1、绳子拉船问题的理解与求解一、绳子拉船问题的理解1绳子拉船问题如图 1 所示，在水面上方 h 高的岸上，某人利用绕过定滑轮 O 的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船，如果人拉动绳子的速度大小为 V，则当绳子 OA 与水平面的夹角为 时，小船运动的速度为多大。2常见错误及原因分析对此问题，很多学生的常见错误是把拉动绳子的速率 V 沿竖直和水平两个方向分解，如图 2 所示，因此错误地认为船沿水面运动的速度，就是绳子沿水平方向的分速度，即 V 船=Vcos （1）造成上述错误的原因，就是没有分清楚合运动与分运动，错误地认为与船相连的绳子沿收缩方向是合运动，小船的运动为它的分运动。实际上，绳子 A 端与船相
2、连，它的实际运动与小船运动相同，也是水平向左，这才是合运动。3常规解法如图 1 所示，当绳子拉着小船水平向左运动时，定滑轮右边的绳子运动有这样的效果：一方面，沿绳子方向收缩；另一方面，绳子绕定滑轮 O 顺时针转动。因此，可将绳 A 端（或小船）水平向左的实际运动（合运动）分解成上述两个方向的分运动，如图 3 所示，而沿绳子收缩方向的分速度大小等于人通过定滑轮拉动绳子的速度大小 V，故小船运动的速度为 （2）1功能原理法设定滑轮的质量、滑轮与轴之间的摩擦均不计，则人在利用绕过定滑轮的绳子拉船过程中，人拉轻绳所做的功等于绳子拉船所做的功，即 W 人=W 船，由于人拉绳与绳拉船的时间相同，则有 ，即
3、 P 人 = P 船 （3）设人对绳子的拉力为 F，则绳对船的拉力大小也为 F，根据功率的计算公式P=FVcos，有P 人 = FV （4）P 船 = FV 船 cos （5）联立（3） 、 （4） 、 （5）式可得类型题： 绳联物体的速度分解问题 【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度 拉水平面上的物体 A，当绳0v与水平方向成 角时，求物体 A 的速度。v0A解析：解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体 A 的两个分运动。物体 A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于 ；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变
4、绳长，01v只改变角度 的值。这样就可以将 按图示方向进行分解。所以 及 实际上就是 的A 1v2Av两个分速度，如图所示，由此可得。cos01vvA解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。v0ACB xL设船在 角位置经t 时间向左行驶x 距离，滑轮右侧的绳长缩短L，如图所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有，两边同除以 t 得：cosxLcostx即收绳速率 ，因此船的速率为：cs0Avcos0vA总结：“微元法” 。可设想物体发生一个微小位移，分析
5、由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为 F，则对绳子做功的功率为 ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可01FvP知，拉力大小也为 F，则绳子对物体做功的功率为 ，因为 所以cos2A21P。cos0vA评点： 在上述问题中，若不对物体 A 的运动认真分析，就很容易得出的错误结果； 当物体 A 向左移动， 将逐渐变大， 逐渐变大，虽然人0vA Av做匀速运动，但物体 A 却在做变速运动。总结：解题流程：选取合适的连结点（该点
6、必须能明显地体现出参与了某个分运动） ；确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；作出速度分解的示意图，寻找速度关系。【例题】如图所示，在高为 H 的光滑平台上有一物体用绳子跨过定滑轮 C，由地面上的人以均匀的速度 v0 向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘 A 处向右行走距离 s 到达 B 处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少距离？hv0s BAs解析：人的实际运动为合运动，将此合运动分解在沿绳方向和垂直于绳的方向。全解设人运动到 B 点时，绳与地面的夹角为 。人的运动在绳的方向上的分运动的
7、速度为： 。物体的运动速度与沿绳方向的运动速度相同，所以物体的运动速度为cos0v。200hsv物体移动的距离等于滑轮右端绳子伸长的长度，。ssd2co答案： ， 20hsvhsd2小结分清合运动是关键，合运动的重要特征是，合运动都是实际的运动，此题中，人向前的运动是实际的运动，是合运动；该运动分解在沿绳的方向和垂直于绳的方向，这两个运动的物理意义是明确的，从滑轮所在的位置来看，沿绳的方向的运动是绳伸长的运动，垂直于绳的方向的运动是绳绕滑轮的转动，人同时参与了这两个运动，其实际的运动（合运动）即是水平方向的运动【例题】如图所示，重物 M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车 m 沿斜面升高问：当滑轮
8、右侧的绳与竖直方向成 角，且重物下滑的速率为 v 时，小车的速度为多少？m vM解析：重物 M 的速度 v 的方向是合运动的速度方向，这个 v 产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率 v运动，如图所示，由图可知，vvcos【例题】一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物 B，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为 ，则（ BD ）BA,vAvBA B vBAvC D重物 B 的速度逐渐增大【例题】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为 mA 和 mB 的两个小球 A 和 B（可视为质点） 。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成 角
9、时，A 球沿槽下滑的速度为 VA，求此时 B 球的速度 VB？ABa解析：A 球以 VA 的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速度为 VA1；一个使杆绕 B 点转动的分运动，设其速度为 VA2。而 B 球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为 VB，可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为VB1， VB1=VA1；一个使杆摆动的分运动设其速度为 VB2；ABavA2vAvBvA1 vB2vB1由图可知： cossin11ABVVcotABV【例题】如图所示，临界角 C 为 450 的液面上有一点光源 S 发出一束光垂直入射到水平放置于液体中且距液面为 d 的平面镜 M 上，
10、当平面镜 M 绕垂直过中心 O 的轴以角速度 做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过，则观察者们观察到的光斑在水面上掠过的最大速度为多少？SOdM解析：设平面镜转过 角时，光线反射到水面上的 P 点，光斑速度为 V，由图可知：SOdMvvv2P且 ，而2cosV2cos.dL故 d液体的临界角为 C，当 2=C=45 0 时，V 达到最大速度 dv4max类型题： 面接触物体的速度问题 求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。【例题】一个半径为 R
11、的半圆柱体沿水平方向向右以速度 V0 匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆柱体接触点 P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为 ，求竖直杆运动的速度。R OP v0v1解析：设竖直杆运动的速度为 V1，方向竖直向上，由于弹力方向沿 OP 方向，所以V0、V 1 在 OP 方向的投影相等，即有 ，解得cossin10V1=V0。 tan【例题】一根长为 L 的杆 OA，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球 A，靠在一个质量为 M，高为 h 的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度 v 向右运动时，小球 A 的线速度 vA（此时杆与水平方
12、向夹角为 ） 。o A解析：解题方法与技巧：选取物与棒接触点 B 为连结点。 （不直接选 A 点，因为 A点与物块速度的 v 的关系不明显） 。因为 B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故 B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度 v；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度 v1 和绕 O 点转动的线速度 v2。因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=vsin。设此时 OB 长度为 a，则 a=h/sin。令棒绕 O 点转动角速度为 ，则：=v2/a=vsin2/h。故 A 的线速度 vA=L=vLsin2/h。浅谈“运动速度的分解”中
13、隐形的知识点李泽龙高中物理力学、电学、光学部分，速度的正交分解这一知识点常常“隐形”的渗透到不同运动方向的两个或多个连结体运动的情景中，或者运动物体的速度瞬间发生突变时的情景中。如果解题者稍有不慎，就会因不能辩识出或者不能正确的应用速度分解，而造成对整道题的解答错误。下面例举几道常出现速度分解的典型例题加以讨论分析，把握此知识点出现的规律性，以便灵活、准确的应用。一. 速度投影类的速度分解1. 速度分解“隐形”在力学的超重、失重物理情景中例 1. 如图 1，在不计滑轮摩擦和绳质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体 A 的受力情况是（ ）A. 绳的拉力大于 A 的重力B. 绳的拉力等于 A 的
14、重力C. 绳的拉力小于 A 的重力D. 拉力先大于 A 的重力，后小于重力图 1分析与点拨：此类问题通常是通过定滑轮造成绳子两端的连接体运动方向不一致，导致主动运动物体和被动运动物体的加速、减速的不一致性。解答时必须运用两物体的速度在各自连接处绳子方向投影相同的规律。解析：把小车的速度为合速度进行分解，即根据运动效果向沿绳的方向和与绳垂直的方向进行正交分解，分别是 v2、v 1。如图 1 所示，题中物体 A 的运动方向与连结处绳子的方向相同，不必分解。A 的速度等于 v2， ，小车向右运动时， 逐渐变小，可cos知 逐渐变大，故 A 向上做加速运动，处于超重状态，绳子对 A 的拉力大于重力，v
15、2故选项 A 正确。2. 速度分解“隐形”在杆的各点运动速度不同的情景中例 2. 如图 2 所示，当放在墙角的均匀直杆 A 端靠在竖直墙上，B 端放在水平地面，滑到图示位置时，B 点的速度为 v，则 A 点的速度是_（ 为已知） 。图 2分析与点拨：由于杆 AB 下滑时各点的速度不同，但各点速度沿杆方向的投影相同，即沿杆方向的速度效果相同，所以把两端点的速度必须向沿杆方向上和杆垂直的方向上正交分解。解析：把 A、B 两端点的速度为 vA、v B 各自做为合速度向沿杆 AB 的方向和与杆垂直的方向进行正交分解，如图 2 所示，沿杆 AB 方向的投影分速度相同，都是 v1，那么有：，即求解出 A
16、下滑的速度： 。vAsincosvcot二. 速度分解“隐形”在水平面内圆周运动的物理情景中例 3. 如图 3，一个小球被绳子牵引在光滑的水平板上，以速度 v 做匀速圆周运动，其半径 ， ，现将牵引的绳子迅速放长 20cm，使小球在更大半径的新轨rcm0vs1./道上做匀速圆周运动，求实现这一过渡所需的时间？在新轨道上做匀速圆周运动时，绳子对小球的牵引力 F2 是原来绳子对小球牵引力 F1 的多少倍？图 3分析与点拨：当绳子放长后，牵引力迅速变为 O，球沿切线方向做匀速直线运动，在绳长 50cm 处被拉紧时，速度的方向突然发生改变后，才能沿新轨道圆做匀速圆周运动，此过程有动能损失。如果忽视这一
17、瞬间的速度分解的关键处理方法，认为速率不变的进入新的圆周运动，导致题问的错解。解析：假设球运动到 A 点时开始放长，可转化成直视平面图 4，球从 A 点沿切线方向 AB 飞出，并做匀速直线运动，再被拉紧时在 B 点，OB 为新轨道圆的半径， ， 。OBrcm150SrmB122053tSvsB014.球在 B 点被拉紧前的瞬间速度沿 AB 方向， ，即拉紧后在新圆周上vsB1/的匀速圆周运动的线速度为 v1，二者不相等。按照 vB 的运动效果并作为合速度正交分解，分速度分别是：新圆上过 B 点沿半径 OB 向外的速度 v2 和过 B 点的切线方向的速度为v1，如图 4 所示。图 4，v 2 被
18、绳子的拉力作用瞬间变为 O，半径为vvmsB113506sini./r 的圆周上运动时向心力 ，半径为 r1 的一个圆周上运动时的向心力 ，Fr12 Fmvr212Fvr212206357： .三. 速度分解“隐形”在机械能守恒的物理情景中例 4. 如图 5，三物体 A、B 、C 质量相等，A、B 用细绳绕过轻小的定滑轮相连接，开始 A、B 静止，滑轮间的细绳长 MN 为 2a，现将 C 物体轻轻挂在 MN 绳的中点，试求松手后，C 物体运动过程能达到的最大速度为多少？图 5分析与点拨：易分析 C 物体速度最大时合力为 0，如图 5 所示，此时 C、A 、B 的速度分别为：v C、v A、v
19、B，常犯把速度 vC 向 MO1、NO 1 两方向分解而得到 的错v误。实际上物体 C 的运动有四个效果，应采用两个速度正交分解图处理，如图 6（a） 、 （b） 。显然物体 A、B 在 最大时，它们的速率相等， 。vABC图 6解析：假设 O 点下落到 O1 位置时 C 物体速度最大，如图 5 所示，此位置结点 O1 受到合力为 O， ，C 物体的速度最大为 ，A、B 两物体的速度大小相MN120 vC等即 ， 。A、B 两物体上升的高度vAB1MOa6023sin，C 物体下降的高度 ，合速度 的h123()ha1603cot vC两个速度分解如图 6（a） （b）而求出 。由于该过程 A
20、、B、C 绳组成vvCC12s的系统机械能守恒： ，代入求解得mghm12()vC233()四. 速度分解“隐形”在电学情景中例 5. 如图 7 所示，在一个平行板电容器的水平方向的匀强电场中，用丝线在固定点悬挂一个质量为 M 的小球，使小球带正电，电量正好使小球的重力为小球所受电场力的倍，现拉开小球至丝线正好水平伸直的 A 位置后自由释放，求小球到最低点 B 处时线3上拉力的大小？图 7分析与点拨：必须考虑到球沿直线 AC 方向运动到沿 CB 弧圆周运动过渡时的 C 点的动能损失，如不分析 C 位置的速度突变，就会造成由 A 点到 B 点整体运动过程使用动能定理的错误解法。解析：易分析球在重
21、力与电场力的合力作用下沿合力方向做初速度为 0 的匀加速直线运动，直至 C 点绳子被拉直，此时 ， ，如图 7 所示，线长为tanmgqE36L，由动能定理可求球刚到 C 点时的速度 vC， ，LgmvCcotsin12，小球在 C 点受到细线的拉力作用后，速度瞬间发生突变，由 vC 方向变为与vglC23OC 垂直方向的速度 v1，把合速度 vC 进行正交分解，分解为沿半径 OC 方向的分速度 v2 和沿切线方向的速度 ， ，即 v2 在线拉力的作用下减至零，损失v1 gLC30cos了动能。小球由 C 到 B 的运动过程中应用动能定理：（1）mgLqEL(cos)sin130301212mvB在 B 点： （2）TgvB2（1） （2）联立可得：TmgB()3，由速度分解图可求得vOPd124vdP1608cos
