1、高等数学教学辅助资料（上册）哈尔滨工程大学公共数学教学中心1数学发展简史数学是人类最古老的科学知识之一。就人类对数的认识和运用来看，一般讲从公元前 3000 年左右的埃及象形文字就已开始，迄今已有 5000 年的历史。那么到底什么是数学呢？实际上数学是一门历史性很强的科学或者说累积性很强,它的内涵随着时代的变化而变化,给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的。从公元前 4 世纪的希腊哲学家亚里士多德到 17 世纪的笛卡儿、19 世纪的恩格斯、20 世纪的罗素等很多数学家都曾给数学下过定义。用的较多也较容易理解的是恩格斯的定义。他说，数学,是研究数量关系与空间形式的一门科学。20 世纪 80 年代的
2、一批美国学者将数学定义为：数学这个领域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。这一定义以其高度的概括性，已日益引起关注并获得大多数数学家的认同与接受。第一阶段：数学的萌芽阶段（公元前 3000 年公元前 600 年）这一阶段，我们称之为数学的萌芽阶段，或者说准学科阶段。在这一阶段里，数学还没有发展成为一门有明确结构的独立的理性的学科，还不具备抽象，还没有方法论，还没有论证和推理。数学文化在这一阶段的杰出代表是古巴比伦数学、中国数学、埃及数学、印度数学等。这一阶段的世界数学文化呈一种多元发展态势。第二阶段：数学的形成阶段（公元前 5 世纪公元
3、16 世纪）这一阶段，通常称之为数学科学的形成时期，它的开始是以希腊人的出场为典型标志，结束于公元 16 世纪，也就是在变量数学产生之前，人们常称此阶段为常量数学阶段，也就是数学学科完成了以常量为主要内容的框架体系。这一时期，希腊数学家取得辉煌成绩，他们引入了证明，提出了抽象，发现了自然数，发现了无理数（注：这是数学史上第一次危机。 原本第五卷中高等数学教学辅助资料（上册）哈尔滨工程大学公共数学教学中心2将比例理论由可公度量推广到不可公度量，使它能适用与更广泛的几何命题证明，从而巧妙的回避了无理量引起的麻烦。但问题的根本解决要到 19 世纪借助极限过程对无理数做出严格定义之后） 。最大的光荣是
4、欧几里得写的原本和阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论 。欧几里得的原本可以说是数学史上的第一座理论丰碑。这一阶段,中国的数学文化也是最辉煌的时代， 九章算术可以说是东方的原本 ，圆周率的定值比世界上其他国家最先进的成就早了 1000年。第一、二阶段的数学 十七世纪以前的数学称为初等数学阶段。其特点是：数是常数，形是孤立的、规则的几何体，而且数和形往往是相互独立的。分为初等代数和初等几何。第三阶段：变量数学阶段（公元 17 世纪 公元 19 世纪上半叶）（或称近代数学阶段）这一时期是世界数学文化史上的辉煌时期，人们通常称之为牛顿时代。这一时期是欧洲人的天下，最典型的学科标志就是由常量数学转向变量数学。变量
5、数学的第一个里程碑是解析几何的诞生。1637 法国数学家笛卡尔 Descartes 创立解析几何，将变量引入数学 .为微积分创立搭建了历史的舞台。1665 经过半个世纪酝酿, 英国科学家牛顿（Newton）发表了流数简论标志着微积分的诞生。微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。他将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。 严格地说，微积分是牛顿和德国科学家莱布尼茨（Leibniz）各自独立创立的。莱布尼茨是 17、18 世纪之交德国最重要的数学
6、家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书，涉猎百科，其著作涉及数学、力学、高等数学教学辅助资料（上册）哈尔滨工程大学公共数学教学中心3机械、地质、逻辑、哲学、法律、外交、神学和语言学等。在数学方面，莱布尼茨的贡献也远不止微积分，他的研究及成果渗透到数学的许多领域。牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人。应该说，微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了他们的工作。但是微积分在产生之初并不是现在我们课本上的这种形式，我们学习的微积分是将十七、十八、十九世纪的结果经过系统归纳、整理而得到的。实际上牛顿和莱布尼茨的微积分是不严格的，特别在实用无限小概念上的随意与混乱
7、，而数学的严格性，自古希腊以来一直是数字家们追求的目标，因此关于微积分基础的争论引发了第二次数学危机。经过一个世纪的尝试，欧拉、拉格朗日、达朗贝尔、柯西等数学家在严格化基础上重建微积分的努力到 19 世纪初才开始获得成效。 （详见分析严格化的进程）18 世纪数学家一方面努力探索使微积分严格化的途径，一方面又往往不顾基础困难而大胆前进，大大扩展了微积分的应用范围，尤其是与力学的结合，成为 18 世纪数学的鲜明特征之一，这种结合的紧密度是数学史上任何时期不能比拟的。当时几乎所有数学家都不同程度的也是力学家。正是微积分的广泛应用，使得一系列新的数学分支成长起来。在 18 世纪，微分方程、变分法等分支
8、与微积分本身一起，形成了被称之为“分析”的广大领域，它与代数、几何并列为数学的三大学科（注：高等代数、高等几何、与数学分析统称为高等数学，也称为初等微积分。研究对象是函数，主要的工具是极限。 ） ，并且在这个世纪里，其繁荣程度远远超过了代数与几何。第四阶段：数学飞速发展阶段（1874 年以后的数学） （或称现代数学阶段）经过近两个世纪的开拓，在 18 世纪行将结束的时候，数学家们对自己从事的这门科学却奇怪的存在着一种普遍悲观的情绪，拉格朗日在 1781 年给达朗贝尔的一封信中说：“在我看来似乎数学的矿井已经挖掘很深了，除非发现新的矿脉，否则迟早势必放弃它科学院中几何（数学）的处境将会有一天变成
9、目前大学中阿拉伯语的处境一样。 ”然而进入 19 世纪，数学却跨入一个前所未有，突飞猛进的历史时期。代数、高等数学教学辅助资料（上册）哈尔滨工程大学公共数学教学中心4几何、分析三大领域都获得了惊人的成就。19 世纪纯粹数学形成期在分析学严格化的进程中诞生了集合论（1874 年德国数学家 Cantor 创立集合论,为微积分奠定了坚实的基础） ，它成为当时分析严格化的最高成就。因此在 1900 年巴黎国际数学大会上庞加莱宣称：完全的严格化已经达到了。 （但第二年罗素悖论引发了关于数学基础的新争论第三次数学危机）集合论的产生使人们对数学的认识达到了空前的高度。在 19 世纪和 20 世纪数学交界线上
10、高耸着三个巨大身影：庞加莱、克莱因、希尔伯特。他们反射着 19 世纪数学的光辉。同时照耀着通往 20 世纪数学的道路。在 19 世纪末，数学发展呈现出一派生机蓬勃的景象。这与 18 世纪形成了鲜明的对比，无论从内部需要还是外部应用看，数学家们似乎都有做不完的问题。1900 年 8 月 5 日庞加莱宣布巴黎国际数学家大会开幕，正是这次会议期间，希尔伯特充满信心地走上讲台，以他著名的 23 个问题揭开了 20 世纪数学的序幕。20 世纪既是纯粹数学期，也是应用数学的时代进入 20 世纪，数学已经不再仅仅是代数、几何、分析经典学科的集合，数学得到了空前发展，成为分支众多、庞大的知识体系。 （目前数学
11、包括 60 多个二级学科，400 多个三级学科。庞加莱曾被称为最后的一位数学通才。 ）与 19 世纪相比 20 世纪纯数学发展表现了如下主要特征或趋势。更高的抽象性、更强的统一性、更深的基础探讨。抽象化最初主要受两大因素推动即集合论观点渗透和公理化方法的运用，他们的结合将数学引向高度抽象化道路。这方面的发展，导致了 20 世纪上半叶实变、泛函、拓扑、抽象代数等具有标志性的四大抽象分支的崛起。20 世纪下半叶，统一化趋势空前加强。不同分支领域的数学思想与数学方法相互融合，导致一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起。而且从使用的数学方法而论，数学中不同分支的界限还在变得模糊。高等数学
12、教学辅助资料（上册）哈尔滨工程大学公共数学教学中心5此外，罗素悖论明白无疑的揭示了集合论本身确实存在矛盾，在数学界引起一片震惊。法国数学家弗雷格在他刚完成的符号逻辑专著算数基础第二卷合卷处写到：“一个科学家不会碰到比这更尴尬的事情了，即在一项工作完成的时候他的基础却在崩溃”为了消除悖论，首先求助于将“朴素集合论” （康托）加以公理化。第一集合论公理系统是 1908 年由第梅格篆书，但庞加莱形象的评论：“为了防狼，羊群已经被圈起来。却不知道圈内有没有狼” 。进一步的尝试，是从逻辑上寻找问题的症结。形成了关于数学基础的三大学派：逻辑主义、有觉主义、形式主义，这三大学派在 20 世纪前 30 年间非常活跃，争论非常激烈，现在看来，都未做出满意的解答，但他们的研究却将人类对数学基础的认识引向了空前的深度。1930 年在哥德尔定理引起震动之后，关于数学基础争论渐趋淡化，数学家们更多地专注于数理逻辑的具体研究。20 世纪 40 年代后，数学以空前的广度、深度向其他科技和人类知识领域渗透。结束语纵观数学的历史，不难看出自微积分创立之后的三、四百年间，数学的发展是空前的，因此微积分的创立是数学发展史上重要的转折点。同时，对微积分深入的研究，大大扩展了数学的应用范围，所以恩格斯说：“微积分是人类精神的最高胜利。 ”学习微积分对每个愿意探索、愿意求知的人来说都是重要的。
