1、i基于数字滤波的谱数据的平滑算法的研究与实现摘要：当前正处于数字信息化时代，数字信号处理技术受到人们的广泛关注，其理论及算法随计算机技术和微电子技术的发展得到了飞速的发展，被广泛应用语音图像处理、数字通讯、谱分析、模式识别、自动控制等领域。数字滤波器是数字信号中最重要的组成部分之一，几乎出现在所有的数字信号处理系统中。数字滤波器是指完成信号滤波处理的功能，用有限精度算法实现的离散时间线性非时变系统，其输入是一组（由模拟信号取样和量化）数字量，其输出是经过变换的另一组数字量。数据平滑是统计语言建模的关键技术，它不仅可以改进语言模型的性能，还可以提高语音识别、文字识别等应用领域的系统识别率，不同的
2、数据平滑方法之间的对应在各种不同规模的训练集上操作。各种平滑算法中，以GoodTuring估计、线性插值平滑、Katzs回退式平滑最为典型和常用。由于射线和探测器中固有的统计涨落、电子学系统的噪声影响，谱数据有很大的统计涨落。谱数据的涨落使谱数据处理产生误差。在 能谱的分析中，如果被分析的核素活度很低，或被分析的是发射多支 射线核素所辐射的弱分支，或测量时间太短，那么，由于计数的统计涨落，可能使谱中相邻道计数的分散度较大，致使谱峰模糊。为了减少能谱测量数据的统计涨落，又保留谱峰的全部重要的特征，以便谱的分析，必须对实测 能谱原始数据进行光滑。关键词：数字滤波器；数据平滑；语料库；线性插值平滑；
3、统计涨落iiResearch and implementation of spectral data smoothing algorithm based on the digital filteringAbstract:Current is in the digital information age, digital signal processing technology is widespread attention, its theory and algorithm along with the development of the computer technology and mi
4、croelectronic technology obtained the rapid development and be widely applied in voice and image processing, digital communications, spectrum analysis, pattern recognition, automatic control and other fields. Digital filter is one of the most important part of digital signal, almost appeared in all
5、digital signal processing systems. Filtering processing of digital filter is refers to the complete function, with limited accuracy algorithm of discrete time linear time-invariant system, its input is a set of (by the analog signal sampling and quantization) digital quantity, its output is another
6、digital quantity after transforming. Data smoothing is the key technology of statistical language modeling, It not only can improve the performance of language modeling, it Can also improve speech recognition and Application areas such as language identification system recognition rate. Different da
7、ta smoothing method should be at the contrast between the different scale of operation on the training set. A variety of smoothing algorithms, To Good-Turing estimate, linear interpolation smoothing, Katzs back-off-type is most typical and commonly used smoothing. In this paper, various methods of d
8、ata smoothing empirical comparison, and discussed the impact of these data smoothing method performance of relevant factors. Due to inherent statistical fluctuation and the electronics system of noise influence in the rays and the probe, Spectral data has a lot of fluctuations. Spectral data fluctua
9、tion spectrum data processing error is produced. In gamma energy spectrum analysis, if the analysis of nuclide activity is very low, or is the analysis of the emission of radiation by gamma rays nuclide more weak branches, or the measuring time is too short, so, because of the statistical fluctuatio
10、n count, may make the adjacent word count in the spectral dispersion larger and lead to the peak fuzzy. In order to reduce the spectrum measurement data of statistical fluctuation, and keep all the important feature of spectral peak to facilitate analysis of the spectral , must be smooth to the meas
11、ured gamma spectrometry original data.KeyWords：Digital filter; Data smoothing; Corpus; Linear interpolation is smooth; Statistical fluctuation目 录iii摘要 iABSTRACTi目录 iii1 绪论 .11.1 谱数据的平滑处理概念 及方法11.2 滤波器的选用 .11.3 常用的数 字滤波算法与选择原则 .32 能谱平滑算法 的研究 .52.1 几种能谱 平滑算法 .52.2 其他算法的基本思想52.2.1 算数滑动平均法基本思想52.2.2 重心法
12、基本思想52.2.3 傅里叶变换法基本思想62.2.4 指数平滑法基本思想62.3 最小二乘移动平滑法72.3.1 Savitzky-Golay 滤波.72.3.2 最小二乘移动平滑法基本思想与方法82.3.3 移动最小二乘法与最小二乘法比较.122.4 小波变换方法.132.4.1 小波算法原理.13 2.4.2 小波算法去噪的基本方法.142.4.3 连续小波变换与局部时域分析.163 能谱平滑算法的实现.183.1 系统的实现.183.1.1 四种平滑法的仿真.183.1.2 两种仿真的结果分析以及比较.223.1.3 谱平滑 的几个具体问题.233.2 本章小结.264 未来展望与全文
13、总结 284.1 未来展望 284.2 全文总结 28参考文献 .30致谢 .31iv参考附录 .3211 绪论1.1 谱数据的平滑处理的概念及方法在放射性测量中，由于存在统计涨落，使得测量数据的规律不显著，尤其在能谱分析工作中，当被分析的放射性核素的活度很低时，在有限的测量时间内，每道计数较少，峰面积统计涨落较大，给测量结果带来较大的误差。其主要表现为在寻峰过程中丢失弱峰或出现假峰、峰净面积计算的误差加大等等。为了减少涨落的影响，有必要借助某些数学的手段对实验测得的能谱数据进行初步的处理，从离散的能谱中消除统计涨落，使之光滑，即能谱的数据平滑。谱数据的平滑就是以一定的数学方法对谱数据进行处理
14、，减少谱数据中的统计涨落，但平滑之后的谱曲线应尽可能地保留平滑前谱曲线中有意义的特征，峰的形状和峰的净面积不应产生很大的变化。对谱数据进行平滑处理可以减少谱数据的统计涨落，从而减少净面积的计算误差。同时，在使用较小的窗口时，对谱数据多次重复地进行平滑处理，可以有效地减小谱数据中的统计涨落。能谱的数据处理大致可以分为两个步骤。首先进行峰分析，即由能谱数据中找到全部有意义的峰，并计算出扣除本底之后每个峰的净面积。第二步是放射性核素的活度或样品中元素浓度的计算，即由峰位所对应的能量识别出被测样品中含有哪些放射性核素或被激发的元素，并且由峰的净面积计算出放射性核素的活度或元素在样品中的浓度。对于重峰或
15、受干扰严重的峰，还必须使用具有重峰分解能力的曲线拟合程序。其步骤包括：选取适当本底函数和峰形函数；将谱分段，确定进行拟合的普段；进行非线性最小二乘法拟合，求出拟合曲线的最佳参数向量；对拟合的最佳峰形函数积分或直接由相关参数计算峰面积和相关量。1.2 滤波器的选用对谱数据进行平滑处理通常使用数字滤波器。数字滤波器是对数字信号进行滤波处理以得到期望的响应特性的离散时间系统。作为一种电子滤波器，数字滤波器与完全工作在模拟信号域的模拟滤波器不同。数字滤波器工作在数字信号域，它处理的对象是经由采样器件将模拟信号转换而得到的数字信号。数字滤波器理论上可以实现任何可以用数学算法表示的滤波效果。数字滤波器有低
16、通、高通、带通、带阻和全通等类型。它可以是时不变的或时变的、因果的或非因果的、线性的或非线性的。应用最广的是线性、时不变数字滤波器，以及fir滤波器。 由信号分析理论的观点出发，我们可以把原始谱数据看成是噪声（即谱数据中的统计涨落）和信号（即峰函数和本底函数）的叠加。平滑的本质实际上就是对谱曲线进行低通滤波，去掉高频成分，保留有用的低频信号。谱数据的多次平滑可以看做是对前一次平滑后的数据再进行一次滤波。经过数字滤波器的处理可以提高信号噪声比。数字滤波技术由于其运算速度快，可方便地改变其滤波特性等特点，在解决低频干2扰、随机信号的滤波等方面效果明显优于模拟滤波技术。滤波技术是信号消噪的基本方法。
17、根据噪声频率分量的不同，可选用具有不同滤波特性的滤波器。当噪声的频率高于信号的频率时，应选用低通滤波器；反之，选用高通滤波器。当噪声的频率低于和高于信号的频率时，应选用带通滤波器。当噪声的频率处于信号的频率范围时，应选用带阻滤波器。只要选择恰当的数字滤波器响应函数，就能够使平滑后的谱既保留了原始谱中的峰和本底的形状和大小，又得到最佳的信号噪声比。由频域的观点分析，谱中的统计涨落，即噪声的频谱分布在整个频率范围内，而峰函数和本底函数的频谱主要集中在低频范围。因此，使用一个低通滤波器进行滤波，可以使峰和本底信息都通过滤波器到达输出器，而噪声中的高频成分被滤波器抑制，从而提高了平滑后谱中的信号噪声比
18、，减小了谱数据的统计涨落。图 1.2.1 和 1.2.2 画出了 SAVITZKY 滤波器在道域和频域中的响应函数g(f)0.20.30.40.50-5-10 5 100.1-0.10图 1.2.1 SAVITZKY 滤波器在道域中的响应函数；Figure 1.2.1 The response function of the SAVITZKY filter in the domain；g 0.40.60.81.0x/2x/3x/6 X350.2-0.20 2xw图 1.2.2 SAVITZKY 滤波器在频域中的响应函数；3Figure 1.2.2 The response function o
19、f the SAVITZKY filter in frequency domain；1.3 常用的数字滤波算法与选择原则在测量系统的输入信号中，都含有各种噪声和干扰。噪声和干扰既有来自测量系统本身，也有来自外界周围环境干扰。为了进行准确的测量和控制，必须削弱或滤除被测信号中的噪声和干扰。数字滤波还可以根据实际输入信号的不同，采用不同的滤波方法或滤波参数，具有灵活、方便、功能强等特点。常用的有数字滤波算法有以下几种：限幅滤波法、中值滤波法、算术平均滤波法、加权平均滤波法、滑动平均滤波法。1）限幅滤波法。限幅滤波法是把两次相邻的采样值相减，求出增量并用绝对值表示，然后与两次采样允许的最大值Y 进行
20、比较。Y 的大小由被测对象的具体情况而定，若小于或等于Y，则取本次样本值；若大于Y，则取上次采样值作为本次采样数据的样本。 2）中值滤波法。中值滤波法是将某一参数连续采样 N 次，N 通常是奇数，然后把 N 次采样值按从小到大排队，再取中间值作为本次采样值。 3）算术平均滤波法。算术平均值滤波法是连续取 N 次采样值进行算术平均。 4）加权平均滤波法。加权平均滤波法是对 N 次采样值分别乘以不同的加权系数之后再求累加和。加权系数一般先小后大，以突出后面若干采样的效果，加强系统对参数变化趋势的识别。各加权系数均为小于 1 的小数，且满足总和等于 1 的约束条件。加权运算后的累加和为有效采样值。为
21、方便计算，可取各加权系数均为整数，且总和为 256，加权运算后的累加和除以 256，即舍去低字节后就是有效采样值。 5）滑动平均滤波法。滑动平均滤波法是只采样一次，将这次采样值与过去的若干次采样值一起求平均，得到的值即为有效采样值。如果取 N 个采样值求平均，RAM 中必须开辟 N 个数据的暂存区。每新采集一个数据便存入暂存区，同时去掉一个最老的数据，保持这 N 个数据始终是最近的数据。在实际测量工作中 选择数字滤波算法一般应遵循以下几条原则：1.首先要考虑主机（计算机，单片机等）的存储量，运算速度，运算能力以及实时性是否满足实际测量要求。2.针对主要干扰源选择适当的滤波算法。在实际工作环境中
22、，会存在很多不同的干扰源，应该分析查找对系统的测试准确度影响最大的干扰，然后再选择比较适应这个主要干扰源的滤波算法。3.综合滤波算法的选用。如果测量系统的干扰比较复杂，对测量，控制结果影响较严重，或者整体系统对测量数据的准确度和平滑度要求比较高，就可以将几种滤波方法4综合使用，以获得良好的效果。常用数字滤波算法对比名称 优势 缺陷 使用范围限幅滤波法 有效削弱随机干扰以及尖峰脉冲干扰无法抑制周期性的干扰，平滑度差中位值滤波法 有效削弱因偶然因素带来的干扰不适应流量，速度等快速变化算数平均滤波法 适用于对一般具有随机干扰的信号进行滤波对于测量速度较慢或要求数据计算速度较快的实时控制不适用滑动平均
23、滤波法对周期性干扰有良好的控制作用，平滑度高，适用于高频振荡的系统灵敏度低，对偶然出现的脉冲性干扰的抑制作用较差，比较浪费数据存储器的空间适于温度，液位等变化缓慢参数的滤波52 能谱平滑算法的研究2.1 几种能谱平滑算法伽玛能谱仪探测到的伽玛能谱数据，因统计涨落而产生误差。为了降低这一误差人们提出了多种伽玛能谱光滑处理方法。由于核衰变和探测器中固有的统计涨落、电子学系统的噪声影响,所以在伽玛能谱的测量过程中，测得的谱数据不可避免带有很大的统计涨落和干扰噪声。这对伽玛能谱的定性定量分析产生误差。在伽玛能谱的分析中,为了减少能谱测量数据的统计涨落,又保留谱峰的全部重要的特征,以便可靠地定性和定量分
24、析伽玛能谱,必须首先对实测伽玛能谱原始数据进行光滑或去噪处理。由于能谱数据是按整数道址离散存储的，所以谱光滑处理是逐道进行的；以待处理道为中心，用其左右 m 道的测量数据，对该道数据作修正，消除统计涨落的影响。传统的伽玛谱光滑方法有：平均移动法；重心法；多项式最小二乘拟合法；离散函数褶积滑动变换法；傅立叶变换法。近年来，小波变换法开始被应用到伽玛能谱的数据光滑中。这几种算法都可以实现谱算法的平滑，减低在寻峰过程中丢失的弱峰或出现假峰、峰净面积计算的误差加大等等的问题，使得能谱更贴近我们需要的平滑状态，平滑之后的谱曲线应尽可能地保留平滑前谱曲线中有意义的特征，峰的形状和峰的净面积不产生很大的变化
25、。在实际测量过程中，各类数字采集系统所采用的测量原理不同，测量对象的物理能也有所不同，能谱平滑算法也有很多种。我们要全面掌握实际情况，根据数字滤波选原则，结合不断积累的实际工作经验，合理选择一种滤波算法或综合几种滤波算法，以达到最佳的滤波效果，获得比较理想的数据。这里主要介绍两种基于数字滤波的平滑谱算法，简略介绍其他的算法。2.2 其他算法的基本思想2.2.1 算数滑动平均法基本思想该方法思想如下:设 为待光滑的第 i 道数据，左右各取 m 道，则共有 2m+1 个点，iy用所有 2m+1 个点的算术平均值作为这道的修正值。公式为：式中 为原始谱数据， 为光滑后的谱数据。此方法两端各有 m 个
26、点得不到平滑，iyiy称为边沿损失。2.2.2 重心法基本思想重心法就是选取加权因子和归一化因子，使光滑后的数据成为原来数据的重心。由于道数是整数，没有半道的情况存在，若用 2 道的数据取重心，则第 i 道计数的重心(平6均值)为 1124iiiyy上式即为第 i 道计数 的 3 点重心法光滑公式。i按照此推理的公式可以导出常用的 5 点、7 点重心法等公式。5 点光滑公式： 21124616iiiiiiyyy7 点光滑公式： 32112350564iiiiiiiiy2.2.3 傅里叶变换法基本思想该方法与无限电通讯中，从噪声里面将信号分离出来的原理相类似。傅立叶变换法光滑的基本思想如下：把测
27、得的伽玛能谱数据认为是低频的真信号与高频的噪声（统计涨落）之和。将道域的谱数据函数 ，经傅立叶变换变换到频域，得到频率特征的yi的信号， 经一个频率特征的滤波函数 滤波得 ，将ywy Fw.ZYwF经傅立叶逆变换再变换到道域，则得光滑后的谱数据（低频的真信号）。傅立叶Z变换采用 FFT 算法。傅立叶变换法中，关键是滤波函数的选择是否适当。在实际应用中，为了抑制滤波器过大的边叶作用，常常采用平滑变化的函数，且使滤波函数的两端逐渐变小而趋于零，时的频率称为切断频率（MFC）。特别应适当的选择切断频率，切断频率过高，0Fw光滑的效果比较差，切断频率过低，光滑过度。可选的滤波函数有：1高斯形滤波器（匹
28、配滤波器）： 21wFe其中 （N 为总道数，一般取 2 的整数幂）2k是最佳的滤波器，与其信号峰有相同形状的函数。一般：A=1，：高斯宽度， = H/2.355，H 为半宽度。效果：无附加的虚峰，信号的有用信息均集中于峰高的数值中。2其它函数： 0.546cos()() MFCF72.2.4 指数平滑法基本思想指数平滑法是时间序列中的一种重要的平滑和预测方法。代表能谱能量的道数也可看成一种递增的量，因此，也可把能谱作为时间序列进行处理。指数平滑法是由移动平均法改进而来的，是一种特殊的加权移动平均法。这种方法利用全部历史数据和相关信息，遵循“厚近薄远”的规则加权数据进行修均，具有抵御和减弱异常
29、数据影响的功能。同时，该方法采用了递推的方法，可以节省很多数据和数据处理时间，是一种快速的平滑模型。指数平滑法分为单指数平滑法；双指数平滑法；三指数平滑法。单参数一次指数平滑法的一般公式为： )464(162m1m12myyy其中 为第 t 期平滑值； 为第 t 期实际值； 为平滑系数(0 1)。tStYaa211 0()()()()ttttt taaYYS平滑系数 的取值对平滑效果影响很大， 越小，平滑效果越显著。通过改变平滑系数 的大小，就可改变加权系数，进而改变平滑的程度。对一次指数平滑后的序列再a进行一次指数平滑，称为二次指数平滑，其平滑公式为： 2121()tttSaS其中 为二次指
30、数的平滑值； 为一次指数的平滑值。2tS1t由于单指数平滑在平滑时有一定的滞后性，而双指数平滑模型则克服了单指数滞后性的缺点，极大提高了拟和程度。多项式拟合移动平滑方法的不足之处，在于加权系数在整个平滑过程中始终保持不变。采用变参数双指数平滑模型，有效地改善了这一不足，同时其平滑速度优于多项式拟和平滑法。对在不同的谱段，可根据不同的要求，取不同的 值，从而平滑加权系数不同，平滑的程度不同，达到了抑制涨落和降低畸变的目的。a2.3 最小二乘移动平滑方法2.3.1 Savitzky-Golay 滤波Savitzky-Golay滤波器是一种特殊的低通滤波器，又称Savitzy-Golay平滑器。低通
31、滤波器的明显用途是平滑噪声数据，噪声是用来描述所观察现象提取信息中附加的不易区别的任意错误，而数据平滑能消除所有带有较大误差障碍的数据点，或者从图形中作出初步而又粗糙的简单参数估算。Savitzky-Gday滤波器最初由Savitzky A和Golay M于1964年提出，被广泛地运用于数据流平滑除噪，是一种在时域内基于多项式，通过移动窗口利用最小二乘法进行最佳拟合的方法。这是一种直接处理来自时间域内数据平滑问题的方法，而不是像通常的滤8波器那样先在频域中定义特性后再转换到时间域。通过这种方法，计算机的唯一功能就是充当一个平滑噪声起伏的滤波器并尽量保证原始数据的不失真。在这个过程中，计算机只需
32、运行相对小型的程序，减少了对电脑内存和数据处理能力的要求，因此这种方法相对来说更加简单、快速，而且相对于其他类似的平均方法而言，这种方法更能保留相对极大值、极小值和宽度等分布特性。Savitzky-Golay滤波器有如下几大优点：1)利用最小二乘的多项式拟合方法非常清晰易懂，并且在计算上来说，多项式卷积的操作比最小二乘的计算可操作性更强；2)滤波系数只需要在对应的卷积系数表中进行查找，很容易获得；3)savitzky-Golay滤波器可以有任意的长度，因此有利于采样频率通常很低的生物学或者生物力学的数据处理。2.3.2 最小二乘移动平滑法基本思想与方法1964 年 A. Savitzky 和
33、J.Egolay 提出了一个用于谱数据平滑处理的滤波器响应函数。其基本思想是，当求平滑之后谱的第 m 点数据时，先在原始谱数据第 m 点的左、右各取 K 个数据点，形成一个共有 2K+1 个数据点的窗口。在这个窗口中用多项式拟合原始谱数据，则拟合多项式在 m 点的值就是平滑后的谱在 m 点的值。当 m 值沿谱数据移动时，就可以得到整个平滑后的谱数据。这种方法称为最小二乘移动平滑法，或最小平方曲线拟合平滑法。原始谱数据为 ，平滑后谱数据为 ，在平滑窗口内，用q价多项式mymyqxaxaxaxS )()()()( 2210 逼近原始谱数据 时，平滑后谱第 m 点的值为y0|)(xSy同时还可以把
34、S（x）在 m 点的各阶导数值作为平滑后的谱在 m 点的各阶导数值。平滑后的谱在 m 点的各阶导数值。平滑后的谱在 m 点的 p 阶导数值为 xpaSy!|)()( 根据上述原理，用最小二乘法函数拟合可以导出计算平滑后的谱数据和其各阶导数值的具体计算公式(2.3.2.1)!kxmpmpyNa规范化常数 和权因子 的值列在表 1 中。由表中查出 和 的值就可以写出kjCkNjC平滑谱的计算公式。例如当平滑窗口选为 5 点时（K=2），5 点平滑公式为9)3127123(51 2 mmmyyyy由数字滤波器理论可以推导出最小二乘移动平滑公式中 的一般计算公式。当/kjCN平滑窗口为 W=2K+1
35、时，(2.3.2.2)22, 1451jWNCKj kj用这个公式计算得出的 值，与表 1 中列出的数值相吻合。jC/,由公式(2.3.2.1)也可以计算平滑谱的各阶导数值，只不过权因子 和规范化常数kjC的值各不相同。表 2 中列出了采用不同的平滑窗口、用公式(2.3.2.1)计算平滑谱的kN一阶导数时的 与 的值。表 3 中列出了采用不同的平滑窗口，计算平滑谱的二阶导kjCN数时的 与 的值。根据表 2 平滑窗口为 5 点（K=2）时，平滑谱的一阶导数计算公式kj为 )8(121m12myyy根据表 3，平滑窗口为 5 点时，平滑谱在 m 点的二阶导数值为： )(7 2112前面已经指出，
36、平滑的本质是对谱曲线进行低通滤波，去掉高频成分，保留有用的低频信息。滤波的效果取决于低通滤波器的频谱特性。当式 2.3.2.1 中的权因子不同时滤波器的频谱特性不同，滤波的效果也不同。在某些实际应用的平滑程序中使用了不同于式 2.3.2.2 的权因子，例如在 SPECTRAN-F 程序中使用的平滑公式如下：三点平滑公式为 )2(411mmyy五点平滑公式为 )46(16 2112y七点平滑公式为 )6505(4 2m1m1-m23m yyy这几个平滑公式的优点是权因子都是正数，平滑之后的谱数据不可能出现负值，从而提高了平滑之后的谱数据的可靠性。这在原始谱数据中本底很小、峰很高、而且峰的10宽度
37、很窄时是非常重要的。如果平滑之后的谱数据出现了负值（这显然是不合理的），可能使后续的计算程序在运行时产生错误。 表 1 最小二乘移动平滑计算公式中的 值和 值kNkjC2K+1j kjC17 15 13 11 9 7 5-8 -21-7 -6 -78-6 7 -13 -11-5 18 42 0 -36-4 27 87 9 9 -21-3 34 122 16 44 14 -2-2 39 147 21 69 39 3 -3-1 42 162 24 84 54 6 120 43 167 25 89 59 7 171 42 162 24 84 54 6 122 39 147 21 69 39 3 -3
38、3 34 122 16 44 14 -24 27 87 9 9 -215 18 42 0 -366 7 -13 -117 -6 -788 -21NK 323 1105 143 429 231 21 3511表 2 最小二乘移动平滑法计算平滑谱的一阶导数公式中的 值和 值kNkjC2K+1j kjC17 15 13 11 9 7 5-8 748-7 -98 12922-6 -643 -4121 1133-5 -930 -14150 -660 300-4 -1002 -18334 -1578 -294 86-3 -902 -17842 -1796 -532 -142 22-2 -673 -1384
39、3 -1489 -503 -193 -67 1-1 -358 -7506 -832 -296 -126 -58 -80 0 0 0 0 0 0 01 358 7506 832 296 126 58 82 673 13843 1489 503 193 67 -13 902 17842 1796 532 142 -224 1002 18334 1578 294 -865 930 14150 660 -3006 643 4121 -11337 98 -129228 748NK -23256 334152 24024 5148 1188 252 1212表 3 最小二乘移动平滑计算平滑谱的二阶导数公式
40、中的 值和 值kNkjC2k+1j kjC17 15 13 11 9 7 5-8 40-7 25 91-6 12 52 22-5 1 19 11 15-4 -8 -8 2 6 28-3 -15 -29 -5 -1 7 5-2 -20 -48 -10 -6 -8 0 2-1 -23 -53 -13 -9 -17 -3 -10 -24 -56 -14 -10 -20 -4 -21 -23 -53 -13 -9 -17 -3 -12 -20 -48 -10 -6 -8 0 23 -15 -29 -5 -1 7 54 -8 -8 2 6 285 1 19 11 156 12 52 227 25 918
41、 40NK 3976 6188 1001 429 462 42 72.3.3 移动最小二乘法与最小二乘法比较移动最小二乘法是形成无网格方法逼近函数的方法之一。已在无网格方法中得到广泛应用。其优点是有很好的数学理论支持，因为基于最小二乘法，所以数值精度较高。对于每个固定点，移动最小二乘法即为通常的最小二乘法。最小二乘法的缺点也是移动最小二乘法的缺点，即易形成病态或奇异的方程组。131）拟合函数的建立不同。移动最小二乘法建立拟合函数不是采用传统的多项式或其它函数，而是由一个系数向量 a(x)和基函数 p(x)构成，这里 a(x)不是常数，而是坐标 x 的函数。2）引入紧支（Compact Supp
42、ort）概念，认为点 x 处的值 y 只受 x 附近子域内节点影响，这个子域称作点 x 的影响区域（支撑域），影响区域外的节点对 x 的取值没有影响。在影响区域上定义一个权函数 (x)，如果权函数在整个区域取为常数，就得到传统的最小二乘法。优势：移动最小二乘法的这些改进能够带来许多优点，减缓或解决传统曲线曲面拟合过程中存在的困难。可以取不同阶的基函数以获得不同的精度，取不同的权函数以改变拟合曲线(曲面)的光滑度，这是其它拟合方法无法做到的。 2.4 小波变化方法2.4.1 小波算法原理小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的一种全新的时频分析方法，是窗口大小固定但形状可改变、时间窗和频率窗也均
43、可改变的时频局域化分析方法。由于它具有多分辨率特性，从而能够处理缓和变化成分与剧烈变化成分并存的信号。小波变换降噪源于能谱分析中函数的伸缩和平移，是傅立叶变换降噪方法的发展与延拓。小波分析，是泛函分析、傅立叶分析、样条理论、调和分析以及数值分析等多个学科相互交叉、相互融合的结晶。小波分析属于时频分析的一种。它是一种多尺度的信号分析方法， 是分析非平稳信号的强有力工具。它克服了短时傅立叶变换固定分辨率的缺点，既能分析信号的整个轮廓，又可以进行信号细节的分析。设 （ 为平方可积空间），即能量有限的信号空间),其傅立叶变换2tLR2为 ,当 满足允许条件(完全重构条件或者恒等微分条件) 20Cd时,
44、我们称 为一个基本小波或母小波，将母函数经伸缩和平移后得能量归一化的小t波族为： ,1,0tataR是由母波 通过尺度a伸缩变换与时间平移 变换得到的自相似函数族,我,tat们称之为小波或者子波。a为尺度因子或伸缩因子， 为平移因子。一般情况下小波有以下特点：141. 母波必需满足容许性条件： 20Cd2. 波动性一时域振荡性： , 0tat3. 能量有限性： 2,tad即能量恒等性,进而可对其进行能量归一化 22,01tadttd 在某些特别应用中， 一般都是进行能量恒等性(进而归一化)但并不是需要特别,ta强调。4.时频局域化特征：母波 在时域的持续时间必须是有限的,即是一个小的时间区间，
45、间区间,最好具有紧支撑性质,进一步要求在频域也应当具有局域化特征。这是小波的重要性质,支撑区间越小的小波局域化能力越强。5.自相似性：每一个基函数 与母波树形状相似，相互之间形状也相似。 继,ta,ta承了母波的“基因”， 属于 的子代小字辈。“自相似”蕴含着“多”的意义。,ta在小波变换的表达式中，具有无穷多的 ， 或 。,taR小波变换利用一个具有快速衰减性和振荡性的函数(即为母小波)，然后将其伸缩和平移得到一个函数簇(即小波基函数)，以便在一定条件下，任一能量有限的信号可按其函数簇进行时频分解。基函数在时频平面上具有可变的时间频率窗，以适应不同分辨率的需要。由于小波变换可聚焦到信号的任意
46、细节，进而成为傅立叶变换分析信号以来在方法和工具上的一大突破，被称为“数学显微镜“。小波变换对函数f(t)在小波基上的展开具有多分辨率的特性，这种特性正是通过伸缩因子口和平移因子b来得到的。根据a、b的不同，可以得到小波变换不同时频宽度的信息，从而实现对信号f(t)的局部化分析。而在实际应用中，尤其是在数字信号处理领域里，为了实际计算的需要，常常要使用离散形式的小波变换，也就是将函数f(t)的积分形式展开为级数和的形式。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高；在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号
47、时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解；其次对分解出的参数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析； 最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。152.4.2 小波算法去噪的基本方法对特征峰来讲,可以将谱上的统计涨落视为一维信号中的噪声。利用多分辨分析方法提取弱峰实际上就是运用小波分析在消除噪声的同时,又保留住特征峰与统计涨落重叠的那少部分信息,处理的基本步骤是:1.对信号进行小波分解。选择小波函数并确定小波分解的层次N,对信号进行N层分解。2.小波分解高频系数的量化处理。3.一维小波重构。根据小波分解中的低频分解系数和经过量化处理后的高频系数,计算出信号的小波重建。在以上过程中,最关
48、键的是如何选取小波函数和阈值的量化处理。我们通过对处理效果的比较分析,对此进行了重点研究。在进行小波分解之前,首要的任务是选取一种适合于本工作的小波。因为对同一问题用不同的小波分析的结果各异。目前主要是根据小波分析处理结果的好坏来优选小波函数。我们依据以下两条原则从matlab提供的四大系列共35种小波中优选出了适于本工作的小波。1.相似性:因为不管是傅立叶变换还是小波变换,在本质上都是一种相似性的计算。系数大相似性强,系数小相似性弱。因此在选取小波的时候的一个基本要求是:小波的波形要与r谱的峰信号的形状尽可能的相似,这样才能达到好的检测效果。因为r的峰信号理论上是左右对称的高斯形的,因此我们
49、选取的小波也应该是左右对称的近似是高斯形的小波。2.比较不同小波的处理结果:通过比较不同小波函数在相同尺度的小波系数是优选小波函数的主要方法。因为主要是低频系数含有r谱的特征峰信号成分,高频系数是统计涨落的成分。低频系数越大说明相似性越强,检测效果好,系数小的检测效果差。小波系数的量化处理是运用门限阈值法的关键,其实就是如何选取一个恰当的阈值处理方法。阈值选取原则是尽可能的在有效的消除统计涨落影响的情况下又不丢失特征峰信息。选取的方法是：通过比较对同一谱的处理效果来选取阈值处理方法。通常有如下七种小波系数的量化处理方法：1.强制消噪处理。即通过把小波分解后的高频系数全部置0,从而全部滤掉高频部分,然后再对信号进行重构。这种方法比较简单,重构后的信号也比较平滑,但是丢失了信号跟噪声重叠的那部分信息。2.默认阈值消噪处理。该方法利用ddencmp
