1、学科背景：非欧几何 作品类型：团体文集 浏览次数： 321 发布时间： 2007-09-11 13:03 非欧几何的产生与著名的第五公设问题密切相关，它是数学家们为解决这个问题而进行的长期努力的结果。 公元前 3 世纪，欧几里得从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，建立第一个几何学公理体系欧几里得几何学，这个理论受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范，但人们感到欧氏几何中仍存在某种瑕疵，其中最使数学家们关注的是欧氏公理系统中的所谓“第五公设” （即平行公理）。大家普遍认为，这条公理所说明的事实通过直线外一点能且仅能作一条平行直线）并不像欧几里得的其他公理那样显而易见，它似
2、乎缺少作为一条公理的自明性。因此，尽管人们并不怀疑平行公理本身，但却怀疑它作为公理的资格。 历史上关于公理的证明遵循两条思路：其一是直接证明，试图将平行公理用欧几里得的其中用一个更为自明的命题代之，沿着这条途径几乎毫无所获；其二是间接证明，即用反证法来证明，这种方法对非欧几何的产生具有特别重要的意义。 首先开创间接法证明的是 17 世纪意大利数学爱萨开里，尽管他始终相信平行公理是可以证明的。在观念上与非欧几何相去其远，但是他富于启发性的新方法，并由此开辟了一条直接通往非欧几何的途径。 另一位对非欧几何的产生作出重大贡献的是瑞士几何学家兰贝尔特，人地对平行公理的可证明性提出了怀疑。这是观念上的重
3、大突破。 显然，沿着兰贝尔特的思路，贯彻萨开里的方法就会引向非欧几何学。非欧几何学的创立直接归功于三位的数学家，他们是高斯、波耶和罗巴切夫斯基从时间上说，高斯在先，但高斯从未公开发表过这方面的论著。在非欧几何方面论著最多，并为确立和发展非欧几何始终不渝的是罗巴切夫斯基。 罗巴切夫斯基出生在一个公务员家庭。大给在 1815 年左右开始研究平行公理问题。18231826 年间，他试图用萨开里相同的方法证明第五公设，到了一系列重要的结果。罗巴切夫斯基以深刻的洞罕力导致几何学革命的新思想。人果断地放弃了关于欧氏几何惟一性的传统观念，大胆地确信：由再运行公理否定命题出发而得到的结果代表一种新的几何学，尽
4、管这种几何学有许多结果是令人惊异的，甚至是不可思议的，例如，在这种几何里，三角形的内角和小于 180 度。但它本身是不矛盾的，因此可以同欧氏几何一样成立。罗巴切夫斯基的新思想不仅是对欧几里得几何学 2000 年权威的冲击，而且是对常识的挑战，人所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义。然而，真正伟大的思想往往不能马上为人们所接受，而面对这种情况，甸巴切夫斯基表出了对科学坚定的传为佳话和追求趔的勇气。在别人的嘲讽下，他依然执着于自己的事业。就在他逝世前一年，在双目失明的情况下，还坚持口授了最后一部著作论几何学。可以说，我巴切夫斯基为确定和发展非欧几何贡献了自己的一生。 非欧几何的另
5、一位创始人是匈牙利的青年数学家约翰.波耶。人的研究成果是 1832 年以附录的开工随父亲的著作一道出版的。 其实，最早产生非欧几何基本思想的是德国数学家高斯，高斯早在 15 岁时就开始考虑第五公设问题，并亲自做了实地测量，尽管测量的结果与欧氏几何盯一致，但并没有不论究竟在更大的范围，人具有非欧几何性质的可能性。然而高斯深知传统思想的顽固，为了避免受人的攻击和耻笑，人一直将自己的发现密面不宣。他对待新思想的这种保守立场使他在有生之年未能给予非欧几何以根本的推动。 1、 论述非欧几何诞生的意义。答：要点：（1）非欧几何的创立解决了长期关于欧氏几何中平行公设的争议。（1 分）（2）非欧几何对人们的空
6、间观念产生了及其深远的影响。（5）（3）非欧几何的出现引起了新的几何学的诞生与繁荣。（/本文章来源于“http:/”，原文出处：http:/ ，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里德几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。非欧几何与欧氏几何最主要的区别在于各自的公理体系中采用了不同的平行公理。欧氏几何中的平行公理是：通过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。而罗氏几何的平行公理是：通过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行；黎曼几何的平行公理是：同一平面上的任意两条直线一定相交。
7、我们中学时学习的几何叫做欧氏几何，它是希腊数学家欧几里德在公元前三百多年所著的几何原本中的内容。几何原本是用公理法建立科学理论体系的最早典范。在几何原本中提出了五条公设，长期以来，数学家们就发现第五公设（平行公设）和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那末显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在几何原本一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在几何原本中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
8、由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五 公设到底能不能证明？这些质疑者中有一个就是当时的俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基。他是从 1815 年着手研究平行线理论的，开始，他也是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中，就记有他在 1816-1817 学年度的教学中给出的几个证明。可是，很快他便意识到自己的证明是错误的。前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明。于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答，这是一个全新的，也是与传统思路完全相反的探索途径。罗巴切夫斯基正是沿着这个
9、途径，在试证第五公设不可证的过程上发现一个新的几何世界的。首先，他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题（即是罗氏几何的平行公理），用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的
10、、严密的几何学。这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。然而他在研究非欧几何的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。但鲍耶雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在 1832 年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会
11、遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗式几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗式几何是正确的。1868 年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文非欧几何解释的尝试，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译
12、”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。人们既然承认欧几里是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。黎曼几何作为跟欧氏几何和罗氏几何并列的另外一种几何公理化体系。它的不同之处在于它的平行公理的形式是上述说法 2。黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在 1851 年所作的一篇论文论几何学作为基础的假设中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。黎曼几何中的一
13、条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
