1、 3.51垂径定理知识讲解（基础） 【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）
2、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，且 AB6 cm，OD4 cm，则 DC的长为（ ）A5 cm B2.5 cm C2 cm D1 cm【思路点拨】欲求 CD的长，只要求出O 的半径 r即可，可以连结 OA，在 RtAOD 中，由勾股定理求出 OA.【答案】D； 【解
3、析】连 OA，由垂径定理知 13cm2ADB，所以在 RtAOD 中， 22435OA（cm） 所以 DCOCODOAOD541（cm）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。举一反三：【变式】如图，O 中，弦 AB弦 CD于 E，且 AE=3cm，BE=5cm，求圆心 O到弦 CD 距离。 【答案】 1cm2如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ）AMP 与 RN的大小关系不定 BMPRN CMPRN DMPRN【答案】B；【解析】比较线段 MP与 RN的大小关系，首先可通过测量猜测 MP与 RN相等，而证明两条线段相等通常
4、利用全等三角形，即证OMPONR，如果联想到垂径定理，可过 O作 OEMN 于 E，则 MENE，PERE， MEPENERE，即 MPRN【点评】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”.举一反三：【变式】已知：如图，割线 AC与圆 O交于点 B、C，割线 AD过圆心 O. 若圆 O的半径是 5，且 30DAC，AD=13. 求弦 BC的长.【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3如图 1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为 24m，拱的半径为 13m，则拱高为（ ）A5m B8m C7m D 53m【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把
5、题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题【答案】B；【解析】如图 2， AB表示桥拱，弦 AB的长表示桥的跨度，C 为 AB的中点，CDAB 于 D，CD 表示拱高，O 为 AB的圆心，根据垂径定理的推论可知，C、D、O 三点共线，且 OC平分 AB在 RtAOD 中，OA13，AD12，则 OD2OA 2AD 213 212 225 OD5， CDOCOD1358，即拱高为 8m【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点 O是 的圆心，其中 CD=60
6、0m，E 为上一点，且 OECD，垂足为 F，EF=90m，求这段弯路的半径【答案与解析】如图，连接 OC，设弯路的半径为 R，则 OF=(R-90)m，OECD，CF= 12CD= 600=300(m)，根据勾股定理，得：OC 2=CF2+OF2即 R2=3002+(R-90)2 ，解得 R=545，这段弯路的半径为 545m【点评】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题的数学方法一定要掌握举一反三：【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽 AB=60m，水面到拱顶距离 CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过
7、 3m时拱桥就有危险，现在水面宽 MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由【答案】不需要采取紧急措施设 OA=R，在 RtAOC 中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，R 2=302+(R-18)2， R 2=900+R2-36R+324，解得 R=34(m).连接 OM，设 DE=x，在 RtMOE 中，ME=16，34 2=162+(34-x)2，x 2-68x+256=0，解得 x1=4，x 2=64(不合题意，舍)，DE=4m3m，不需采取紧急措施【巩固练习】一、选择题1.下列结论正确的是（ ）A经过圆心的直线是圆的对称轴 B直径是圆的对称轴C与圆相交的直线是圆的对称轴 D
8、与直径相交的直线是圆的对称轴2下列命题中错误的有( )(1)弦的垂直平分线经过圆 (2)平分弦的直径垂直于弦(3)梯形的对角线互相平分 (4)圆的对称轴是直径A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3如图所示，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABCD 于 E，则图中不大于半圆的相等弧有( )Al 对 B2 对 C3 对 D4 对第 3题 第 5题4AB 为O 的弦，OCAB，C 为垂足，若 OA2，OCl，则 AB的长为( )A 5 B 25 C 3 D 235如图所示，矩形 ABCD与O 相交于 M、N、F、E，若 AM=2，DE=1，EF=8，则 MN的长为（ ）A2 B4 C6 D8
9、6已知O 的直径 AB=12cm，P 为 OB中点，过 P作弦 CD与 AB相交成 30角，则弦 CD的长为（ ） A 315cmB 310cC 35cmD 3c二、填空题7垂直于弦的直径的性质定理是_8平分_ _的直径_于弦，并且平分_9圆的半径为 5cm，圆心到弦 AB的距离为 4cm，则 AB=_cm10如图，CD 为O 的直径，ABCD 于 E，DE=8cm，CE=2cm，则 AB=_cm10题图 11 题图 12 题图11如图，O 的半径 OC为 6cm，弦 AB垂直平分 OC，则 AB=_cm，AOB=_12如图，AB 为O 的弦，AOB=90，AB=a，则 OA=_，O 点到 A
10、B的距离=_三、解答题13如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为 60米，拱高 18米，当洪水泛滥到跨度只有 30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有 4米，即 PN=4米时是否要采取紧急措施?14. 如图所示，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 P，CD10cm，AP:PB1:5，求O 半径15如图所示，O 的直径 AB和弦 CD交于 E，已知 AE=6cm，EB=2cm，CEA30，求 CD的长.【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】图形的对称轴是直线，圆的对称轴是过圆心的直线，或直径所在的直线. 2.【答案】C；【解析】(1)正确；（2） “平分弦（该弦不是直径）的直径垂直
11、于弦”才是正确的，所以（2）不正确；（3）对角线互相平分就是平行四边形，而不是梯形了，所以（3）不正确；（4）圆的对称轴是直径所在的直线，所以（4）不正确故选 C. 3.【答案】C；【解析】 AB； ACD； B. 4.【答案】D；【解析】先求 AC= 213.再求 AB=2AC=23.5.【答案】C；【解析】过 O作 OHCD 并延长，交 AB于 P，易得 DH=5，而 AM=2，MP=3，MN=2MP=23=6.6.【答案】A；【解析】作 OHCD 于 H，连接 OD,则 OH= 32, OD=6,可求 DH= 3152,CD=2DH=315. 二、填空题7 【答案】垂直于弦的直径平分弦，
12、并且平分弦所对的两条弧8 【答案】弦（不是直径） ，垂直于，弦所对的两条弧9 【答案】6； 10 【答案】8；11 【答案】 o63,120； 12 【答案】 a， ； 三、解答题13.【答案与解析】设圆弧所在圆的半径为 R，则 R2-(R-18)2=302， R=34当拱顶高水面 4米时，有 ，不用采取紧急措施.14.【答案与解析】连结 OC设 APk，PB5k， AB 为O 直径， 半径 11()(5)322OCABPk且 OPOAPA3kk2k ABCD 于 P， CP D5在 RtCOP 中用勾股定理，有 22OCP， 22(3)()kk即 5， 5(取正根)， 半径 3OCk(cm)15.【答案与解析】作 OFCD 于 F,连结 OC，如图，AE=6cm，EB=2cm， AB=8cm，OC=OB=4cm，则 OE=2cm，又CEA30 OF=1cm，在 RtCOF 中，由勾股定理得 15CFcm， 152CD cm。
