水平宽铅垂高求三角形面积.doc.doc

1、1作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法-二次函数教学反思铅垂高如 图 ， 过 ABC 的 三 个 顶 点 分 别 作 出 与 水 平 线 垂 直 的 三 条 直 线 ， 外 侧 两 条 直 线 之 间的 距 离 叫 ABC 的 “水 平 宽 ”（ a） ， 中 间 的 这 条 直 线 在 ABC 内 部 线 段 的 长 度 叫 ABC的 “铅 垂 高 ”（ h） 我 们 可 得 出 一 种 计 算 三 角 形 面 积 的 新 方 法 ： S ABC=12 ah， 即三 角 形 面 积 等 于 水 平 宽 与 铅 垂 高 乘 积 的 一 半 最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，

2、经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀” ，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图 1，过 ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫 ABC 的“水平宽”( a)，中间的这条直线在 ABC 内部线段的长度叫 ABC 的“铅垂高( h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 . ahSABC21BC铅垂高水平宽h a 图 1CBA OyxDBA OyxP2例 1 （2013 深圳）如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0） ，连结 OA

3、，将线段 OA 绕原点O 顺时针旋转 120，得到线段 OB.（1）求点 B 的坐标；（ 2）求经过 A、 O、 B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1， ）3（2）设抛物线的解析式为 y=ax(x+a)，代入点 B（1, ） ，得 ，因此33a23yx（3）如图，抛物线的对称轴是直线 x=1，当点 C 位于对

4、称轴与线段 AB 的交点时，BOC 的周长最小.设直线 AB 为 y=kx+b.所以 ，因此直线 AB 为 ，当 x=1 时，3,320.2kkb解 得 32yx，因此点 C 的坐标为（1， /3）.3y3（4）如图，过 P 作 y 轴的平行线交 AB 于 D.22()()133331938PABDBDPBASSxxx 当 x= 时，PAB 的面积的最大值为 ，此时 .293813,24P例 2(2014 益阳) 如图 2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线(在第一象限内) 上的一个动

5、点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求CAB 的铅垂高 CD 及 ；(3)是否存在一点 P，使 SPAB = SCAB ，若存在，求出 P 点CABS 89的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为： 把 A（3,0）代入解4)1(21xay析式求得 所以 设直线 AB 的1a 3)(2解析式为： 由 求得 B 点的坐标为 bkxy21xy ),0(图-2xCOyABD113把 ， 代入 中 解得： 所以 )0,3(A),(Bbkxy2 3,1bk32xy(2)因为 C 点坐标为(,4)所以当 x时，y 14，y 22 所以 CD4-22 (平方单1CABS位)

6、(3)假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，PAB 的铅垂高为 h，则由 SPAB = SCAB 得 化简xxyh 3)()32( 221 89389)(3212x得： 解得， 将 代入 中，解得 P 点坐标为094 21xy 415,(例 3 （2015 江津）如图，抛物线 cbxy2与 x 轴交于 A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使 P

7、BC 的面积最大？，若存在，求出点 P 的坐标及 PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将 A(1，0)，B(3，0)代 中得 2yxbc1093bc 23b抛物线解析式为： 23(2)存在。 理由如下：由题知 A、B 两点关于抛物线的对称轴 对称1x直线 BC 与 的交点即为 Q 点， 此时AQC 周长最小 1x 23yxC 的坐标为：(0，3) 直线 BC 解析式为： Q 点坐标即为 的解 3yx Q( 1，2)2xy（3）答：存在。理由如下：设 P 点 若2(3) (0)xx， 92BPCBOCPBPCOSS四 边 形 四 边 形有最大值，则 就最大，BCOS四 边 形 B

8、PCS EOERt四 边 形 直 角 梯 形1()2E 221(3)3(3)xxx2397()8x当 时， 最大值 最大 BPCOS四 边 形 978BPCS4(3)xyABCPE OxyABCQO(2)当 时， 点 P 坐标为32x21534x315( )24，同学们可以做以下练习：1 （2015 浙江湖州）已知如图，矩形 OABC 的长 OA= ，宽 OC=1，将AOC 沿 AC 翻折得APC。3（1）填空：PCB=_度，P 点坐标为（ ， ） ；（2）若 P，A 两点在抛物线 y= x2+bx+c 上，求 b，c 的值，并说明点 C 在此抛物线上；4（3）在（2）中的抛物线 CP 段（不

9、包括 C，P 点）上，是否存在一点 M，使得四边形 MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时 M 点的坐标；若不存在，请说明理由。2 （湖北省十堰市 2014）如图， 已知抛物线 32bxay（a0）与 x轴交于点 A(1，0) 和5点 B (3，0) ，与 y 轴交于点 C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE面积的最大值，并求此时 E 点的坐标

10、图 图3.(2015 年恩施) 如图 11，在平面直角坐标系中，二次函数 cbxy2的图象与 x 轴交于 A、 B两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结 PO、PC ， 并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP /C， 那么是否存在点 P，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积.解：（1）将 B、

11、 C 两点的坐标代入得 30cb 解得： 32cb 所以二次函数的表达式为： 32xy （2）存在点 P，使四边形 POP /C 为菱形设 P 点坐标为（ x，图 11632x） ，PP /交 CO 于 E 若四边形 POP /C 是菱形，则有 PCPO连结 PP / 则 PE CO 于 E，OE=EC = 23 y= 32x= 解得 1x= 0， 2x= 10（不合题意，舍去）P 点的坐标为（ ， 3）（3）过点 P 作 y轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（x， 32x） ，易得，直线 BC的解析式为 3x则 Q 点的坐标为（x，x 3）. EBQOCABSSCP

12、BACBP 2121四 边 形 )(421x= 87532x当 23x时，四边形 ABPC 的面积最大此时 P 点的坐标为 415,，四边形 ABPC 的面积 875的 最 大 值 为25 （2015 绵阳）如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0） 、B（2，0） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 DE（1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H，使CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动

13、，当 K 运动到什么位置时， EFK 的面积最大？并求出最大面积CEDGAxyO BF【解析】 （1）由题意，得 解得 ，b = 1,04216ba2aKNCEDGAxyO BF7所以抛物线的解析式为 ，顶点 D 的坐标为（ 1， ） 421xy 29（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M因为 EF 垂直平分 BC，即 C 关于直线 EG 的对称点为 B，连结BD 交于 EF 于一点，则这一点为所求点 H，使 DH + CH 最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD = 而 1322B 25)49(12 CDH 的周长最小值为 CD + DR + CH = 5设直线 BD

14、 的解析式为 y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3,2901bk21k所以直线 BD 的解析式为 y = x + 3由于 BC = 2 ， CE = BC2 = ，RtCEGCOB，255得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5G（0，1.5） 同理可求得直线 EF 的解析式为 y = x 21+ 23联立直线 BD 与 EF 的方程，解得使 CDH 的周长最小的点 H（ ， ） 43815（3）如图所示，设 K（t， ） ，xFtxE过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N421t则 KN = yK yN = （ t + ）= 3212t所

15、以 SEFK = SKFN + SKNE = KN（t + 3）+ KN（1t）= 2KN = t 23t + 5 =（t + ） 2 +3429即当 t = 时，EFK 的面积最大，最大面积为 ，此时 K（ ， ） 34292385平面直角坐标系中三角形面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.1 有一边在坐标轴上：例 1：如图 1，平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为（3，0），（0，3），（0，1），求ABC 的面积.分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出， ABC 的边 BC 在 y 轴上，由图形可得 BC4，点 A 到

16、 BC 边的距离就是 A 点到 y 轴的距离，也就是8A 点横坐标的绝对值 3，然后根据三角形的面积公式求解.2 有一边与坐标轴平行：例 2：如图 2，三角形 ABC 三个顶点的坐标分别为 A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求ABC 的面积.分析：由 A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边 AB与 y 轴平行，因而 AB 的长度易求 .作 AB 边上的高 CD，就可求得线段CD 的长，进而可求得三角形 ABC 的面积. 3 三边均不与坐标轴平行：例 3：分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我 们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.4 三角形面积公式的推广：过ABC

17、 三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽”（a），中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高”（h）我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S ABC = ah 21即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半例 4：已知：直线 l1：y= 2x+6 与 x 轴交于点 A，直线 l2：y=x+3 与 y 轴交于点 B，直线 l1、l 2 交于点C()建立平面直角坐标系，画出示意图并求出 C 点的坐标；()利用阅读材料提供的方法求ABC 的面积95 巩固练习：（1）已知：如图，直线 与反比例函数 （ 0）的图象相交于点 、点 ，与 轴交bkxy

18、kyxABx于点 ，其中点 的坐标为（2，4） ，点 的横坐标为4.CAB（）试确定反比例函数的关系式；（）求 的面积O10（2）如图，在直角坐标平面内，函数 （ ， 是常数）的图象经过 ， ，其中myx0(14)A， ()Bab，过点 作 轴垂线，垂足为 ，过点 作 轴垂线，垂足为 ，连结 ， ， 1aAxCByDC若 的面积为 4，求点 的坐标；BD（3）已知，直线 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰RtABC，BAC=90 且点 P（1，a）为坐标系中的一个动点（）求三角形 ABC 的面积 SABC；（）请说明不论 a 取任何实数，三角形 BOP 的面积是一个常数；（）要使得ABC 和ABP 的面积相等，求实数 a 的值