1、 收敛与混沌 第三章 收敛与混沌-迭代迭代 产生的数列 可能是：(1)收敛；(2)周期性变化；(3)分岔；(4)混沌。如：用 迭代产生的数列 是否收敛？ 答：0.4000 0.7200 0.6048 0.7171 0.6087 0.7146 0.6119 0.7125 0.6146 0.7106 0.6169 0.7090 0.6190 0.7075 0.6208 0.7062 0.6224 0.7050 0.6239 0.7040 0.6252 不收敛。31 不动点与迭代1什么是迭代定义：任意给定一个输入 ，由一个函数表达式 得到一个输出 ；再将作为新的输入 ，由同一个 得到下一个输出；重复
2、。这中对某个函数规则 反复将输出作为新输入的重复执行过程就称为迭代。一个迭代过程的数学表示为其中， 称为迭代函数，产生的数列 称为迭代数列， 称为迭代初值。迭代函数 是关键，迭代数列的变化趋势主要由它决定。例 1： ，则迭代式为 ，分别取=0,0.1,0.8,1,2,99 计算，得下面数列：0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.1,0.31,0.56,0.74,0.86,0.93,0.96,0.98 0.99 0.99 .0.8 0.89 0.94 0.97 0.98 0.99 0.99 1 1 1 1 1 1 1 .2,1.41,1.18,1.09,1.04,1.02,1.01,1.0
3、0,1.00,99,9.94,3.15 1.77 1.33 1.15 1.07 1.03 1.01 1.00 1.00 结论：迭代函数 对于初值 保持不动（称为不动点）；对于其余初值（非 1 的任何正数）都收敛于 1,问： 时，迭代规律？2不动点定义：若存在点 ，满足 ，则称点 为迭代函数 的一个不动点。对于同一个 ，其不动点不一定存在、不一定唯一。在某个不动点附近取初值，迭代可能收敛于这个不动点，称它为吸引的（如例 1 中的不动点 1）；也可能远离此不动点，称它为排斥的（如例 1 中的不动点 0）。32 用图示法体现迭代数列的规律线性迭代：二次函数迭代：一种特殊的二次函数迭代：著名的 Log
4、istic 函数 ，其中，参数 在 0 到 4 之间取值对应的 Logistic 迭代为本节就以 Logistic 迭代为例，讨论揭示迭代数列规律的图形方法。你将会看到某写全新的现象和问题，如分岔、混沌等古怪现象。先求不动点：令 ，解得两个不动点 与 再分析迭代规律：若 ，则因为“ 总有” ，从而 ，所以，对于任意初值 ，都收敛于不动点 0；（2）若 ，则对于任意初值 ，都收敛于不动点 ；（3）若 ，则迭代规律很乱，对于不同的 分别呈现诸如收敛、周期性震荡、分岔、混沌之类的从有规律到无规律、又从无规律到有规律等等的非常复杂的、有趣的、怪异的现象。定义：若迭代数列中，当下标 n 充分大时，每隔
5、k 个数就出现周期性重复，则称此迭代为k周期。下面介绍刻画迭代数列规律的三种图形方法1线性联结图横坐标： 纵坐标： 把向邻的点用折线联结。 看书 P26 图画 图 3.1 的程序为：a=3.8;x(1)=0.2;for i=1:20x(i+1)=a*x(i)*(1-x(i);endplot(0:20,x)画 图 3.2 的程序为：a=3.2,3.5,3.5644,3.8284;y =0.2*1,1,1,1;for i=1:10000y=a.*y.*(1-y);endx(1,:)=y;for i=1:20x(i+1,:)=a.*x(i,:).*(1-x(i,:);endsubplot(2,2,1
6、),plot(0:20,(x(:,1)subplot(2,2,2),plot(0:20,(x(:,2)subplot(2,2,3),plot(0:20,(x(:,3)subplot(2,2,4),plot(0:20,(x(:,4)从线性联结图上，看不出当 a=3.5644,a=3.8284 时，Logistic 迭代到底是几-周期的？ 用下面蛛网图就可以看清楚。2蛛网图先计算出 ，再做下列工作：（1）画曲线 和直线 ；出发点 ，过 A 做竖直线交曲线于点 ，过 B 做水平线交直线于新的点 ；再过新 A 做竖直线交曲线于新的点 ，过新 B 做水平线交直线于新的点 ；重复多次。画 图 3.4 中第
7、 3 个图 的程序为：hold onx=0:0.05:1;y=3.5644*x.*(1-x);plot(x,y),plot(0,1,0,1)a=3.5644;x=0.2;for i=1:10000x=a*x*(1-x);endfor i=1:20y=3.5644*x.*(1-x);plot(x,x,x,y),plot(x,y,y,y)x=y;endhold off从蛛网图 3.4 容易看出，周期分别是 2、4、8、3.3费根鲍姆图为了研究 Logistic 函数 中参数 对迭代的影响，现以参数 为横坐标、以 为纵坐标作图。（为体现规律，从迭代了 10000 次以后的点开始）。画 图 3.6 的
8、程序为：a=2.9,3.2,3.5,3.5644,3.7,3.8284;x =0.2*1,1,1,1,1,1;for i=1:10000x=a.*x.*(1-x);endhold onfor i=1:1000x=a.*x.*(1-x);for j=1:6plot(a(j),x(j)endendhold off33 分岔与混沌上一节内容表明迭代结果很敏感地受到参数 的影响，利用费根鲍姆图可以很直观地刻画这种影响。现令 从 2 到 4 以步长 h=0.02 逐步取值，对 的每个值都画出迭代了 10000 项后的 1000 项的费根鲍姆图。见书 P30 图 3.7，借此可分析得到一些结果。画 图 3
9、.7 的程序为：a=2:0.02:4;x =0.2*ones(1,101);for i=1:10000x=a.*x.*(1-x);endhold onfor i=1:1000x=a.*x.*(1-x);for j=1:101plot(a(j),x(j)endendhold off1倍周期当3 时,为 1周期（即收敛）当3.44 时,为 2周期当3.54 时，为 4周期当3.56 时，为 8周期称这种现象为倍2周期现象。2分岔随着 a 的增大，每过一段，图形就会分岔，分岔的本质就是周期扩大 2 倍。从 1周期分裂成 2周期的分岔点为 a=3；从 2周期裂成 4周期分岔点记为 ；从 4周期裂成 8
10、周期分岔点记为 ；从 8周期裂成 16周期分岔点记为 ；2周期的区段长为 ；4周期的区段长为 ；8周期的区段长为 ；通常，记 周期的区段长为 费根鲍姆发现了下面结果： （此数称为费根鲍姆数）3混沌当 时，迭代无规律，进入混沌。在很狭窄的区段 上，迭代呈现出 3周期、倍 3周期（即 6周期、12周期 等）。在另一个很狭窄的区段 上，迭代呈现出 5周期、倍 5周期（即 10周期、20周期 等）。34 二元函数迭代由两个二元函数 构造的迭代为此迭代将产生两个数列 ，可用前面的图形法研究此迭代。若 ，则称 为二元迭代函数 的不动点。1高斯算术几何平均数列由两个二元函数 构造迭代 产生的数列 就是著名的
11、高斯算术几何平均数列。有无穷多个不动点：结论 1：对于任给的初值 ，高斯算术几何平均数列总收敛，且 ，极限值依赖于两个初值结论 2： ，2旋转数列 ，有一个不动点：（0，0）结论：（1） 时，对任意初值，此迭代都收敛于不动点（0，0）；（2） 时，对任意初值，此迭代都不收敛。3海伦数列看书 图作业,P37 操练一图论第十一章 图论P167 之题：写出 Matlab 环境下，由加权图的边权矩阵表示，转化为带权邻接矩阵表示，的函数 M文件。解：根据边权阵 ，以下由程序实现：（1）点的个数 n=？ 边的条数 m=？（2）因为，带权邻接阵中，主对角线为 0，无边时为 ，所以，先产生 n 阶方阵 a，主
12、对角线为 0，其余元素为（3）再修改 a，将有边时的权替代 ，输出带权邻接阵function a=syp167hswj(e)n1=max(e(1,:);n2=max(e(2,:);n=max(n1,n2);m=length(e(1,:);a=ones(n,n)*inf;for i=1:na(i,i)=0;endfor j=1:ma(e(1,j),e(2,j)=e(3,j);a(e(2,j),e(1,j)=e(3,j);end最短路径第十三章 连通图中从一个点出发到其余点的最短路径顶点 出发，到其余顶点 的最短路(最短距离记为)Dijkstra(狄克斯特拉)算法：与 相邻的点中，谁最近？不妨设是
13、 ，则记录下 ，令 ；与 S 相邻的点中，谁距离 最近？该点加入 S，并记录下距离；重复（2），直至全部顶点进入 S.完毕.手工做 P195 之例 1 P197 之例 2文件名：syp195cleara=inf*ones(6,6);a(1,2)=6;a(1,4)=5;a(1,5)=8;a(2,3)=4;a(2,4)=2;a(3,4)=2;a(3,6)=3;a(4,6)=7;a(5,6)=10;a(2,1)=6;a(4,1)=5;a(5,1)=8;a(3,2)=4;a(4,2)=2;a(4,3)=2;a(6,3)=3;a(6,4)=7;a(6,5)=10;n=6;i=1;t(1)=i;jl(1)
14、=0;ddd=ones(1,n);zx=min(a(i,:);for j=1:nif a(i,j)=zxt(2)=j;jl(j)=zx;breakendendi,t(2),zxk=2;ddd(t(1)=0;ddd(t(2)=0;while knk=k+1;zx=inf;zx1=0;for j=1:k-1for l=2:naaa=a(t(j),l);if ddd(l)=0if zx1zxt(k)=l;zx=zx1;zw=t(j);endendendendddd(t(k)=0;jl(t(k)=zx;zw,t(k),zxend函数文件：syp195hswjfunction syp195hswj(a,
15、i)n=length(a(1,:);t(1)=i;jl(i)=0;ddd=ones(1,n);for j=1:na(j,j)=inf;endzx=min(a(i,:);for j=1:nif a(i,j)=zxt(2)=j;jl(j)=zx;breakendendi,t(2),zxk=2;ddd(t(1)=0;ddd(t(2)=0;while knk=k+1;zx=inf;zx1=0;for j=1:k-1for l=1:naaa=a(t(j),l);if ddd(l)=0if zx1zxt(k)=l;zx=zx1;zw=t(j);endendendendddd(t(k)=0;jl(t(k)=zx;zw,t(k),zxend文件名：syp197cleara=inf*ones(11,11);a(1,2)=8;a(1,7)=7;a(2,3)=3;a(2,7)=6;a(3,4)=5;a(3,5)=6;a(4,5)=1;a(4,11)=12;a(5,6)=2;a(5,10)=9;a(6,7)=9;a(6,9)=3;a(7,3)=5;a(7,8)=10;a(8,1)=8;a(9,5)=7;a(9,8)=9;a(10,9)=2;a(10,11)=2;a(11,5)=10;syp195hswj(a,1)
