1、1【基础知识回顾】一、 圆的定义及性质：1、 圆的定义：形成性定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段 OA 叫做 描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦】2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的 叫做弦弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类3、圆的对称性：轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转
2、任意角度都被与原来的图形重合】二、 垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线3、垂径定理常用作计算，在半径 r 弦 a 弦心 d 和弦 h 中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别
3、【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、 圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论 1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论 2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900 的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有 个，它们的关系是 2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、 圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做 性质：圆内接四边形的对角 【名
4、师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】垂径定理典型例题分析：例题 1、 基本概念1下面四个命题中正确的一个是（ ）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦2C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（ ） A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧例题 2、垂径定理1、 在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度 AB 是_cm.2、在直
5、径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后， ，如果油面宽度是 48cm，那么油的最大深度为_cm.3、如图，已知在 中，弦 ，且 ，垂足为 ， 于 ， 于 .OCDABHABOECDF（1）求证：四边形 是正方形.EHF（2）若 ， ，求圆心 到弦 和 的距离.3C9OABCD4、已知：ABC 内接于O，AB=AC，半径 OB=5cm，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求 AB 的长5、如图，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点，ADBC 于 D，求证：AD= BF.21例题 3、度数问题1、已知：在 中，弦 ， 点到 的距离等于 的一半，求： 的度数和圆的
6、半径.Ocm12ABOABAOB 32、已知：O 的半径 ，弦 AB、 AC 的长分别是 、 .求 的度数。1OA23BAC例题 4、相交问题如图，已知O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=6cm，EB=2cm，BED=30，求 CD 的长.例题 5、平行问题在直径为 50cm 的O 中，弦 AB=40cm，弦 CD=48cm，且 ABCD，求：AB 与 CD 之间的距离.例题 6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦 AB，交小圆于 C、 D 两点，设大圆和小圆的半径分别为 .求证： .ba, 2baBDA A BDC EO4作 业：一、概念题1下列命题中错误的有（）（1）弦
7、的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2、O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的长的取值范围是（ ）（A） （B）5M5O（C） （D）3如图，如果 为 直径，弦 ，垂足为 ，那么下列结论中错误的AE是（ ）A B C DEBAC4如图， 是 直径， 是 的弦， 于 ，则图中不大于半圆的相OD等弧有（ ）对。A1 对 B2 对 C3 对 D4 对二、垂径定理1、过O 内一点 P 的最长弦为 10cm，最短的弦为 6cm，则 OP 的长为 .2.在 中，弦 长为
8、 ，圆心到弦 的距离为 ，则 半径长为 cm8ABcm3Ocm3半径是 的圆中，圆心到 长的弦的距离是 5c4如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径 ，桥拱的距度 m，则拱高10O16ABm._CD5一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是 13cm，水面宽，则水管中水深是_cm.2AB6如图，O 的直径 AB，垂足为点 E，若 ，则CD8,2DC（ ）A2 B4 C8 D167过O 内一点 M 的最长的弦长为 4cm，最短的弦长为 2cm，则 OM 的长为（ ）A cm B cm C1 D3cm328已知：如图，O 中直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，若 ，则 BE6,
9、10CDAB的长是（ ）A1 B2 C3 D49已知O 的弦 AB 长 8cm，弦心距为 3cm，则O 的直径是（ ）A5cm B10cm C cm D cm57310已知O 的半径为 2cm，弦 AB 长 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（ ）25A1cm B2cm C cm D cm2311 如图，已知 的半径为 ，两弦 与 垂直相交于 ，若 ，Ocm6ABCEcmC3，则 （ ）cmDE9A B C D63cc6三、度数问题1、在 中， 是弦， 是 的中点，延长 交 于 若 ，则 的度数是（ ODOAB） A B C D901012060四、相交问题1、圆的弦与直径相交成 30角，并且分直径为 6cm 和 4cm 两部分，则弦心距为（ ）A B C D323五、平行问题1、 圆的两互相平行的弦长分别 和 ，又两弦之间距离为 ，则圆的半径长是 8cm14cm3cm2、 在半径为 的圆内有两条互相平行的弦，弦长分别为 、 ，则这两条弦之间的距离为_c5 86六、同心圆1、如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、 D 两点， ，则c6,10CDABAC 的长为（ ）A0.5cm B1cm C1.5cm D2cm
