数学常微分论文.doc

1、宁波大学答题纸（2009 2010 学年第 1 学期）课号： 081S07B05 课程名称： 常微分方程 改卷教师： 学号： 084773236 姓 名： 张芳芳 得 分： 对 常 微 分 方 程 的 认 识常 微 分 方 程 ， 我 经 过 大 二 第 一 学 期 的 学 习 ， 不 可 以 说 是 对 其 非 常 的 了 解 ， 更 不可 以 说 是 彻 底 地 掌 握 ， 但 是 基 于 课 前 的 按 时 预 习 ， 上 课 的 认 真 听 讲 ， 课 后 的 及 时 巩固 ， 我 也 简 单 地 认 识 了 常 微 分 方 程 的 一 些 概 况 ， 掌 握 了 一 些 基 本 常

2、微 分 方 程 思 想 及其 解 决 方 法 。 接 下 来 ， 我 就 来 谈 谈 我 对 常 微 分 方 程 的 认 识 吧 。常 微 分 方 程 是 指 自 变 量 只 有 一 个 的 微 分 方 程 。 它 在 微 积 分 概 念 出 现 后 即 已 出 现 ，后 来 依 次 经 过 “求 同 解 ”的 时 代 ， “求 定 解 ”的 时 代 ， “求 所 有 解 ”的 时 代 ， 直 到 现在 的 “求 特 殊 解 ”时 代 。 在 每 个 时 代 中 ， 都 有 许 多 大 数 学 家 的 积 极 参 与 ， 常 微 分 方 程在 其 自 身 蓬 勃 发 展 的 同 时 也 促 进

3、 了 其 他 学 科 及 领 域 的 最 大 限 度 的 进 步 ， 在 物 理 、 工程 、 力 学 、 天 文 学 、 生 物 学 、 医 学 、 经 济 学 等 诸 多 领 域 一 直 发 挥 着 它 不 可 估 量 的 伟大 作 用 。 如 自 动 控 制 、 各 种 电 子 学 装 置 的 设 计 、 弹 道 的 计 算 、 飞 机 的 稳 定 性 的 研 究 、化 学 反 应 过 程 稳 定 性 的 研 究 等 都 需 要 常 微 分 方 程 的 涉 及 。例 如 ， 在 天 文 学 上 ， 一 般 星 体 都 是 通 过 观 察 得 到 的 ， 而 海 王 星 的 发 现 却 是

4、 个 罕见 的 例 外 。 牛 顿 研 究 天 体 运 动 的 微 分 方 程 ， 从 理 论 上 得 到 行 星 运 动 的 规 律 ， 而 这 些 规律 原 来 只 是 由 开 普 勒 通 过 观 测 归 纳 出 的 。 而 后 1846 年 ， 法 国 巴 黎 天 文 台 的 勒 威 耶(Le-verrier, 1811-1877)在 对 这 个 微 分 方 程 进 行 数 值 分 析 计 算 的 基 础 上 ， 预 言 太 阳系 中 还 有 第 八 颗 行 星 的 存 在 ， 并 计 算 出 了 第 八 颗 行 星 的 位 置 ， 这 之 后 人 们 按 照 他 的计 算 结 果 通

5、过 观 察 才 找 到 海 王 星 。 这 一 事 实 既 推 动 了 天 文 学 的 发 展 ， 也 促 进 了 微 分方 程 的 发 展 。常 微 分 方 程 是 数 学 中 与 应 用 密 切 相 关 的 基 础 学 科 ， 它 在 很 多 学 科 领 域 内 有 着 重要 的 应 用 ， 著 名 数 学 家 塞 蒙 斯 曾 如 此 评 价 常 微 分 方 程 在 数 学 中 的 地 位 ： “300 年 来分 析 是 数 学 里 首 要 的 分 支 ， 而 微 分 方 程 又 是 分 析 的 心 脏 ， 这 是 初 等 微 积 分 的 天 然 后 继课 ， 又 是 为 了 解 物 理

6、科 学 的 一 门 最 重 要 的 数 学 ， 而 且 在 它 所 产 生 的 较 深 的 问 题 中 ， 它又 是 高 等 分 析 里 大 部 分 思 想 和 理 论 的 根 源 。 ” 可 见 ， 常 微 分 方 程 在 数 学 中 的 地 位 是 如 此 的 重 要 ， 那 么 我 们 更 有 必 要 潜 心 学 习和 了 解 它 ， 我 们 即 使 没 有 深 入 研 究 做 学 问 的 目 标 与 勇 气 ， 但 是 尽 可 能 的 掌 握 一 些 有关 常 微 分 方 程 的 知 识 是 一 笔 不 小 的 人 生 财 富 。 合 理 的 结 合 实 际 应 用 ， 在 将 来 的

7、 生 活与 工 作 中 都 会 有 一 定 的 潜 移 默 化 的 效 果 。可 以 用 之 于 生 活 的 东 西 也 必 定 是 取 之 于 生 活 的 ， 那 么 在 我 们 的 自 然 界 、 社 会 界 中就 有 各 种 各 样 的 常 微 分 方 程 模 型 ， 如 书 中 提 到 的 RLC 模 型 、 数 学 摆 、 人 口 模 型 、 传染 病 模 型 、 两 生 物 种 群 生 态 模 型 等 。 其 中 著 名 的 Lorenz 方 程 的 来 源 就 是 ， 在 20 世纪 60 年 代 初 ， 美 国 麻 省 理 工 学 院 气 象 学 家 洛 伦 兹 （ Loren

8、z） 为 了 预 报 天 气 ， 他 用 数字 计 算 机 求 解 仿 真 地 球 大 气 的 13 个 方 程 式 ， 意 图 是 利 用 计 算 机 的 高 速 运 算 来 提 高 长期 天 气 预 报 的 准 确 性 。 1963 年 的 一 次 试 验 中 ， 为 了 更 细 致 地 考 察 结 果 ， 他 把 一 个 中间 解 0.506 取 出 ， 提 高 精 度 到 0.506127 再 送 回 。 而 当 他 到 咖 啡 馆 喝 了 杯 咖 啡 以 后 回来 再 看 时 竟 大 吃 一 惊 ： 本 来 很 小 的 差 异 ， 结 果 却 偏 离 了 十 万 八 千 里 ！ 再

9、次 验 算 发 现 计算 机 并 没 有 毛 病 ， 洛 伦 兹 （ Lorenz） 发 现 ， 原 来 这 是 由 重 新 输 入 数 据 的 小 数 尾 数 误差 所 引 起 的 ， 从 而 发 现 方 程 的 解 对 初 值 敏 感 的 现 象 。 后 来 他 访 问 另 一 天 气 中 心 是 ，了 解 到 另 有 人 得 到 了 7 个 变 量 的 类 似 的 方 程 组 。 经 过 重 新 处 理 ， 他 将 其 中 的 4 个 变化 不 大 的 变 量 删 去 ， 得 到 仅 含 3 个 变 量 的 微 分 方 程 组 ， 但 其 解 对 初 值 异 常 的 敏 感 。他 将 数

10、 值 计 算 结 果 发 表 在 美 国 气 象 学 报 上 。Lorenz 方 程 ： 其 中 参 数 a,b,c 均 为 正 数 。bzxydtzcat/)(/当 然 ， 在 认 真 学 好 一 门 课 程 时 ， 除 了 勤 看 书 ， 勤 动 笔 ， 勤 动 脑 ， 勤 请 教 ， 勤 探讨 外 ， 学 会 使 用 辅 助 工 具 不 仅 是 一 种 技 巧 ， 也 是 一 种 必 要 。学 习 常 微 分 方 程 ， 就 需 要 掌 握 一 些 数 学 软 件 ， 这 样 才 可 以 更 好 地 辅 助 我 们 学 习 、研 究 。 解 除 繁 琐 、 重 复 的 人 工 计 算 ，

11、 起 到 事 半 功 倍 的 作 用 。 数 学 软 件 一 方 面 可 以 通过 计 算 机 数 值 计 算 和 绘 图 迅 速 了 解 或 探 讨 某 些 常 微 分 方 程 的 性 态 ； 另 一 方 面 是 应 用数 学 软 件 中 的 符 号 计 算 功 能 直 接 求 解 某 些 常 微 分 方 程 。 书 中 附 录 里 提 到 有Mathematica,MATLAB,Maple 三 种 各 具 特 色 的 计 算 机 数 学 软 件 。在 绘 图 上 ， 如 上 面 提 到 的 Lorenz 方 程 ， 我 们 可 以 直 接 很 直 观 地 得 到 它 的 三 个 性质 ：1

12、.对 称 性 。 当 用 （ -x,-y,z） 替 换 (x,y,z)时 方 程 形 式 不 变 ， 方 程 关 于 z 轴 对 称 。2.z 轴 是 不 变 集 。 因 x=0， y=0 满 足 方 程 ， 此 时 dz/dt=-bz,即 z 轴 为 不 变 集 ， 且轨 线 沿 着 z 轴 趋 于 原 点 ； 而 在 平 面 x=0 上 ， 当 y0 时 ， dx/dt0； 当 y0 时 ，dx/dt0,因 此 环 绕 z 轴 的 轨 线 从 平 面 x=0 的 上 方 看 是 逆 时 针 方 向 旋 转 地 。3.耗 散 性 和 吸 引 性 。在 计 算 上 ， 如 书 中 350 页

13、的 例 题 1， 求 方 程 组 解 )2/(2/zyxzdy解：将方程写成对称的形式dx/(x2-y2-z2)=dy/2xy=dz/2xz，得到一个首次积分 y/z=c1,由（xdx+ydy+zdz）/x(x2+y2+z2)=dy/2xy得到另一个首次积分（x2+y2+z2）/y=c2,上述两个首次积分是彼此独立的，因此方程组的通积分可表示为2/)2(1/cyzxcy但是如果通过数学软件进行计算，只要我们按照使用软件的要求输入我们的题目，键盘一敲，运行操作，结果就只是在几秒间的事情。所以在我们只要求获得一个最终答案，而无需琢磨其中具体过程的研究中，使用数学软件是最佳，最便捷的选择，当然在数学软件中也可以看每一步运行过程。然而，我们作为常微分方程的初学者，学习数学软件只是掌握一门技术，并不是纯粹的为了计算的方便。我们还是需要自己动笔，动脑认真学习琢磨的。所谓实践出真知嘛，经过自己的大脑吸收，消化过的东西才是自己真正的知识。到关键时候用起来才能够得心应手。我谈了上述几点对常微分方程的认识，总括起来就是学好常微分方程，理论与实际相结合，在常微分方程中融入生活元素，在生活中结合常微分方程思想。