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概率统计电子教案.ppt

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资源描述

1、概率统计,四川警察学院,内容与学时,第一章 随机事件及其概率,第二章 随机变量及其分布,第三章 多维随机变量及其分布,第四章 随机变量的数字特征,第五章 数理统计的基本知识,第六章 参数估计,(19学时) 数理统计,(29学时) 概 率 论,第七章 假设检验,概率论被称为“赌博起家”的理论最早产生与17世纪,是一门比较古老的数学学科,有 趣的是,尽管任何一门数学分支的产生和发展不外乎是生 产、和科学或数学自身发展推动的,然而概率论的产生, 却起始于对赌博的研究,“分赌金问题”如何分比较合理? 赌徒求教于帕斯卡,帕斯卡与费尔马共同解决这个问题, 从而建立了概率论的第一个基本概念数学期望。,概率论

2、与数理统计的发展简史,1657年惠更斯也给出了一个与他们类似的解法。,在他们之后,对于研究这种随机(或称偶然)现 象规律的概率论做出了贡献的是伯努利家族的几位 成员,雅各布伯努利给出了赌徒输光问题的详尽 解法,并证明了被称为“大数定律”的一个定理(伯 努利定理)这是研究偶然事件的古典概率论中极其 重要的结果,它表明在大量观察中,事件的频率与 概率是极其接近的,历史上第一个发表有关概率论 论文的人是伯努利,他于1713年发表了一篇关于极 限定理的论文。概率论产生后的很长一段时间内都是将古典概型作 为概率来研究的,直到1812年拉普拉斯在他的著作 分析概率论中给出概率明确的定义,并且还建 立了观察

3、误差理论和最小二乘法估计法,从这时开 始对概率的研究,实现了从古典概率论向近代概率 论的转变。,概率论在二十世纪再度迅速发展起来,则是由 于科学技术发展迫切地需要研究有关一个或多个 连续变化着的参变量的随机变数理论即随机过程 论,1906年俄国数学家马尔可夫(1856-1922) 提出了所谓“马尔可夫链”的数学模型对发展这一 理论做出贡献的还有柯尔莫哥洛夫(俄国)、费 勒(美国);1934年俄国数学家辛钦又提出了一 种在时间中均匀进行着的平稳过程的理论。随机 过程理论在科学技术有着重要的应用,开始建立 了马尔可夫过程与随机微分方程之间的联系。,1960年,卡尔门(1930英国)建立了 数字滤波

4、论,进一步发展了随机过程在制 导系统中的应用。概率论的公理化体系是 柯尔莫哥洛夫1933年在集合论与测度论的 基础上建立起来的,从而使概率论有了严 格的理论基础。,我国概率论发展简介,我国的概率论研究起步较晚,从1957年开始, 先驱者是许宝马录先生。1957年暑期许老师在北 大举办了一个概率统计的讲习班,从此,我国对 概率统计的研究有了较大的发展,现在概率与数 理统计是数学系各专业的必修课之一,也是工 科,经济类学科学生的公共课,许多高校都成立 了统计学(特别是财经类高校)。近年来,我国 科学家对概率统计也取得了较大的成果。,第一章 随机事件与概率,1 随 机 事 件,一、随机现象,1.必然

5、现象与随机现象,必然现象:在一定条件下,必然出现某种结果的现象。,随机现象:在一定条件下,可能出现某种结果,也可能不出现那种结果的现象。,随机现象的结果事先不能预知,初看似 乎毫无规律的,然而在大量重复实验中其 结果又具有统计规律性。概率论与数理统计是研究和揭示随机现 象统计规律性的一门学科。,对随机现象的统计规律进行研究,就需要对随机现象进行重复观察,我们对随机现象的观察就称为随机试验。 满足以下三个特点:(1) 在相同条件下可重复进行;(2) 试验前就能确定试验的所有可能结果,且结果不止一个;(3) 试验前不能确定到底会出现哪一种结果。,二、随机试验,三、样本空间定义:随机试验E的所有结果

6、构成的集合称为E的样 本空间,记为S,样本空间的元素,即E每个结 果为基本事件或样本点。,S=0,1,2,;,S=正面,反面;,S=(x,y)|T0yxT1;,S= x|axb ,记录一城市一日中发生交通事故次数,例:一枚硬币抛一次,记录某地一昼夜最高温度x,最低温度y,记录一批产品的寿命x,四 随机事件一般我们称S的子集A为E的随机事件,简称为事件。当且仅当A所包含的一个样本点出现时,称事件A发生。,S0,1,2,;,记 A至少有10人候车10,11,12, S, A为随机事件,A可能发生,也可能不发生。,例:观察89路公交车浙大站候车人数,,基本事件的全体组成的样本空间; 随机事件由若干个

7、基本事件构成,它是样本空间的子集 样本空间S包含所有的样本点,则每次试验S总是发生, 故又称S为必然事件。 为方便起见,记为不可能事件,不包含任何样本点。 必然事件与不可能事件都是确定性事件。,注:,S0,1,2,;,例:观察89路公交车浙大站候车人数,,S0,1,2,;,例:观察89路公交车浙大站候车人数,,S0,1,2,;,例:观察89路公交车浙大站候车人数,,S0,1,2,;,例:观察89路公交车浙大站候车人数,,记 A至少有10人候车10,11,12, S, A为随机事件,A可能发生,也可能不发生。,S0,1,2,;,例:观察89路公交车浙大站候车人数,,S0,1,2,;,例:观察89

8、路公交车浙大站候车人数,,例:观察89路公交车浙大站候车人数,,S,B,A,如右图:,A,B,A+B,如图所示:,A,B,如图所示:,AB,也可说成A与B都发生。,A-B,B,A-B,A,B,AB=,A,也称为对偶律,例:设A= 甲来听课 ,B= 乙来听课 ,则:,甲、乙至少有一人来,甲、乙都来,甲、乙都不来,甲、乙至少有一人不来,2 随机事件的概率,一、频率及其性质,例如:,2. 概率:频率的稳定值,记为p。(probability)事件A发生的概率记为p(A)=p,频 率 稳 定 值 概率,事件发生 的频繁程度,事件发生 的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,P&S,返回主目录,二

9、、概率的公理化定义,概率的定义,定义 设 E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一个事件 A 赋予一个实数,记为 称为事件 A 的概率,要求 满足下列条件:,P&S,三、概率的性质,P&S,P&S,重 要 推 广,P&S,生活中有这样一类试验,它们的共同特点是: 样本空间的元素只有有限个; 每个基本事件发生的可能性相同。,一 等可能概型(古典概型),比如:足球比赛中扔硬币挑边,围棋比赛中猜先。,我们把这类实验称为等可能概型,考虑到它在概率论早期发展中的重要地位,又把它叫做古典概型。,等可能概型,&3.古典概型与几何概型,例 3 将一枚硬币抛掷三次。设: 事件 A1为“恰有一次出现正面

10、”, 事件 A2为“至少有一次出现正面”,求 P (A1 ), P (A2 )。,解:根据上一节的记号,E2 的样本空间 S=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT,n = 8,即 S中包含有限个元素,且由对称性 知每个基本事件发生的可能性相同,属于古典概型。,等可能概型, 事件 A2为“至少有一次出现正面”,,A2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH ,等可能概型,例 4 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球、2 只 红球。从袋中取球两次,每次随机的取一只。考 虑两种取球方式: 放回抽样 第一次取一只球,观察其颜色后放 回

11、袋中, 搅匀后再取一球。不放回抽样 第一次取一球不放回袋中,第二 次从剩余的球 中再取一球。 分别就上面两种方式求:,1)取到的两只都是白球的概率;2)取到的两只球颜色相同的概率; 3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。,等可能概型,解:从袋中取两球,每一种取法就是一个基本事件。设 A= “ 取到的两只都是白球 ”, B= “ 取到的两只球颜色相同 ”, C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。有放回抽取:,等可能概型,无放回抽取:,等可能概型,例 5 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去, 求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限)。,解: 将 n 只球放入 N

12、个盒子中去, 共有,而每个盒子中至多放一只球, 共有,等可能概型,例 6 在 12000 的整数中随机的取一个数,问取到的整数既不能被 6 整除,又不能被 8 整除的概率是多少?,解:设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”, B 为,“取到的整数能被 8 整除”,则所求的概率为:,为:6,12,181998 共 333 个,,所以能被 6 整除的整数,等可能概型,AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”,于是所求的概率为:,其中 B =8, 16, 2000 , AB = 24, 48 1992 ,,等可能概型,例 8 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访,已 知所

13、有这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问 是否可以推断接待时间是有规定的?,解:假设接待站的接待时间没有规定,各来访 者在一周的任一天中去接待站是等可能的,那么 ,12 次接待来访者都在周二、周四的概率为:212/712=0.0000003, 即千万分之三。,等可能概型,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了,从而推断接待站不是每天都接待来访者,即认为其接待时间是有规定的。,等可能概型,二 几何概型,简单地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型

14、为几何概率模型,简称为几何概型。古典概型与几何概型的主要区别在于:几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限 . 首先看下面的例子。,例 1 (会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面,先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响。求二人能会面的概率。,几何概型,解: 以 , y 分别表示甲乙二人到达的时刻,于是 (12点为计算时刻0时),即 点 M 落在图中的阴影部 分。所有的点构成一个正 方形,即有无穷多个结果。 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的,所以落在正 方形内各点是等可能的。,0 1 2 3 4 5

15、,y,x,5 4 3 2 1,.M(X,Y),几何概型,x,二人会面的条件是:,0 1 2 3 4 5,y,x,5 4 3 2 1,y-x =1,y-x = -1,几何概型,一般,设某个区域 D (线段,平面区域,空间区域),具有测 度 mD(长度,面积,体积)。如果随机实验 E 相当于向区域内任意地取点,且取到每一点都是等可能的,则称此类试验为 几何概型。如果试验 E 是向区域内任意取点,事件 A 对应于点落在 D 内的某区域 A,则,几何概型,4 条件概率,一、条件概率定义,第1种方式:每个人抓到奖的概率相同,为1/10.,第2种方式:若第1个人未中奖,则第2人中奖的概率为1/9。这就是条

16、件概率。,例1:箱中有同型的7件产品,其中4件正品,3件次品,无放回地取两次,每次取1件。 (1)求第2次取到次品的概率; (2)已知第1次取到的是正品,求第2次取到次品的概率。,解:(1) 设A=“第1次取到的是正品”B=“第2次取到次品”,(2) 因为已经知道第1次取到正品,所以剩下的6件产品中有3件次品,解:设A=“日光灯管能使用到1200小时”B=“该日光灯管能使用到1500小时”,则:B|A=“已使用了1200小时的日光灯管还能使用到1500小时”,例2 已知某批日光灯管能使用1200小时的概率为0.9,能使用1500小时的概率为0.6。求已使用了1200小时的此种灯管能使用到150

17、0小时的概率。,二、乘法公式,三、全概率公式,注:可以将计算一个复杂事情的概率,转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题。,由此得全概率公式:,A,例:甲袋中有2只红球、2只白球;乙袋中有3只红球、1只白球。若从甲袋中任取2球放入乙袋,然后再从乙袋中任取出2球,问最后取出的2球全为红球的概率?,解:设A=“从乙袋中取出的是2只红球”,由于从甲袋取出的红球数只能是:0,1,2三种,它们都与从乙袋中取出的红球的概率有关,设:,0.2,0.8,0.9,0.1,由全概率公式即可求解。,四、贝叶斯公式,定义1 设A,B是两事件,若,则称事件A与B相互独立.,一、两个事件的独立性,5 事件的独立性

18、,例1:同时抛掷甲、乙两枚硬币,令A=“甲币出现正面”, B=“乙币出现正面”,判断A、B的独立性。,解:“甲币出现正面”不影响“乙币出现正面”,因此A与B是相互独立的。事实上,,独立事件具有如下性质:,例2:甲、乙二人射击一目标,击中概率分别为0.8和0.9,今个射击一次,求目标被击中的概率。,解:设A=甲击中目标,B=乙击中目标, 则 A+B=目标被击中,且A与B相互独立。p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=0.8+0.9-0.72=0.98,二、多个事件的独立性,注意:前三个等式不能推出第四个等式;这四个等式必须同时满足,才能保证A,B,C相互独立。,定义:如果从n个事件中任取

19、k个事件(kn),都相互独立,则称这n个事件相互独立。,反之,如果 n个事件相互独立,则其中任意k个事件(kn)都相互独立。,例1、已知编号为1、2、3的三袋小麦种的发芽率分别为0.7、0.8、0.9,现从每袋中各取一粒进行试种。在这3粒小麦中,求:,(1)只有2粒发芽的概率; (2)至少有1粒发芽的概率。,例:设每门炮在一次射击中,击中敌机的概率为0.4。问至少需配置多少门炮,才能以99%以上的把握击中一架来犯敌机?,解:设至少需配置n门炮,并记:Ai=第i门炮击中敌机,i=1,2,nA=敌机被击中,则:,5 独立重复试验概型,伯努利试验:随机试验只有两种可能的结果。 n重伯努利试验:伯努利

20、试验在相同条件下独立 重复进行n次。 n次独立重复试验:同一试验独立地重复作n次, 每次任意事件A发生的概率与其它各次试验的结果无关,即p(A)保持不变。,与古典概型不同,其基本事件可能不等概。,例:某射手射击一次,击中目标的概率为0.9,他射击4次,问恰好3次击中的概率是多少?,解:此问题可以认为是4次独立重复试验。,一般地,有:,定理:若在一次试验中,事件A发生的概率为p,则在n次重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为:,例 袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.,解,例:某机床出次品的概率为0.01,求生产100件产品中: (1) 恰好有1件次

21、品的概率;(2) 至少有1件次品的概率。,解:问题可以看成是100次重复试验,每次出次品的概率都是0.01。,例 设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概率为0.2,当三个电子元件相互独立使用时,求在使用了1000小时的时候,最多只有一个损坏的概率。,解 设A表示“元件使用1000小时不坏”,则,设B表示“三个元件中至多一个损坏”,则,概率论 集合论 样本空间(必然事件) 全集 不可能事件 空集 子事件 AB 子集AB 和事件 AB 并集AB 积事件 AB 交集AB 差事件 A-B 差集A-B 对立事件 补集,小 结,Venn图演示集合的关系与运算,事件之间的运算律,交换律,结合律,分配律

22、,摩根律,设试验结果共有n个基本事件1,2,.,n ,而且这些事件的发生具有相同的可能性,古典概型的概率计算,确定试验的基本事件总数,事件由其中的m个基本事件组成,确定事件A包含的基本事件数,几何概型 Geometric Probability,将古典概型中的有限性推广到无限性,而保留等可能性,就得到几何概型。,事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中,几何度量-指长度、面积或体积,特点,有一个可度量的几何图形S,试验E看成在S中随机地投掷一点,非负性:,规范性: ()=1,可列可加性:,那么,称 为事件的概率,概率的公理 化定义,()0,两两互不相容时,(1 2 )=(1)+(2)+,若

23、 A B,则 P (B A) = P(B) P(A),设,为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且(), 则称,为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率,定义,条件概率 Conditional Probability,乘法法则,推广,设1 ,2 ,.,n 构成一个完备事件组,且(i )0 ,i1,2,.,n,则对任一随机事件,有,全概率公式,设A1,A2,, An构成完备事件组,且诸P(Ai)0) B为样本空间的任意事件,P( B) 0 , 则有,( k =1 , 2 , , n),证明,贝叶斯公式 Bayes Theorem,设、为任意两个随机事件,如果 ()() 即事件发生的可能性不受事件

24、的影响,则称事件对于事件独立,显然,对于独立,则对于也独立,故称与相互独立,事件的独立性 independence,定义,事件的独立性 判别,事件与事件独立的充分必要条件是,证明,实际问题中,事件的独立性可根据问题的实际意义来判断,如甲乙两人射击,“甲击中”与“乙击中”可以 认为相互之间没有影响,即可以认为相互独立,将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的.,设随机试验E只有两种可能的结果:A及 ,且P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验,简称贝努利试验(Bernoulli trials).,贝努利试验,Berno

25、ulli trials,相互独立的试验,贝努利试验,贝努利定理,设在一次试验中事件发生的概率为 p (0p1) ,则在n次贝努里试验中恰好发生 k次的概率为,( k 0,1,2,.,n ),其中,定理,二项概率,第二章 随机变量及其概率分布,1 离散型随机变量及其概率分布,一、随机变量(Random Variable),2 X的部分可能取值描述随机事件,随机变量的特点:,1 X的全部可能取值是互斥且完备的,反之,具有以上性质的pk,一定可以作为某个离散型随机变量的分布律。,例2 设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏信号灯,每盏信号灯禁止汽车通过的概率为p,以X表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏

26、数,求X的分布律.,例3、若离散型随机变量X的分布律为,试求常数a?.,三、几种常见的离散型分布,2. 二项分布,三、Poisson 分布,若r.v.X的分布律为:,则称X服从参数为的泊淞(Poisson)分布 记为 XP(),例如:电话局单位时间内的电话次数,车流量,车站单位时间内到达的乘客数,商店的顾客等都服从Poisson分布,2 随机变量的分布函数,一、分布函数,1、定义:设X为r.v, x任意实数,称函数 F(x)=PX x,(-x+)为X的分布函数,记作XF(x)。,x,注:1.F(x)是一个普通的函数,其定义域是整个实数轴.2. F(x)是r.v X取值不大于x的概率;即r.v

27、X的落在区间(, x的概率.,问: 在上 式中,X, x 皆为变量. 二者有什 么区别? x 起什么作用? F(x) 是不是概率?,X是随机变量, x是参变量.,F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.,(3) F(-)=0 , F(+)=1,(5) pXa=1-pXa=1-F(a),只要知道r.v.X的分布函数,就能算出X在任意区间的概率,所以分布函数能完整的描述r.v.,2、性质:,(1) 0F(x)1 , (-x+),(2) F(x)是x的单调不减函数.,分布函数是一个普通的函数,它完整的 描述了随机变量的统计规律。通过它,我们 可以用数学分析的工具来全面研究随机变量.,3、离散型

28、随机变量的分布函数,它是单调不减的阶梯状函数,x,x1,xk,xi,注意右连续,分布函数图,画 分布函 数图,不难看出,F(x) 的图形是阶梯状的图形,在 x=-1,2,3 处有跳跃,其跃度分别等于 PX=-1 , PX=2 , PX=2.,分布函数图,画 分布函 数图,注 意 点 (1),对离散随机变量的分布函数应注意:,(1) F(x)是递增的阶梯函数;,(2) 其间断点均为右连续的;,(3) 其间断点即为X的可能取值点;,(4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.,例2,已知 X 的分布律如下:,X 0 1 2,P 1/4 1/2 1/4,求 X 的分布函数.,解:,X 0 1 2,P

29、0.4 0.4 0.2,解:,例3,已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布律.,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能像离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.,下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.,3 连续型随机变量,设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在 一个非负的函数f(x),对任何实数x,有则称X为连续型随机变量,同时称f(x)为X的概 率密度函数,简称概率密度。,f (x),x,o,y,. 连续型随机变量、概率密度定义,概率密度函数的性质,1.,2.,这两条性质是判定

30、一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.,3,4. 若f(x)的在点x处连续,有,由此 F(x)与f(x)可以互推。,故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值,恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里,如果把概率理解为质量, f (x)相当于线密度.,5. 对 f(x)的进一步理解:,要注意的是,密度函数 f (x)在某点处a的高度,并不反映X取值的概率. 但是,这个高度越大,则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说,在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,若不计高阶无穷小,有:,它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 .,连续型r

31、.v取任一指定值的概率为0.,即:,(a为任一指定值),这是因为,注:需要指出的是:,P( X = a )=0的充分必要条件是F( x )是 连续函数。任意aR。,由此得,,1) 对连续型 r.v X,有,2) 由P(X=a)=0 可推知,而 X=a 并非不可能事件,并非必然事件,称A为几乎不可能事件,B为几乎必然事件.,可见,,由P(A)=0, 不能推出,由P(B)=1, 不能推出 B=S,例1、设r.v.X的密度函数为,求:(1)常数c (2)F( ) (2)P0.3X0.7 (3) P-0.5X0.5,由于f(x)是分段 表达的,求F(x)时 注意分段求.,对连续型r.v,若已知F(x)

32、,我们通过求导也可求出 f (x),请看下例.,连续型,密度函数 X f(x)( 不唯一 ),2.,4. PX=a = 0,离散型,分布律: pn = PX=xn( 唯一 ),2. F(x) =,3. F(a+0) = F(a); PaXb = F(b)F(a).,4. 点点计较,5. F(x)为阶梯函数。,5. F(x)为连续函数。,F(a0) = F(a).,F(a0) F(a).,二、几种常见的连续性分布,1、均匀分布,若随机变量X的概率密度为,则称X服从参数为a, b的均匀分布,记为XU(a,b),a,b,均匀分布密度函数也满足两条性质:,例:某公共汽车站从上午7:00起每15分钟来一

33、班车。若某乘客在7:00到7:30间的任何时刻到达此站是等可能的,求他的候车时间不到5分钟的概率。XU(0,30),2、指数分布,若随机变量X的概率密度为,其中 0 为常数,则称X服从参数为的指数分布。它满足 应该具有的性质。如图。,0,x,。,指数分布密度函数也满足两条性质:,在实践中,动植物及元件的使用寿命,服务系统的服务时间等等,都可能指数分布来描述。,例3、设打一次电话所用的时间(单位:分)服从参数=0.1的指数分布。若某人刚好在你前面走进电话亭,求你将等待下列时间才能走进此电话亭打电话的概率:,(1)超过10分钟; (2)5分钟到10分钟之间。,3、正态分布,若随机变量X的概率密度为

34、,其中、 ( 0 )是两个常数,则称X服从参数为、 的正态分布,记为,0,x,这是正态分布密度函数图,解释图形: (1) 正态曲线为钟形曲线; (2) 关于 对称; (3) 以轴为渐近线。,=,(4) 的大小直接影响概率的分布 越大,曲线越平坦, 越小,曲线越陡峻, 正态分布也称为高斯(Gauss)分布,正态分布密度函数也满足两条性质:,正态分布概率计算,标准正态分布的分布函数:,f(x),0,x,x,(x) 的计算,(1) x 0 时, 查标准正态分布函数表.,(2) x 0时, 用,若 X N(0, 1), 则 (1) P(X a) = (a);(2) P(Xa) =1(a);(3) P(

35、aXb) = (b)(a);(4) 若a 0, 则P(|X|a) = P(aXa) = (a)(a)= (a) 1 (a) = 2(a)1,设 X N(0, 1), P(X b) = 0.9515,P(X a) = 0.04947, 求 a, b.,解: (b) = 0.9515 1/2,所以 b 0,反查表得:(1.66) = 0.9515,故 b = 1.66,而 (a) = 0.0495 1/2, 所以 a 0,(a) = 0.9505, 反查表得:(1.65) = 0.9505,故 a = 1.65,例,一般正态分布的标准化,定理 设 X N(, 2),则 Y N(0, 1).,推论:

36、,若 X N(, 2), 则,若 X N(, 2), 则P(Xa) =,例、已知 X N ( 1.5 , 4 ) ,试求P 2.5 X 3.5 , P |X| 3 ,正态分布的 3 原则,设 X N(, 2), 则,P( | X | ) = 0.6826.,P( | X | 2 ) = 0.9544.,P( | X | 3 ) = 0.9974.,定义:,如果存在一个函数g(X),使得随机变量X,Y满足:Yg(X) 则称随机变量Y是随机变量X的函数。,1、离散型RV.函数的分布,(1)若X为离散型,则Y=f(X)也是离散型,(2)已知X的分布律,求Y=f(X)的分布律:,4 随机变量函数的分布

37、,2、连续型r.v.函数Y=f(X)的分布,离散型 连续型, 分布列 密度函数,我们已介绍了两类重要的随机变量:,分布函数 F(X)= P(X x),其图形是右连续的阶梯曲线,其图形是连续曲线,f (x),常见的分布,均匀分布 指数分布 正态分布,离散型连续型,两点分布 二项分布 泊松分布,小结, 1 二维随机变量 2 边缘分布 3 条件分布 4 相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布,第三章 多维随机变量及其分布,1 二 维 随 机 变 量,二维随机变量联合分布函数联合分布律联合概率密度,第三章 多维随机变量及其分布,很多随机现象需要用多个随机变量来描述.,飞机的重心在空中的位置是

38、由 三个随机变量(三个坐标)来确定的.,类似多元函数微积分, 从二维推广到多维 无实质性的困难,我们重点讨论二维随机变量 .,完全类似于上章中对一维随机变量的研究, 我们将研究 多维随机变量及其分布.,特有内容: 变量之间的边缘分布、条件分布、独立性等,检察某大学的全体学生的身体状况,类比,转化,它是上一章内容的推广.,1)定义:设 E 是一个随机试验,它的样本空间是 S=e,设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ,叫做二维随机向量,或二维随机变量。,一、二维随机变量,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,注 意 事 项,

39、1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,2)二维随机变量的例子,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,二、联合分布函数,1 二维随机变量,1)定 义,第三章 多维随机变量及其分布,2)二元分布函数的几何意义,y,o,(x, y),(X, Y ),1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,3)一个重要的公式,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,4)边缘分布 marginal distribution,设二维随机变量 的分布函数为

40、,,4)分布函数具有以下的基本性质:,(1)F (x , y )是变量 x , y 的不减函数,即 对于任意固定的 y , 当 x1 x2时,,对于任意固定的 y ,且,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,对于任意固定的 x , 当 y1 y2时,,对于任意固定的 x ,(3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )关于 x 右连续,关于 y 也右连续.,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),1 二维随机变量,第三章

41、多维随机变量及其分布,说 明,上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的 性质,即任何二维随机变量的分布函数都具有这四 条性质; 更进一步地,我们还可以证明:如果某一个二元函数 具有这四条性质,那么,它一定是某一二维随机变 量的分布函数。,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,三、二维离散型随机变量,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,1)定义:,2)二维离散型随机变量的联合分布律及其性质,如果二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,即,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,关于X的边缘分布,关于Y的边缘分布,3)二维离散型随机变量的边缘分布,关于X的边缘

42、分布,关于Y的边缘分布,第j列之和,第i行之和,例 1,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,例2,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,4)联合分布函数,1)定义: 对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y ),如 果存在非负函数 f (x , y ),使得对于任意的 x,y有:,则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量,函数 f (x , y ) 称为二维随

43、机变量 ( X,Y )的概率密度,或称为 X 和 Y 的联合概率密度。,四、二维连续型随机变量,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,2) 概率密度的性质:,40 设 G 是平面上的一个区域,点 ( X,Y )落在 G 内 的概率为:,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,这个公式非常重要!,在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面,上式 即表示 P(X,Y)G的值等于以 G 为底,以曲面z = f (x , y)为顶的柱体体积.,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,3)边缘分布函数及边缘密度,关于X的边缘概率密度为,关于Y的边缘概率密度为,例1

44、 设(X, Y)的联合密度为,求k值和两个边缘分布密度函数,解,由,得,当 时,关于X的边缘分布密度为,解,所以,关于X的边缘分布密度为,所以,关于Y的边缘分布密度为,当 时,当 时,当 时,关于Y的边缘分布密度为,例 2,1 二维随机变量,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,4)二维均匀分布,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,二维均匀分布几何意义,D,y,x,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,记作( X,Y)N( ),5

45、)二维正态分布,五、随机变量的相互独立性,特别,对于离散型和连续型的随机变量,该定义分别等价于,定义 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),两个 边缘分布函数分别为FX(x),FY(y),如果对于任意的x,y 都有F(x,y)= FX(x) FY(y),则称随机变量X,Y相互独立。,对任意i,j,对任意x,y,在实际问题或应用中,当X的取值与Y的取值互不影响时,我们就认为X与Y是相互独立的,进而把上述定义式当公式运用., 在X与Y是相互独立的前提下,,边缘分布可确定联合分布!,实际意义,补充说明,设(X,Y)的概率分布(律)为,证明:X、Y相互独立。,例1,逐个验证等式,证 X与Y的边缘分布律分别为,X、Y相互独立,例2 设(X,Y)的概率密度为,求 (1) P(0X1 ,0Y1)(2) (X,Y)的边缘密度, (3)判断X、Y是否独立。,解 设A=(x,y):0x1 ,0y1), 边缘密度函数分别为,当 时,当 时,所以,,同理可得,所以 X 与 Y 相互独立。,例3,时,解,于是,同理,所以,即 X 与 Y 独立。,时,1 二维随机变量,第三章 多维随机变量及其分布,小结:1 二维离散型随机变量的联合分布率的定义及性质。2 联合分布函数的定义及性质。3 二维连续型随机变量的联合概率密度的定义及性 质,特别是,

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