2018中考专题复习轴对称最值.doc

1、2015 中考专题复习 轴对称之最值例题讲解1 （2013苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上顶点 B 的坐标为（3， ） ，点 C 的坐标为（ ，0） ，点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为（ ）AB C D22 （2011本溪）如图，正方形 ABCD 的边长是 4，DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值（ ）A2 B 4 C 2 D43 （2013宛城区一模）点 A，B 均在由边长为 1 的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示，若 P

2、 是 x 轴上使得|PAPB| 的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA+QB 的值最小的点，则OP+OQ=（ ）AB 4 C D54如图，A 是半圆上的一个二等分点， B 是半圆上的一个六等分点，P 是直径 MN 上的一个动点，O半径 r=1，则 PA+PB 的最小值是（ ）A2 B C D5如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，4） ，B（4，2） ，在 x 轴上取一点 P，使点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小，则点 P 的坐标是（ ）A （2 ，0 ）B （4，0） C （2，0） D（0，0）6如图，MN 是O 的直径，点 A 是半圆上的三等分点，点 B 是劣弧 AN 的中点，

3、点 P 是直径 MN 上一动点若 MN=2 ，则 PA+PB 的最小值是（ ）A2 B C 1 D27如图，正方形 ABCD 的面积为 16，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 BD 上有一点 P，使 PC+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A4 B 2 C 2 D28 （2013资阳）如图，在 RtABC 中，C=90， B=60，点 D 是 BC 边上的点，CD=1，将ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则 PEB 的周长的最小值是 _ 9 （2012青岛）已知：如图，在 RtABC 中，C=9

4、0，AC=6cm，BC=8cm，D、E 分别是 AC、AB 的中点，连接 DE，点 P 从点 D 出发，沿 DE 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为 2cm/s，当点 P 停止运动时，点 Q 也停止运动连接 PQ，设运动时间为 t（s ）（0t4） 解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQ AB？（2）当点 Q 在 BE 之间运动时，设五边形 PQBCD 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻 t，使 PQ 分四边形 BCDE 两部分的面积之比为 SPQE：S 五边形 P

5、QBCD=1：29？若存在，求出此时 t 的值以及点 E 到 PQ 的距离 h；若不存在，请说明理由10 （2013南充）如图，公路 AB 为东西走向，在点 A 北偏东 36.5方向上，距离 5 千米处是村庄 M；在点 A 北偏东 53.5方向上，距离 10 千米处时村庄 N（参考数据；sin36.5=0.6，cos36.5 =0.8，tan36.5=0.75） （1）求 M，N 两村之间的距离；（2）要在公路 AB 旁修建一个土特产收购站 P，使得 M，N 两村到 P 的距离之和最短，求这个最短距离11 （2013日照）问题背景：如图（a） ，点 A、B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上

6、找一点 C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于 l 的对称点 B，连接 A B与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求（1）实践运用：如图（b） ，已知，O 的直径 CD 为 4，点 A 在 O 上，ACD=30 ，B 为弧 AD 的中点，P 为直径 CD上一动点，则 BP+AP 的最小值为 _ （2）知识拓展：如图（c） ，在 RtABC 中，AB=10， BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，E、F 分别是线段 AD和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程12 （2010天津）在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标

7、原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当 CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；（2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、F 的坐标（温馨提示：可以作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD与 x 轴交于点 E，此时CDE 的周长是最小的这样，你只需求出 OE 的长，就可以确定点 E 的坐标了 ）13 （2010淮安） （1）观察发现：如（a）图，若点 A，B 在直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小做法如

8、下：作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB，与直线 l 的交点就是所求的点 P再如（b）图，在等边三角形 ABC 中，AB=2 ，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点P，故 BP+PE 的最小值为 _ （2）实践运用：如（c）图，已知O 的直径 CD 为 4，AOD 的度数为 60，点 B 是 的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形 ABCD

9、 的对角线 AC 上找一点 P，使 APB=APD保留作图痕迹，不必写出作法14 （2009漳州）几何模型：条件：如下图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB 交 l 于点 P，则 PA+PB=AB 的值最小（不必证明） 模型应用：（1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点连接 BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线 AC 对称连接 ED 交 AC 于 P，则 PB+PE 的最小值是 _ ；（2）如图 2，O 的半径为 2，点

10、A、B 、C 在O 上，OA OB，AOC=60 ，P 是 OB 上一动点，求PA+PC 的最小值；（3）如图 3，AOB=45，P 是 AOB 内一点，PO=10 ，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求 PQR 周长的最小值2013 年 12 月 1066077065 的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 7 小题）1 （2013苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上顶点 B 的坐标为（3， ） ，点 C 的坐标为（ ，0） ，点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为（ ）AB C D2考点： 轴对称-最短路线问题；坐

11、标与图形性质 4204949专题： 压轴题分析： 作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DNOA 于 N，则此时PA+PC 的值最小，求出 AM，求出 AD，求出 DN、CN，根据勾股定理求出 CD，即可得出答案解答： 解：作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DNOA 于 N，则此时 PA+PC 的值最小，DP=PA，PA+PC=PD+PC=CD，B（3， ） ，AB= ，OA=3，B=60 ，由勾股定理得：OB=2 ，由三角形面积公式得： OAAB= OBAM，AM= ，AD=2 =3，AM

12、B=90， B=60，BAM=30，BAO=90，OAM=60，DNOA，NDA=30，AN= AD= ，由勾股定理得：DN= ，C（ ，0） ，CN=3 =1，在 RtDNC 中，由勾股定理得：DC= = ，即 PA+PC 的最小值是 ，故选 B点评： 本题考查了三角形的内角和定理，轴对称最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质的应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中2 （2011本溪）如图，正方形 ABCD 的边长是 4，DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、Q 分别是 AD和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值（ ）A2 B 4 C 2 D4考点

13、： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质 4204949专题： 压轴题；探究型分析： 过 D 作 AE 的垂线交 AE 于 F，交 AC 于 D，再过 D作 DPAD，由角平分线的性质可得出 D是D 关于 AE 的对称点，进而可知 DP即为 DQ+PQ 的最小值解答： 解：作 D 关于 AE 的对称点 D，再过 D作 DPAD 于 P，DDAE，AFD=AFD，AF=AF，DAE=CAE，DAFDAF，D是 D 关于 AE 的对称点，AD=AD=4，DP即为 DQ+PQ 的最小值，四边形 ABCD 是正方形，DAD=45，AP=PD，在 RtAPD中，PD2+AP2=AD2，AD 2=16，AP

14、=PD，2PD2=AD2，即 2PD2=16，PD=2 ，即 DQ+PQ 的最小值为 2 故选 C点评： 本题考查的是轴对称最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键3 （2013宛城区一模）点 A，B 均在由边长为 1 的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示，若 P 是 x 轴上使得|PAPB| 的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA+QB 的值最小的点，则OP+OQ=（ ）AB 4 C D5考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质 4204949分析： 连接 AB 并延长交 x 轴于点 P，作 A 点关于 y 轴的对称点 A连接 AB 交 y 轴于点 Q，

15、求出点 Q 与y 轴的交点坐标即可得出结论解答： 解：连接 AB 并延长交 x 轴于点 P，由三角形的三边关系可知，点 P 即为 x 轴上使得|PA PB|的值最大的点，点 B 是正方形的中点，点 P 即为 AB 延长线上的点，此时 P（3，0）即 OP=3；作 A 点关于 y 轴的对称点 A连接 AB 交 y 轴于点 Q，则 AB 即为 QA+QB 的最小值，A（ 1，2） ， B（2，1） ，设过 AB 的直线为：y=kx+b，则 ，解得 ，Q（ 0， ） ，即 OQ= ，OP+OQ=3+ = 故选：C点评： 本题考查的是轴对称最短路线问题，根据题意得出 P、Q 两点的坐标是解答此题的关键

16、4如图，A 是半圆上的一个二等分点， B 是半圆上的一个六等分点，P 是直径 MN 上的一个动点，O半径 r=1，则 PA+PB 的最小值是（ ）A2 B C D考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系4204949分析： 本题是要在 MN 上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，设 A是 A 关于 MN 的对称点，连接 AB，与MN 的交点即为点 P此时 PA+PB=AB 是最小值，可证 OAB 是等腰三角形，从而得出结果解答： 解：作点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 AB，交 MN 于点 P，连接 OA，AA作 OQAB，点 A 与 A关于 MN 对称，

17、点 A 是半圆上的一个二等分点，AON=AON=90，PA=PA ，B 是半圆上的一个六等分点，BON=30，AOB=AON+BON=120，又 OA=OA=1， A=30，AQ=OAcos30= ，AB= PA+PB=PA+PB=AB= 故选：C点评： 此题考查了轴对称最短路线问题，正确确定 P 点的位置是解题的关键，确定点 P 的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要5如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，4） ，B（4，2） ，在 x 轴上取一点 P，使点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小，则点 P 的坐标是（ ）A （2 ，0 ）B （4，0） C （2，0）

18、D（0，0）考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质 4204949分析： 作 A 关于 x 轴的对称点 C，连接 AC 交 x 轴于 D，连接 BC 交交 x 轴于 P，连接 AP，此时点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小，求出 C（的坐标，设直线 CB 的解析式是 y=kx+b，把 C、B 的坐标代入求出解析式是 y=x2，把 y=0 代入求出 x 即可解答： 解：作 A 关于 x 轴的对称点 C，连接 AC 交 x 轴于 D，连接 BC 交交 x 轴于 P，连接 AP，则此时 AP+PB 最小，即此时点 P 到点 A 和点 B 的距离之和最小，A（ 2， 4） ，C（ 2，4）

19、 ，设直线 CB 的解析式是 y=kx+b，把 C、B 的坐标代入得： ，解得：k=1，b=2，y=x2，把 y=0 代入得：0=x 2，x=2，即 P 的坐标是（2，0） ，故选 C点评： 本题考查了轴对称最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目6如图，MN 是O 的直径，点 A 是半圆上的三等分点，点 B 是劣弧 AN 的中点，点 P 是直径 MN 上一动点若 MN=2 ，则 PA+PB 的最小值是（ ）A2 B C 1 D2考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理4204949分析：

20、本题是要在 MN 上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，设 A是 A 关于 MN 的对称点，连接 AB，与MN 的交点即为点 P此时 PA+PB=AB 是最小值，可证 OAB 是等腰直角三角形，从而得出结果解答： 解：作点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 AB，交 MN 于点 P，连接 OA，OA，OB，PA，AA 点 A 与 A关于 MN 对称，点 A 是半圆上的一个三等分点，AON=AON=60，PA=PA ，点 B 是弧 AN 的中点，BON=30，AOB=AON+BON=90，又 OA=OA= ，AB=2PA+PB=PA+PB=AB=2故选 D点评： 本题结合图形的性质，考查轴对

21、称最短路线问题其中求出 BOC 的度数是解题的关键7如图，正方形 ABCD 的面积为 16，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 BD 上有一点 P，使 PC+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A4 B 2 C 2 D2考点： 轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质4204949专题： 计算题分析： 根据正方形的性质，推出 C、 A 关于 BD 对称，推出 CP=AP，推出 EP+CP=AE，根据等边三角形性质推出 AE=AB=EP+CP，根据正方形面积公式求出 AB 即可 ，解答：解：正方形 ABCD，ACBD，OA=OC ，C、A 关于 BD 对称

22、，即 C 关于 BD 的对称点是 A，连接 AE 交 BD 于 P，则此时 EP+CP 的值最小，C、A 关于 BD 对称，CP=AP，EP+CP=AE，等边三角形 ABE，EP+CP=AE=AB，正方形 ABCD 的面积为 16，AB=4，EP+CP=4，故选 A点评： 本题考查了正方形的性质，轴对称最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定 P 的位置和求出 EP+CP 的最小值是 AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力二填空题（共 1 小题）8 （2013资阳）如图，在 RtABC 中，C=90， B=60，点 D 是 BC 边上的点，

23、CD=1，将ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则 PEB 的周长的最小值是 1+ 考点： 轴对称-最短路线问题；含 30 度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题） 4204949专题： 压轴题分析： 连接 CE，交 AD 于 M，根据折叠和等腰三角形性质得出当 P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即可此时BPE 的周长最小，最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，先求出 BC 和 BE 长，代入求出即可解答：解：连接 CE，交 AD 于 M，沿 AD 折叠 C 和 E 重合，ACD=AED=90，AC=A

24、E， CAD=EAD，AD 垂直平分 CE，即 C 和 E 关于 AD 对称，CD=DE=1，当 P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时 BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，DEA=90，DEB=90，B=60，DE=1 ，BE= ，BD= ，即 BC=1+ ，PEB 的周长的最小值是 BC+BE=1+ + =1+ ，故答案为：1+ 点评： 本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质的应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中三解答题（共 6 小题）9 （2012青岛）已知：如图，

25、在 RtABC 中，C=90，AC=6cm，BC=8cm，D、E 分别是 AC、AB 的中点，连接 DE，点 P 从点 D 出发，沿 DE 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为 2cm/s，当点 P 停止运动时，点 Q 也停止运动连接 PQ，设运动时间为 t（s ）（0t4） 解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQ AB？（2）当点 Q 在 BE 之间运动时，设五边形 PQBCD 的面积为 y（cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻 t，使 PQ 分四边形 BCDE 两部分的面积之比为

26、 SPQE：S 五边形 PQBCD=1：29？若存在，求出此时 t 的值以及点 E 到 PQ 的距离 h；若不存在，请说明理由考点： 相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；勾股定理；三角形中位线定理4204949专题： 代数几何综合题；压轴题；动点型分析： （1）如图所示，当 PQAB 时，PQE 是直角三角形解决问题的要点是将PQE 的三边长PE、QE、PQ 用时间 t 表示，这需要利用相似三角形（ PQEACB）比例线段关系（或三角函数） ；（2）本问关键是利用等式“五边形 PQBCD 的面积=四边形 DCBE 的面积 PQE 的面积” ，如图所示为求PQE 的面积，需要求出 QE

27、边上的高，因此过 P 点作 QE 边上的高，利用相似关系（PMEABC ）求出高的表达式，从而问题解决；（3）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解假设存在时刻 t，使 SPQE：S 五边形PQBCD=1：29，则此时 SPQE= S 梯形 DCBE，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻 t；点E 到 PQ 的距离 h 利用PQE 的面积公式得到解答： 解：（1）如图，在 RtABC 中，AC=6，BC=8AB= D、 E 分别是 AC、AB 的中点AD=DC=3，AE=EB=5 ，DEBC 且DE= BC=4PQAB，PQB=C=90又 DEBCAED=BPQEACB由题意得：PE=

28、4t，QE=2t5，即 ，解得 t= ；（2）如图，过点 P 作 PMAB 于 M，由PMEACB ，得 ， ，得 PM= （4 t） SPQE= EQPM= （52t） （4t ）= t2 t+6，S 梯形 DCBE= （4+8 ）3=18，y=18（ t2 t+6）= t2+ t+12（3）假设存在时刻 t，使 SPQE：S 五边形 PQBCD=1：29，则此时 SPQE= S 梯形 DCBE， t2 t+6= 18，即 2t213t+18=0，解得 t1=2，t 2= （舍去） 当 t=2 时，PM= （42）= ，ME= （4 2）= ，EQ=522=1， MQ=ME+EQ= +1=

29、，PQ= = = PQh= ，h= = （或 ） 点评： 本题是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度注意题中求时刻 t 的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解10 （2013南充）如图，公路 AB 为东西走向，在点 A 北偏东 36.5方向上，距离 5 千米处是村庄 M；在点 A 北偏东 53.5方向上，距离 10 千米处时村庄 N（参考数据；sin36.5=0.6，cos36.5 =0.8，tan36.5=0.75）

30、 （1）求 M，N 两村之间的距离；（2）要在公路 AB 旁修建一个土特产收购站 P，使得 M，N 两村到 P 的距离之和最短，求这个最短距离考点： 解直角三角形的应用-方向角问题；轴对称 -最短路线问题 4204949专题： 应用题；压轴题分析： （1）过点 M 作 CDAB，NE AB，在 RtACM 中求出 CM，AC，在 RtANE 中求出 NE，AE，继而得出 MD，ND 的长度，在 RtMND 中利用勾股定理可得出 MN 的长度（2）作点 N 关于 AB 的对称点 G，连接 MG 交 AB 于点 P，点 P 即为站点，求出 MG 的长度即可解答： 解：（1）过点 M 作 CDAB，

31、NE AB，如图：在 RtACM 中， CAM=36.5，AM=5km，sin36.5= =0.6，CM=3，AC= =4km，在 RtANE 中，NAE=9053.5=36.5，AN=10km ，sin36.5= =0.6，NE=6，AE= =8km，MD=CDCM=AECM=5km，ND=NEDE=NE AC=2km，在 RtMND 中， MN= = km（2）作点 N 关于 AB 的对称点 G，连接 MG 交 AB 于点 P，点 P 即为站点，此时 PM+PN=PM+PG=MG，在 RtMDG 中， MG= = =5 km答：最短距离为 5 km点评： 本题考查了解直角三角形的知识，解答

32、本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求解相关线段的长度，难度较大11 （2013日照）问题背景：如图（a） ，点 A、B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于 l 的对称点 B，连接 A B与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求（1）实践运用：如图（b） ，已知，O 的直径 CD 为 4，点 A 在 O 上，ACD=30 ，B 为弧 AD 的中点，P 为直径 CD上一动点，则 BP+AP 的最小值为 2 （2）知识拓展：如图（c） ，在 RtABC 中，AB=10， BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于点

33、D，E、F 分别是线段 AD和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程考点： 轴对称-最短路线问题4204949分析： （1）找点 A 或点 B 关于 CD 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和 MN 的交点 P 就是所求作的位置根据题意先求出CAE，再根据勾股定理求出 AE，即可得出 PA+PB 的最小值；（2）首先在斜边 AC 上截取 AB=AB，连结 BB，再过点 B作 BFAB，垂足为 F，交 AD 于 E，连结 BE，则线段 BF 的长即为所求解答： 解：（1）作点 B 关于 CD 的对称点 E，连接 AE 交 CD 于点 P此时 PA+PB 最小，且等于

34、AE作直径 AC，连接 CE根据垂径定理得弧 BD=弧 DEACD=30，AOD=60， DOE=30，AOE=90，CAE=45，又 AC为圆的直径，AEC=90 ，C=CAE=45，CE=AE= AC=2 ，即 AP+BP 的最小值是 2 故答案为：2 ；（2）如图，在斜边 AC 上截取 AB=AB，连结 BBAD 平分 BAC，点 B 与点 B关于直线 AD 对称过点 B作 BFAB，垂足为 F，交 AD 于 E，连结 BE，则线段 BF 的长即为所求 （点到直线的距离最短） 在 RtAFB中，BAC=45，AB=AB=10，BF=ABsin45=ABsin45=10 =5 ，BE+EF

35、 的最小值为 点评： 此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P 位置是解题关键12 （2010天津）在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当 CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；（2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、F 的坐标（温馨提示：可以作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD与 x 轴交于点 E，此时CDE 的周长是最小的

36、这样，你只需求出 OE 的长，就可以确定点 E 的坐标了 ）考点： 轴对称-最短路线问题；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质4204949专题： 几何综合题；压轴题分析： （1）由于 C、D 是定点，则 CD 是定值，如果CDE 的周长最小，即 DE+CE 有最小值为此，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，当点 E 在线段 CD上时，CDE 的周长最小；（2）由于 DC、EF 的长为定值，如果四边形 CDEF 的周长最小，即 DE+FC 有最小值为此，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，在 CB 边上截取 CG=2，当点 E 在线段 DG 上时，四边形 CDEF 的周长最小解答：

37、解：（1）如图，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD与 x 轴交于点 E，连接 DE若在边 OA 上任取点 E与点 E 不重合，连接 CE、DE 、DE由 DE+CE=DE+CECD=DE+CE=DE+CE，可知CDE 的周长最小在矩形 OACB 中，OA=3，OB=4，D 为 OB 的中点，BC=3，DO=DO=2，DB=6，OEBC，RtDOERtDBC，有点 E 的坐标为（1，0） ；（2）如图，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，在 CB 边上截取 CG=2，连接 DG 与 x 轴交于点 E，在EA 上截取 EF=2，GCEF，GC=EF ，四边形 GEFC 为平行四边形，有

38、 GE=CF，又 DC、EF 的长为定值，此时得到的点 E、F 使四边形 CDEF 的周长最小OEBC，RtDOERtDBG，有 点 E 的坐标为（ ，0） ，点 F 的坐标为（ ，0） （10 分）点评： 此题主要考查轴对称最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边13 （2010淮安） （1）观察发现：如（a）图，若点 A，B 在直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小做法如下：作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB，与直线 l 的交点就是所求的点 P再如（b）图，在等边

39、三角形 ABC 中，AB=2 ，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点P，故 BP+PE 的最小值为 （2）实践运用：如（c）图，已知O 的直径 CD 为 4，AOD 的度数为 60，点 B 是 的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P，使 APB=APD保留作图痕迹，不必写出作法考点： 轴对称-最短路线问题4204

40、949分析： （1）首先由等边三角形的性质知，CE AB，在直角BCE 中， BEC=90BC=2，BE=1 ，由勾股定理可求出 CE 的长度，从而得出结果；（2）要在直径 CD 上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，设 A是 A 关于 CD 的对称点，连接 AB，与 CD 的交点即为点 P此时 PA+PB=AB 是最小值，可证OA B 是等腰直角三角形，从而得出结果（3）画点 B 关于 AC 的对称点 B，延长 DB交 AC 于点 P则点 P 即为所求解答： 解：（1）BP+PE 的最小值= = = （2）作点 A 关于 CD 的对称点 A，连接 AB，交 CD 于点 P，连接 OA，AA

41、 ，OB点 A 与 A关于 CD 对称，AOD 的度数为 60，AOD=AOD=60，PA=PA ，点 B 是 的中点，BOD=30，AOB=AOD+BOD=90，O 的直径 CD 为 4，OA=OA=2，AB=2 PA+PB=PA+PB=AB=2 （3）如图 d：首先过点 B 作 BBAC 于 O，且 OB=OB，连接 DB并延长交 AC 于 P（由 AC 是 BB的垂直平分线，可得APB=APD） 点评： 此题主要考查轴对称最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边14 （2009漳州）几何模型：条件：如下

42、图，A、B 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB 交 l 于点 P，则 PA+PB=AB 的值最小（不必证明） 模型应用：（1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 AC 上一动点连接 BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线 AC 对称连接 ED 交 AC 于 P，则 PB+PE 的最小值是 ；（2）如图 2，O 的半径为 2，点 A、B 、C 在O 上，OA OB，AOC=60 ，P 是 OB 上一动点，求PA+PC 的最小值；（3）如图 3，AOB

43、=45，P 是 AOB 内一点，PO=10 ，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，求 PQR 周长的最小值考点： 轴对称-最短路线问题4204949专题： 压轴题；动点型分析： （1）由题意易得 PB+PE=PD+PE=DE，在 ADE 中，根据勾股定理求得即可；（2）作 A 关于 OB 的对称点 A，连接 AC，交 OB 于 P，求 AC 的长，即是 PA+PC 的最小值；（3）作出点 P 关于直线 OA 的对称点 M，关于直线 OB 的对称点 N，连接 MN，它分别与OA，OB 的交点 Q、R，这时三角形 PEF 的周长=MN，只要求 MN 的长就行了解答： 解：（1）四边形 ABCD

44、是正方形，AC 垂直平分 BD，PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在ADE 中，根据勾股定理得，DE= ；（2）作 A 关于 OB 的对称点 A，连接 AC，交 OB 于 P，PA+PC 的最小值即为 AC 的长，AOC=60AOC=120作 ODAC 于 D，则AOD=60 OA=OA=2AD= ；（3）分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 M、N ，连接 OM、ON、MN，MN 交 OA、OB 于点Q、R，连接 PR、PQ，此时PQR 周长的最小值等于 MN由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，MOA=POA，NOB= POB，MON=2AOB=245=90，在 RtMON 中， MN= = =10 即PQR 周长的最小值等于 10 点评： 此题综合性较强，主要考查有关轴对称最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识