1、1引入辅助角变形及其应用令 2cosab， 2sin.ba 则 2sincossin()xbabx这一变形在三角问题中的应用很广，下面举例进行分类解析，供参考.一、恒等变形1求值例 1已知非零实数 ,ab满足sincos85tan15ib，求 b的值.解： 158tansi5coinba 158tansi5coscoi22 baba引入辅助角 ，使 2a， .in2则 .158tan)cos(i158tsin5cosci 即 )ta()tan(k， k，即 ).(3Zk故 b.3ta3注： )(tat Zk2化简例 2化简cos()sin()4的结果为（ ）（A） tan （B） ta （C）
2、 cos （D） cos解：cos()si()2cos()44inta，选（B）.3证明例 3证明： sin50(13tan0)1.2证明：左边312(sin0cos)2sin50(i1cosi3)2isin40co2in40cs1i81cos右边，故等式成立.4求角例 4若 ),(),i(3osi3 xx，则 的值等于（ ）（A） （B） （C） 32 （D） 32解： )cossin21(3cossin3xx，令 sin,1，则 )i(i x )ico(i32x).sin(32x由 sin,21co，且 ),(，得 .3 选（A）.二、研究函数 si()yAx的性质1求最值（或值域）例 5
3、（2005 年重庆卷）若函数 21cos2()insi()4i()xf ax的最大值为 32，试确定常数 a的值.解： 2()sin().4fxx 由 23a，解得 3.a2求周期例 6（2007 年湖南卷）已知函数 2()cos()1fx， 1(sin2gxx（I）设 0x是函数 ()yfx图象的一条对称轴，求 0的值；（II）求函数 ()hg的单调递增区间解：（I）由题设知 1cos(2)6fxx3因为 0x是函数 ()yfx图象的一条对称轴，所以 026xk，即0 26k（ Z）所以 0011sinsin()2g当 为偶数时， 03()1i64x；当 k为奇数时， 015sin2g（II
4、） ()()cosin26hxfxxx13113cos2sini62in3x当 22kk，即 51212xk（ Z）时，函数1()sin3hxx是增函数，故函数 ()h的单调递增区间是52k，（ kZ）3求单调区间例 7（2007 年江苏文）函数 ()sin3cos(,0)fxx的单调递增区间是（ ）（A） 5,6 （B） 5,6 （C） , （D） ,6解： ()sin3cosin()3fxx，由 22kkZ，解得 522().6kxkZ 令 0，得函数 ()sicsfxx的单调递增区间为 ,0，选（D）.4求参数例 8（1）要使 4in3om有意义，则实数 m的取值范围是（ ）（A） 7(
5、,3 （B） 1,) （C） 71,3 （D） 7(,1,)34（2）使函数 )2cos(3)2sin() axaxf 是奇函数，且在 4,0上是减函数的 a的一个值是（ ）（A） 3 （B） （C） 34 （D） 35解：（1）由已知，得 62sin()3m，即 6sin()82m，解不等式46m，得 71，故实数 的取值范围是 71,，选（C）.（2） )cos()si() axaxf )32si(ax为奇函数ka3，即 .3Zk 取 ，则 .xxf 2sin)sin()在 4,0上是减函数，故选（B）例 9（1994 年全国卷）如果函数 sin2cosyxa的图象关于直线 8x对称，那么
6、 a（ ） （A） 2 （B） （C）1 （D） 1解： 函数 sincosyxa的图象关于直线 8x对称，且 i的最大值为 21a，()s()cs()84f，解得 1，选（D）.点评：将 in2oyxa可化为 2sin()x，从而得函数的最大值为21a，于是，有 2()1f，解得 a，选（D）.5选择图形例 10下列图象能准确地描述某物体沿粗糙斜面滑下时，其加速度 a和斜面倾斜角之间的关系（摩擦因数不变）的是（ ）解：设物体的质量为 m，重力加速度为 g，物体的摩擦系数为 ，结合牛顿第二定律，得 sinNgFa，又 cosN，所以 sincosmgma，5即 2(sincos)1sin()a
7、gg，其中 tan.所以 21i(，选（D）. 同步练习（供选用）1（1） sin5cos_.2设 6,53sin,2(si47n6si24n3)abc则的大小关系为 _. 3函数 cos()yx的最大值为 _.4（2007 年湖南卷）已知函数 2()1sinsincos88fxx求：（I）函数 ()f的最小正周期；（II）函数 ()fx的单调增区间答案与略解：1 sin5cos12(sin5co4s5in1)2si60.2 ba3 si()6yx，最大值为 3.4 )co2sin(2)44f xsin()2cosx x（I）函数 f的最小正周期是 T；（II）当 22kxk，即 2xk（ Z）时，函数()cosfx是增函数，故函数 ()f的单调递增区间是 ,2k（ Z）
