1、应力应变分析 强度理论,、普遍形式的应力状态研究,第七章 应力和应变分析 强度理论,1、 应力状态与平面应力状态研究,、 普遍形式的应力应变关系,、平面应力状态下的应变研究,6、 强度理论的应用,5、 强度理论及相当应力,一、引子 ：1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？,7应力状态的概念,2、组合变形杆将怎样破坏？ 强度准则应该是什么样的呢?,三、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质a、同一面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。,二、一点的应力状态：,过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力
2、状态（State of Stress at a Given Point）。,6,四、普遍状态下的应力表示,下标：,第一下标为应力所在面的法线方向,第二下标为应力的方向；,正负：,正应力与截面外法线同向时为正,五、切应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):,过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量,则,两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。,六、原始单元体： 各个面上应力已知或可求。,9,七 、原始单元体的截取方法：自由面、横截面、纵面,10,B,C,11,B,C,放大,12,B,13,B,B,横截面,自由面,: 应力为
3、零,切应力,16,八、主单元体、主面、主应力：,、主单元体(Principal bidy)：各侧面上切应力均为零的单元体。,、主面(Principal Plane)：切应力为零的截面。,、主应力(Principal Stress ）：主面上的正应力。,、主应力排列规定：按代数值大小，,、平面应力状态（Plane State of Stress）：一个主应力为零的应力状态。,、单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。,、三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）：,三个主应力都不为零的应力
4、状态。,19,72 平面应力状态分析解析法,规定：、 截面外法线同向为正；、 t a绕研究对象顺时针转为正；、 a逆时针为正。,图1,设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：,考虑切应力互等和三角变换，得：,同理：,一、任意斜截面上的应力,21,平面应力状态任意斜截面上的应力：,二、极值正应力,就是主应力！,23,1在切应力相对的项限内， 且偏向于x 及y大的一侧。,三、极值切应力,例：821 分析受扭构件的破坏规律。,解：确定危险点并画其原始单元体,主应力,破坏分析,73 平面应力状态分析图解法,对上述方程消参（2），得：,此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）,
5、一、应力圆（ Stress Circle）,图2,、建立应力坐标系，如图2， （注意选好比例尺）,二、应力圆的画法,、在坐标系内画出点A（ x， x y）和 B（ y， y x）,、AB与s a 轴的交点C便是圆心。,、以C 为圆心，以AC 为半径画圆应力圆，；,、面上的应力（ ， ）应力圆上一点（ ， ）,图1,三、单元体与应力圆的对应关系,、面的法线 应力圆的半径,、两面夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。,四、在应力圆上标出极值应力,例：831 求图示单元体指定截面的应力。（应力单位：M P a）,解：、建立应力坐标系如图,在坐标系内画出点,、AB与s a 轴的交点C便是圆心，以C 为圆心
6、，以AC 为半径画圆应力圆,、指定面的应力如图：,例：832 求图示单元体的主应力及主平面的位置。（应力单位：M P a）,A,B,解：、建立应力坐标系如图,在坐标系内画出点,、AB的垂直平分线与s a 轴的交点C便是圆心，以C 为圆心，以AC 为半径画圆应力圆,、主应力及主平面如图,解法2解析法：分析建立坐标系如图,解：、建立坐标系如图,74 三向应力状态研究应力圆法,1、 三向应力圆,2、 三向应力分析,：弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,图a,图b,：整个单元体内的最大切应力为：,注意！上述视图研究法，也实用于非主单元体，但是，只
7、有视图面上无切应力时，向之做视图才能得到平面应力状态的单元体，否则，不可用此法。,平面应力状态,非平面应力状态,、由单元体图a知：y z面为主面,、作y z面视图，得平面单元体如图b ,对图b,解:,例：841 求图示单元体的主应力和最大切应力。（应力单位：M P a）,解：、由单元体图a知：y z面为主面,、作y z面视图，得平面单元体如图b ,对图b,、建立应力坐标系如图，画图b 的应力圆和点 1,得:,、由单元体图a知：y z面为主面,、向y z面投影，得平面单元体如图b ,对图b,解法2:解析法,测得应变，求外载？,75 平面内的应变分析,一、叠加法求应变分析公式,切应变： 直角的增大
8、量！（只有这样，前后才对应）,平面应变状态的概念,二、应变分析图解法应变圆（ Strain Circle）,1、应变圆与应力圆的类比关系,、建立应变坐标系如图,、在坐标系内画出点 A（ x， x y/2） B（ y，- y x/2）,、AB与 a 轴的交点C便是圆心,、以C 为圆心，以AC 为半径画圆应变圆。,2、已知一点 A 的应变（ ），画应变圆,、方向上的应变（ ， /2）应变圆上一点（ ， /2 ）,三、方向上的应变与应变圆的对应关系,、 方向线 应变圆的半径,、两方向间夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。,四、主应变数值及其方位,例851 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上
9、的应变 1、 2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。,解：由,i =1、2、3这三个方程求出 x， y， x y；然后在求主应变。,例852 用45应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。,76 复杂应力状态下的应力 - 应变关系 （广义虎克定律）,一、单拉下的应力 - 应变关系,二、纯剪的应力 - 应变关系,三、复杂状态下的应力 - 应变关系,依叠加原理,得:,主应力 - 主应变关系,四、平面状态下的应力 - 应变关系:,方向一致,主应力与主应变方向一致?,五、体积应变与应力分量间的关系,体积应变：,体积应变与应力分量间的关系:,例：861 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内
10、主应变分别为：1=24010-6， 2= -16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。,所以，该点处的平面应力状态,例：862，28a号工字钢梁受力如图，现由变形仪测得中性层上A点处与轴成450方位的应变为 = -2.610-4，梁的弹性模量E=200GPa，泊松比 =0.3， 试求载荷 P。,解：点的应力状态如图,由应力分析知：,由广义虎克定律得:,28a号工字钢梁受力如图，现由变形仪测得中性层上A点处与轴成450方位的应变为 = -2.610-4，梁的弹性模量E=200GPa，泊松比 =0.3， 试求载荷 P。,解：点的应力状态如图,由
11、平面应变分析知：,平面应变状态,例8-6-3. 图示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试计算容器所受的内压力.,轴向应力: (longitudinal stress),环向应力： (hoop stress),解： 1、单元体如图所示:,2、求内压（以应力应变关系求之）,77 复杂应力状态下的变形比能,称为形状改变比能或歪形能,例：871，用能量法证明三个弹性常数间的关系。,、纯剪单元体的比能为：,、纯剪单元体比能的主应力表示为：,结束,67,2-4 常温静载下材料拉伸时的力学性能,一、试验条件及试验仪器,1、试验条件：常温(20)；静载（缓慢加载）；标准试件。,
