度，则。另一方面，如果该运动员进行了实弹射击，弹着点依次为 X1
15、，X2 ，XN ，则平均得分为。很明显，弿 N 是 G 的一个近似估计。蒙特卡罗法正是用弿 N 作为 G 的近似估计。假设 x 不是一维空间的点，而是一个 S 维空间的点(x1 ，x2，xs)，则上述积分变为。蒙特卡罗法计算此积分是用作为 G 的近似估计，式中(X1n，X2n，Xsn)是由 (x1，x2，xs)中抽取的第 n 个样本点。同上述一维积分比较，相同点是，都以某随机变量的 N 个独立抽样值的算术平均作为近似估计；不同点仅仅是，决定随机量的样本点不同，一个是一维空间的点，另一个是 S 维空间的点。由上式可见， 决定近似估计 弿 N 好坏的仅仅是随机变量 g(x)或g(x1，x2，xs)
16、的分布情况，而与它们是由怎样的样本点对应过来的无关。换言之，如果随机变量 g(x)和 g(x1，x2， ，xs)具有相同分布，在不计抽样，不计计算 g(x)和g(x1，x2，xs)的差别的情况下，S 维情况与一维情况无任何差异。这是其他计算方法所不具有的、一个非常重要的性质。蒙特卡罗法解题的一般过程是，首先构成一个概率空间；然后在该概率空间中确定一个随机变量 g(x)，其数学期望正好等于所要求的值 G，其中 F(x)为 x 的分布函数；最后，以所确定的随机变量的简单子样的算术平均值作为 G 的近似估计。由于其他原因，如确定数学期望为 G 的随机变量 g(x)有困难，或为其他目的，蒙特卡罗法有时
17、也用 G 的渐近无偏估计代替一般过程中的无偏估计弿 N 来作为 G 的近似估计。收敛性、误差和费用 蒙特卡罗法的近似估计弿 N 依概率 1 收敛于 G 的充分必要条件是随机变量 g(x)满足。如果随机变量 g(x)满足条件，式中 1r2，则，亦即弿 N 依概率 1 收敛于 G 的速度为。总之，蒙特卡罗法的收敛性取决于所确定的随机变量是否绝对可积，而蒙特卡罗法的收敛速度取决于该随机变量是几次绝对可积的。根据中心极限定理，只要随机变量 g(x)具有有限的异于零的方差 2，当 N 足够大时便有蒙特卡罗法的误差公式如下：，式中 1- 为置信水平，x 由置信水平所惟一确定。根据上述误差公式，为满足问题的
18、误差和置信水平的要求，子样容量 N 必须大于(x/)2 2，其中 表示误差。进一步假设每观察一个样本所需要的费用是 C，则蒙特卡罗法的费用是。这一结果表明，在相同误差和置信水平要求下，一个蒙特卡罗法的优劣完全取决于 2C 的值的大小，它的值越小相应的方法越好，或者说，蒙特卡罗法的效率与 2C 成反比。提高效率的方法降低方差技巧 降低方差是提高蒙特卡罗法效率的重要途径之一。考虑二重积分，式中 (x，y) 为 x 和 y 的分布密度函数，g(x，y) 的方差存在。蒙特卡罗法计算 Eg 的一般技巧是用 g=g(x， y)作为所确定的随机变量，其中 x 和 y 服从分布 (x，y) 。降低方差的具体办
19、法有： 统计估计技巧 用 (x) 和 x(y)分别表示分布 (x，y)的边缘分布和条件分布。计算 Eg的统计估计技巧是用 y 的统计估计量作为所确定的随机变量，其中 x 服从分布 (x)。g 的方差恰好为两个方差的和，它们分别是对随机变量 x 和随机变量 y 采用抽样办法而产生的。gSE 的方差正好等于前者，因此gSE 的方差一定比 g 的方差小。统计估计技巧的一般原理是，对于问题中所出现的诸随机变量，能够确定其相应的统计估计量的，就不要再对它们采用随机抽样的办法。 重要抽样技巧 引入任意分布密度函数 *(x，y) ，则的数学期望同样为 Eg，其中 x 和 y 服从分布 *(x，y) 。当 *
20、(x，y)|g(x，y)|(x ，y)时，gIS 的方差达到最小。在 g(x，y) 0 时，方差等于零，gIS 实际上变成了与其中出现的随机变量无关的常数。重要抽样技巧的一般原理是，尽量使所确定的随机变量与问题中所出现的随机变量关系不大。 相关抽样技巧 考虑一个新的、积分值已知的二重积分，可得知的数学期望同样为 Eg，式中 x 和 y 服从分布 (x，y) ， 为任意常数。当为随机变量g(x，y)和 g*(x，y)的均方差 g、g*之比时，gCS 的方差达到最小。此时的方差等于 g 的方差 1-2 倍， 为随机变量 g(x，y)和 g*(x，y)的相关系数。当 =1 时，方差变为零。相关抽样技
21、巧的一般原理是，寻找一个数学期望已知的且与原确定的随机变量正相关的随机变量，使相应的相关系数尽量接近 1，然后用这两个随机变量的线性组合作为蒙特卡罗法最终所确定的随机变量。降低方差的技巧还有对偶变数技巧、系统抽样技巧和分层抽样技巧等。对偶变数技巧的一般原理是，除了原确定的随机变量外，寻找另一个（或多个）具有相同数学期望的随机变量，使得它们之间尽量是对偶负相关的，然后用它们的线性组合作为蒙特卡罗法最终所确定的随机变量。系统抽样技巧的一般原理是，对问题中所出现的某些随机变量按相应分布所确定的比例进行抽样，而不是进行随机抽样。分层抽样技巧的一般原理是，对问题中所出现的某些随机变量进行分层，尽量使所确
22、定的随机变量在各层中相对平稳，各层间的抽样按相应分布所确定的比例进行。其他途径 为了提高蒙特卡罗法的效率，除了简单地降低方差外，还有为降低费用设计的分裂和轮盘赌技巧，为逐步降低方差而设计的多极抽样技巧，为改善收敛速度而设计的拟蒙特卡罗法，为计算条件期望而设计的条件蒙特卡罗法等等。分裂和轮盘赌技巧的一般原理是，将 x 的积分区域分为重要和非重要两部分，对于抽样确定的 X，当它属于重要区域时，对相应的 Y 进行多次抽样；当它属于非重要区域时，只有在赌获胜时才对相应的 Y 进行抽样。多级抽样技巧的一般原理是，在进行某一级抽样计算的同时，根据它所提供的抽样观察值，设计更好的抽样技巧，用新设计的抽样技巧
23、进行新的一级的抽样计算，依次类推，最后用各级的结果的线性组合作为蒙特卡罗法的近似估计。拟蒙特卡罗法与一般蒙特卡罗法的最大区别是，前者不像后者那样要求子样 g(X1)，g(X2)，g(Xn)是相互独立的。用一致分布点列替代由随机数组成的点列的所谓数论方法，实际上就是一种拟蒙特卡罗法。条件蒙特卡罗法的一般原理是，首先将条件期望问题转化成为非条件期望问题，然后用解非条件期望的一般方法来解决条件期望计算问题。由于条件蒙特卡罗法中引进了任意分布密度函数，因此，可以选取合适的分布密度函数来实现进一步降低方差的目的。优缺点 蒙特卡罗法的最大优点是，在方差存在的情况下，问题的维数不影响它的收敛速度，而只影响它
24、的方差；问题几何形状的复杂性对它的影响不大；它不象其他数值方法那样对问题一定要进行离散化处理，而是常可以进行连续处理；它的程序结构简单，所需计算机存贮单元比其他数值方法少，这对于高维问题差别尤其显著。蒙特卡罗法的最大缺点是，对于维数少的问题它不如其他数值方法好；它的误差是概率误差，而不是一般意义下的误差。应用 随着电子计算机的迅速发展和科学技术问题日趋复杂，蒙特卡罗法的应用越来越广泛，已经渗透到科学技术的各个领域。在一些典型数学问题方面的应用主要有：多重积分计算、线性代数方程组求解、矩阵求逆、常微分方程边值问题求解、偏微分方程求解、非齐次线性积分方程求解、本征值计算和最优化计算等等。其中的多重
25、积分计算、非齐次线性积分方程求解和齐次线性积分方程本征值计算等，不仅非常有代表性，而且有很大的实用价值，对于高维问题常比其他数值方法好。在一些实际问题方面的应用主要有，屏蔽计算、核临界安全计算、反应堆物理计算、微扰计算、实验核物理计算、高能物理计算、核物理计算、统计物理计算、真空技术、公用事业、信息论、系统模拟、可靠性计算和计算机科学等等。其中的屏蔽计算、核临界安全计算、微扰计算、实验核物理计算和统计物理计算等，不仅非常有代表性，而且应用得很广泛，按蒙特卡罗法解决这些问题的能力讲，已经超过了其他计算方法的水平。2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处
26、理数据的关键就在于这些算法，通常使用 Matlab 作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题
27、非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab进行处理）
